复数的乘法及其几何意义

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1、文件 sxgdja0012.doc科目 数学年级 高中章节关键词 复数/乘法/几何意义标题 复数的乘法及其几何意义内容北京市五中 肖钰教学目标1. 掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则及其推导过程2. 掌握复数乘法的几何意义3. 让学生领悟到“转化”这一重要数学思想方法4. 培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力教学重点与难点 重点：复数的三角形式是本节内容的出发点，复数的乘法运算 难点：复数乘法运算的几何意义，不易为学生掌握教学过程设计师：前面我们学习了复数的代数形式的运算和复数的三角形式，请大家用5 分钟的时间，完 成以下两道题的演算(利用投影仪出示)1.(12i)(2+i)(4+3

2、i)；1 (.兀兀)2化复数一牙sm + icos为代数形式和三解形式.2 V 33 丿(5 分钟后)师：第1题检查了复数乘法运算，答案是25，第2题检查了复数的三角形式概念及复数代数 、一1,应伸长；0Vr2Vl,应缩短；r2=1,模长不变)，所得的向量就表示积Zz2.这是复 数乘法的几何意义图形演示(如图8 7)： OZ = OZ1 0Z2.师：现在我们研究问题，如图8 8,向量OZ与复数一1+i对应，把OZ按逆时针方向旋转 120。，得到0Z.求与向量0Z对应的复数.请同学们想一想.生：这是形数结合问题，给的题设情境是向量旋转，根据复数乘法的几何意义，将向量 OZ逆时针方向旋转120，得

3、到0Z，由于模未发生变化，应当是OZ对应复数乘以1(cos师：解此题复数是否一定化成三角形式? 生：复数与从原点出发的向量建立了一一对应关系，无论是代数形式还是三角形式都表示同 一个复数的向量，运算结果是一个数，因此不一定化成三角形式，应根据需要来选择. 师：说得好，请同学们写一下解题过程.(找一名同学到黑板板演)解：所求的复数就是一1+i乘以一个复数Z0的积，这个复数Z0的模是1,辐角的主值是 120.所求的复数是：( 1+i) 1 (cos120 +isin120)= (-1+i)f-1J3 i 2 2师：为了巩固刚讨论过的复数三解形式的乘法运算公式及复数乘法的几何意义，请同学们继 续完成

4、以下练习.使用投影仪，映出练习题)1.计算/ 兀.兀)4 cos + i sm (1212 丿1 (.兀.兀) sm + i cos 2133 丿+ 2cos竺 + i sin四I 44丿(2) Z=-Z0 爲+i2 2I丿1.解：丫1 (丿_.兀. 兀 sm + i cos 34cos + i sin I 1212丫(+ 2丿_15兀.5兀)cos + i sin 44丿( 1(55 4 X cos+ + i sin+ +2cos+ i sin 1 2丿1123丿1123丿1 44丿32已知复数Z所对应的向量0Z.通过作图，画出下列复数Z所对应的向量0Z.(1) Z = Z (sin30 +

5、icos30)；0教师在教室里巡视，请三位演算错误的同学板演.)1 1212丿44丿5555=2 cos + 2i sin + 2 cos +2i sin 121244(55(55=+ 2 cos +i+ 2 sin 1 124丿 124丿2.2f cos5+ i sin5+ 2f cos5+ i sin5将OZ。逆时针旋转30，得到OZ。将OZ逆时针旋转120，再关于x轴对称，得到0Z。 师：这三位同学计算和画图对不对?如果有错误，错在哪里?怎样改正?1 生甲：第1题计算错了，错在2(sin3 +1 cos_3)不是复数二角形式的标准式，应化为1 (兀-cos 6.兀+ i sm 6丿师：一

6、人教训大家吸取，千万用复数三角形式的标准式进行复数三角形式的乘法运算哪位同学改正一下：生乙：.7t f , K4|cos-+isln- 冗j.兀 VOSl2 + 1Smi2f 7tt 121.7,ri/7Ti*sin +icos兀 i . 7tcos *g-|-isin 誇+ 2 cos +isin=(皿 + /Ti) + ( /2- ZTi) = 0*cos+isinTT ，7T cos -f-ism 7t 1耳丿5tt+ 2cqs +isin y+2 cos + isin 竽 + 2 cos 罟+isin 竽师：板演第1 题的两位同学都注意到，不能直接使用三角形式进行加、减法计算，需化成代

