概率论与数理统计知识点例题讲解2ppt课件

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1、离散型离散型r.v的分布律的分布律连续型连续型r.v的的概率密度概率密度分布函数分布函数的性质的性质 分布律分布律与分布函数与分布函数 的关系的关系概率密度概率密度与分布函数与分布函数的关系的关系r.v及其概率分布及其概率分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布 正态分布正态分布指数分布指数分布均匀分布均匀分布1.重点概念重点概念:随机变量随机变量,分布函数分布函数,分布律分布律(离散型离散型),),概率密度函数概率密度函数(连续型连续型)。2.重点公式重点公式:)()(,)()(xfxFdttfxFx B.分布函数与概率密度函数之间的转化分布函数与概率密度函数之间的转化(连续型连续型)A.分布律

2、、概率密度函数的性质：分布律、概率密度函数的性质：,11 kkpyxyxFyxfdudvvufyxFxy ),(),(),(),(2 1),(,1)(dxdyyxfdxxfC.联合分布联合分布 边缘分布边缘分布jjijijiPyYPPPxXP 1离散型离散型:dxyxfyfdyyxfxfYX),()(),()(:连连续续型型D.边缘分布边缘分布+独立性独立性 联合分布联合分布 jijijiPPyYPxXPyYxXP ,)()(),(yfxfyxfYX A.利用分布函数及概率密度函数的性质解题.B.利用概率密度函数计算概率利用概率密度函数计算概率,随机变量随机变量X(或或(X,Y)落在某区间落在

3、某区间I(或某区或某区域域 G)的概率为的概率为 IGdxdyyxfdxxf),()(或或)(:,)()()(yxgxIdxxfIXPyXgPyFIY (X,Y)连续型连续型,z=g(x,y)为二元连续函数为二元连续函数,则则Z=g(X,Y)为连续型为连续型),(:),(,),(),(),()(zyxgyxdxdyyxfYXPzYXgPzFZ A.二项分布二项分布,X服从服从b(n,p)(),1,0()1(APpnkppCkXPknkkn 其其中中B.Poisson分布分布,X服从服从()(!)1()0(,2,1,0,!npkeppCpnkkekXPkknkknk 较较小小：较较大大，其其它它

4、,0,1)(bxaabxf 0,00,)(xxexfx )1,0(),(2NXZNX xXPxXPxFX x xexfx,21)(222)(课本课本P70,T5(2)(2)设设r.vX的分布律为的分布律为 ,2,1,32 kbkXPk试确定常数试确定常数b；解：解：kkkkkbkXPP 1113211213232 bb21 b二、作业点评二、作业点评错解：错解：knknknkkbkXPP111321 113213232 nb再对上式取极限得：再对上式取极限得：32132321lim nnb1213232 bb21 bP70T6(2)(2)设随机变量的分布律为设随机变量的分布律为 5,4,3,2

5、,1,15 kkkXP .21 XP2F(x)求求其其分分布布函函数数为为 21XP解：解：12 XPXP51151152 错解：错解：21XP 12FF 注：如果注：如果X是连续型随机变量，那么是连续型随机变量，那么 21XP 12FF 21 XP12345P71T8 P71T8 有甲有甲,乙两种味道的酒各乙两种味道的酒各4 4杯杯,颜色颜色相同。从相同。从 中挑中挑4 4杯便能将杯便能将 甲甲 种酒全部挑出，算是种酒全部挑出，算是试验成功试验成功.(1)(1)某人随机地去挑某人随机地去挑,问他试问他试验成功的概率验成功的概率.(2)(2)某人通过品尝区分两种酒某人通过品尝区分两种酒,他连续

6、试验他连续试验1010次次,结果成功结果成功3 3次次,问此人是否确有品尝区问此人是否确有品尝区分的能力分的能力.解解:(1)所求概率为所求概率为:1/=1/7048C(2)假设此人无品尝区分的能力假设此人无品尝区分的能力,记记X为为10次试验中成功次数次试验中成功次数 Xb(10,1/70)4733101016.3)7069()701(3 CXP 显然显然X=3是一小概率事件是一小概率事件,根据小概率事件几乎不根据小概率事件几乎不可能发生原理可能发生原理,可以认为原假设不对可以认为原假设不对,故此人有一定品故此人有一定品尝区分能力尝区分能力.11211)(lim,lim)(limxFAAxx

7、Fxxx 其其它它,010,2)()(xxXFxf解法一：解法一：（1）由于连续型随机变量由于连续型随机变量X的分布函数是连续的的分布函数是连续的1 A（2）111000)(2xxAxxxF求求:(1)常数常数 A (2)概率密度函数概率密度函数 (3)20 XP P72,T16 P72,T16 设连续型设连续型r.vXr.vX的分布函数为的分布函数为 AAxdxdxxf 102)(1由由以下同解法一以下同解法一 解法二：解法二：1 A(3)2020 XPXP 10102 FF 10220211020dxxdxdxxfXP或或 知道分布函数，求落在知道分布函数，求落在某区间的概率，没有必某区间