7、 数形式才得以进行接下来看第 2 题的第（1）小题生丙：第（1）题画错了，应当把向量OZ0按逆时针方向旋转60，可板演图只转30. 师：为什么?生丙：乘数sin30 +icos30不是复数三角形式的标准式，应化为cos60 +isin60,这样 才能应用复数乘法的几何意义来解题.师：同学们应注意到旋转的角度是辐角来确定的，而辐角的大小又是由复数的三角形式的标 准式来确定.现在看第2题的第（2）小题，将0Z0逆时针旋转120正确吗?为什么？ 生丁：正确.把复数-2 + i化为三角形式cos120 +isin120，其模是1,说明模没有 变化，只是把向量0Z0绕原点0按逆时针旋转120. 师：向量

8、 OZ 画的正确吗?若不正确，应当怎么画?生戊：不正确，旋转120后，取其反方向的向量，模不变，得0Z.也可以先取0Z0的反方 向的向量，再逆时针旋转120.师：回答得很好，现在我们研究一道几何图形习题的解法，请看题目：已知复平面内一个正方面的两个相邻顶点对应的复数分别为1+2i，3-5i，求与另外两个顶 点C对应的复数.为了利于表达，设正方形ABCD，其中点A对应复数是1+2i，3-5i,求与另 外两个顶点对应的复数。如图 8-11.同学们开始讨论解法.生M：这道题可以转化为解析几何题，点A坐标为（1, 2），点B坐标是（3，-5）.本题应 当有两解设边AB右侧的顶点是C和D,左侧的顶点是C

9、和D.线段AB的长度是可求的而I AD | = | AB |，| BD 1=2 I AB I.设D （x, y）.由上面两个等量关系，得出关于x, y的 二元二次方程组，解这个方程组可得两组解，点D坐标求出，对应的复数亦可写出. 师：点 C 怎么求呢?生N：先求出BD的中点，这个中点也是AC的中点，再通过中点坐标公式求得点C的坐标. 师：很好还有什么解法?生 P ：用复数运算的几何意义解，先求向量 AB 所对应的复数，由向量 AB 绕点 A 按逆时针方 向旋转90角得到AD,由于AD = 0D = 0A，就求出D点对应的复数.师：点 C 怎么求呢?生Q：由于丨AC丨=迈| AD |,ZDAC

10、= 45 .用AD对应的复数乘以迈 cos(45) +isin (45)得到AC对应的复数了，再求OC对应的复数.师：生Q想到的解法更简单，求点C还有其他方法吗？生R：先求BA所对应的复数，由向量AB绕点B按顺时针方向旋转90得到BC,再求OC对 应的复数.生H：由于OC=OB+BC = OB+AD，可以直接求出C点对应的复数.师：生H的方法最简单.请同学们在笔记本上用其中一种解法完成此题的演算.(教师找一名同学到黑板板演)解：向量AB对应的复数：(3 5i) (1+2i)=2 7i.向量 AD 对应的复数：(2 7i) (cos90 +isin90) = (2 7i) i = 7+2i.向量

11、 OD 对应的复数：(1+2i) + (7+2i)=8+4i.因为 OC=OB+BC=OB+AD，则 OC 对应的复数：(3 5i) + (7+2i)=10 3i.如图，设点D对应复数为a+bi (a,bWR),则有又设点C对应复数为c+di (c，dr), 则有因此另外两点对应的复数为：10 3i和8+4i；或一4 7i和6. 注意：如果板演有错误，应请同学们发现和纠正.经常发生的错误有：(1) AB=(3 5i) (l+2i).这里不能用等号，应写作“向量AB对应的复数是：(3 5i) (1+2i)；(2) 把向量AD对应的复数7+2i，错认为是点D对应的复数； (要讲清只有当向量的起点在

12、原点处，向量所对应的复数才是向量终点所对应的复数)(3) 只得出10 3i和8+4i 一组解.(建议学生自己动手画图，容易发现两组解) 师：通过此题，我们可以体会到代数问题和几何问题互相转化的思想在分析问题与解决问题 中的重要作用为了更好地领悟这一思想，请看：如图8 12,已知平面内并列的三个相等的正方形，利用复数计算Z1+Z2+Z3的值. 同学们开始讨论解决：生庚：复数运算的几何意义是在复平面内实施的，因此要建立直角坐标系师：你分析得正确，如图 8 1 3 ，建立坐标系取正方形的边长为单位长1 生辛：ZBO =Z1,ZBO =Z2,ZBO =Z3,这样，Zl+Z2+Z3=ZB10x+ZB20

13、x+Z1x2x3 xB3Ox.而ZB1Ox，ZB2Ox，ZB3Ox可以分别看作B，BB三个点对应复数的辐角主值，下按着老师规定的单位长，B1, B2, B3三点对应的复数分别为1+i，2+i，3+i. 师：好，你先谈到这里，如果单位长度有新的规定，例如边长为2，则三点对应复数分别为2 +2i, 4+2i, 6+2i,并未影响复数和辐角主值的大小，不过计算要繁一些.同学们继续讨论 生壬： 2+i， 3+i 的辐角主值都不是特殊角，只能查表求近似值再相加，误差较大.根据复数 乘法的几何意义，积的辐角等于两个乘数辐角之和，可以先作乘法，看乘积是什么?假若其 辐角主值也不是特殊角，但只取一次近似值.师

14、：你分析得很好，请你计算一下：兀兀生癸：(2+i) (3+i)=5+5i，它的辐角主值是丁，而ZB 0 =，因此Zl+Z2+Z3 =4 1 x 4兀2生寅：我想谈另外一种计算方法.因为r1 (cos0 1+isinB 1) r2 (cos0 2+isin0 2) r3 (cos0 3+isin0 3)=r1r2 cos (0 1+0 2) +isin (0 1+0 2) r3 (cos0 3+isin0 3)= r1 r2 r3 cos (0 1+0 2+0 3) +isin (0 1+0 2+0 3),因此(1+i) (2+i) (3+i)可以 直接求出积的辐角.即(1+i)(2+i)(3+

15、i)=(1+3i)(3+i)=10i，兀其辐角主值是师：想法很好，并把两个复数相乘加以发展，是个小发现.这里，应提醒大家，注意一个问 题，即两个辐角主值相加，其结果不一定还是主值.7 厂11113例如，1 i的辐角主值是丁兀,a-;3 -i的辐角主值是兀，而它们的和是兀，是了兀终 4644边相同的角.因此，和角是不是主值，需要确认. 请同学们完成此题的演算.(教师找一名同学到黑板板演)解：如图建立坐标系，由于平行线的内错角相等，ZL,Z2,Z3分别等于复数1+i，2+i，3 +i的辐角的主值，这样Z1+Z2+Z3就是积的辐角，而(1+i)(2+i)(3+i)=(1+3i)(3+i)=10i，兀

16、其辐角的主值是-并且Z1，Z2，Z3都是锐角，于是30Z1+Z2+Z32所以兀Z1+Z2+Z3= 2师：今天这节课，从知识上要掌握用复数的三角形式进行乘法运算的法则和乘法的几何意义 及其推导过程.从思考方法上要善于从未知与已知、数与形以及复数的各种形式互相转换 度上考虑问题.现在布置作业：1. 课本习题： P203 练习 1(4)， 3.2. 课本习题： P210 习题二十八5.3. 补充题：(1)在复平面内有两个点z1和z2,它们所对应的复数分别为1和2+i，以这两点为顶点作 一个正三角形，求这正三角形第三个顶点Z3所表示的复数.r 1爲+ 一+2 2I 丿r 3 e-+2 2I 丿(2)

17、z1, z2是不等于零的两个复数，它们在复平面内的对应点分别是P和Q,且=1 3iz2,试确定A0PQ是什么三角形.(直角三角形)x2 y 2（3）设P为椭圆？- +三-=1上任意一点，以丨0P丨为边长作矩形OPQr （字母顺序按逆时94x 2 y 2针方向），使丨Or丨=2丨0P丨，求动点r的轨迹.（椭圆二7 +刁7 = 1）16 36课堂教学设计说明1. 没有良好的基础知识是不可能有很好的数学能力的，深刻的理解、纯熟掌握也不是一次就 能完成，因此课堂教学开始时，我安排了检查练习，起着承上启下的作用.2. 重视学生参与知识的发生、发展和被运用的过程，为了培养适应21 世纪要求的创新人才， 课堂教学的着眼点应放在学生能力的形成和发展上，需要学生去亲自想一想，动手算一算， 动口说一说，从而培养学生敢于创造，逐渐学会创造.因此设计教案时强调了学生主体参与 ，但不能忽视老师的主导作用.