8、的概率，没有必要对概率密度积分了，要对概率密度积分了，因为这样麻烦，直接用因为这样麻烦，直接用分布函数即可分布函数即可.其其它它,010,2)()(xAxXFxf P72,T17 P72,T17 已知已知r.vXr.vX的概率密度为的概率密度为:其其它它,0,21,210,)(xxxxxf求其分布函数求其分布函数F(x)解解:xduufxXPxF)()(2,1 x0,0 x xxxudu0210,2 xduuudu110)2(21,2/)2(12 xxyx12 0P72T20 P72T20 设顾客在某银行的窗口等待服务的时设顾客在某银行的窗口等待服务的时间间X X服从指数分布服从指数分布,其概

9、率密度为其概率密度为 其它0051)(5/xexfx 某顾客的习惯是某顾客的习惯是,等待时间超过等待时间超过10分钟便离开分钟便离开.现知他一现知他一个月要到银个月要到银 行行5次次,求他未受到服务的次数不少于求他未受到服务的次数不少于1的概率的概率.分析分析:顾客一个月内未受到服务的次数为顾客一个月内未受到服务的次数为Y，要要求的是求的是PY1；“未受到服务未受到服务的事件的事件A为为X10；10)(10dxxfXP),5(2 ebY则则011 YPYP2105/51 edxex5167.0)1(152 eP65T25,28,31 P65T25,28,31 盒子里装有盒子里装有3 3只黑球只

10、黑球,2,2只红球只红球,2,2只只白球白球.在其中任取在其中任取4 4 只球只球,以以X X表表 示取到黑球的示取到黑球的只数只数,以以Y Y表示取到红球的只数表示取到红球的只数.解解:(1)Y X 0 1 2 3 0 0 0 3/35 2/35 1 0 6/35 12/35 2/35 2 1/35 6/35 3/35 0 (1)求求X,Y的联合分布律的联合分布律 (2)求求(X,Y)的边缘的边缘分布律分布律 (3)X,Y是否相互独立是否相互独立.(2)X 0 1 2 3 1/35 12/35 18/35 4/35kP Y 0 1 2 1/7 4/7 2/7kP(3)PX=2,Y=1=12/

11、35 PX=2=18/35 PY=1=4/7PX=2PY=1=72/245 12/35=84/245 X与与Y不相互独立不相互独立.P74T30 P74T30 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)(X,Y)的概率密度为的概率密度为 (1)(1)求边缘概率密度求边缘概率密度 (2)X,Y(2)X,Y是否相互独立是否相互独立.其其它它,0,10,23),(xyxxxyxf解：解：dyyxfxfX),()(xxXdyyxfxf),()(其其它它,010,3)(2xxxfX时时10 x232/3xdyxxx 232/3),()(xdyxdyyxfxfxxxxX 解解：这样做对吗？这样做对吗？xy x

12、y 11-1xy为确定积分限为确定积分限,先画出被积函数不为先画出被积函数不为0的区域的区域 积分变量积分变量y的取值范围与的取值范围与x有关，讨论有关，讨论x固固定定x x后后对对y y求求积积分分!注注意意取取值值范范围围注意积分限注意积分限 dxyxfyfY),()(同理同理14323)(21|yxdxyfyY 时时11 y 其其它它且且,01110,)1(49)()(22yxyxyfxfYX 显然显然 其其它它,011,)1(43)(2yyyfY X与与Y不是相互独立的不是相互独立的.),()()(yxfyfxfYX xy xy 11-1xyP72,T26 设设r.vX，Y的概率密度为

13、的概率密度为 其其它它,00,0,43yxkeyxfyx求求(1)常数常数k；(2)分布函数。分布函数。解：解：(1)由概率密度函数的性质由概率密度函数的性质 ：dxdyyxf得得1,xy0G dxdyyxf ,1 Gdxdyyxf,dykedxyx 004312121 kk 00),(dyyxfdx 00),(dyyxfdx(2)解：解：dudvvufyxFxy ,120043 xyvudvedu 其其它它,00,0,1143yxeeyx 注：当我们对概率密度函数积分求分布函数时，一定要注：当我们对概率密度函数积分求分布函数时，一定要 全面考虑被积函数的定义域。如上题，有的同学只全面考虑被积

14、函数的定义域。如上题，有的同学只 考虑考虑x0,y0与与x0,y0 时时 FY(y)=PX lny=(lny)分析：一维连续型分析：一维连续型r.v函数的分布，分布函函数的分布，分布函数法。数法。解解:由由X,Y相互独立相互独立,易得易得 (X,Y)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)Pij 1/6 1/3 1/8 1/4 1/24 1/12 X+Y 0 1 1 2 2 3 P67T45 X,Y相互独立相互独立,求求X+Y的分布律的分布律 X 0 1 2 Y 0 1 Pk 1/2 3/8 1/8 Pk 1/3 2/3 X+Y 0 1 2 3 Pk 1/6 11/24 7

15、/24 1/12解解:(X,Y)的联合概率密度函的联合概率密度函数数2222/)(221)()(),(yxYXeyfxfyxf )(22zYXPzZPzFZ 0)(,0 zFzZ时时P76T51 P76T51 设设X,YX,Y为相互独立的随机变量为相互独立的随机变量,它们都服它们都服从从 分布分布.证明证明 的概率密度为的概率密度为22YXZ 其其它它00)(222/2zezzfzZ ),0(2 N )(,0222zYXPzFzZ时时rdredrz222/200221 222/1 ze )(zfZ 222),(zyxdxdyyxf极坐标变换极坐标变换 GGrdrdrrfdxdyyxf )sin

16、,cos(),(P75T46设设X和和Y是相互独立的随机变量，其概率密度为是相互独立的随机变量，其概率密度为 000)(xxexfxX 000)(yyeyfyY 其中其中0,0 为常数，求为常数，求X+Y的概率密度的概率密度解解:Z=X+Y的概率密度的概率密度被积函数的非零区域为被积函数的非零区域为 00 xzxzx 0即即 zxzzxzxzdxeedxezf0)(0)()(dxxzfxfzfYXZ)()()(积分得：积分得：xz xzG当当 z0时时 00)()(2zzeeezfzzzYX 0 z若求若求 Z=X-Y的概率密度的概率密度f(x,x-z)的非零区域为的非零区域为 00zxx z

17、xx0即即 dxzxxfzfz),()(zxzzzxxzdxeedxezf)()()(当当 z0时时当当 z0时时 0)(0)()(dxeedxezfxzzxxz ze ze 00)(zezezfzzz (X,Y)的联合分布为的联合分布为 其其它它00,0),(yxeyxfyx xz xzG0三、大作业点评三、大作业点评一、是非题一、是非题 2、设、设 是离散型随机变量是离散型随机变量 X的分布函数，则恒有的分布函数，则恒有 。)(xF)()(aFbFbXaP 不一定等于不一定等于0 。分析：分析：bXP 而而 X 是离散型随机变量，是离散型随机变量，)()(bXPaFbFbXaP 由于由于3

18、、函数、函数 xxxxF(x)10sin00 为某随机变量为某随机变量X的分布函数。的分布函数。)(xF是一个不减函数是一个不减函数,而而xsin在区间在区间,0上先增后减。上先增后减。分析：分析：5、设、设r.v),(2NX,那那么么增大时增大时XP保持不变。保持不变。分析：分析：XP)1()1(1)1(2不论不论变不变变不变XP 保持不变。保持不变。XP11 XP1 1、概率等于、概率等于0 0的随机事件即是不可能事件。的随机事件即是不可能事件。1 1、设随机变量、设随机变量X的密度函数为的密度函数为 其它其它0104)(3xxxf则使则使aXPaXP 成立的常数成立的常数_ a。分析：分

19、析：10 a所以所以421 a二、填空题二、填空题dxxdxxaa 130344441aa 214 a由题意知由题意知3195)1(1)0(12 ppXP2719)311(1)1(3 YP分析：分析：如课后如课后21题题在区域在区域D上服从均匀分布，其中上服从均匀分布，其中D5、设二维、设二维r.v),(YX是由是由x轴，轴，y轴及直线轴及直线12 xy所围成的三角区域，那所围成的三角区域，那么么_21,81 YXP分析：分析：41 DS那么那么 其其它它0),(4),(Dyxyxf为红色区域为红色区域1D21,81 YXP 21081214ydxdy21 1),(Ddxdyyxf1、当、当x

20、时，时，xxfcos)(可以是随机变量可以是随机变量X的概率密度函数的概率密度函数,)(,)(,)(,)(47230220DCBA10dxxfxf)()(且概率密度函数有如下性质：概率密度函数有如下性质：xcos在区间在区间,20上满足上面两条性质，应选上满足上面两条性质，应选A）。）。分析：分析：三、选择题三、选择题YX,4、设、设相互独立，且都服从相互独立，且都服从0，1上的均匀分布，那上的均匀分布，那么么服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是服从区间或区域上的均匀分布的随机变量是 。YXDXCYXBYXA)()()(),()(2分析：分析：其其它它其其它它0101)(0101)(yyfx

21、xfYX 其其它它相相互互独独立立，则则且且010,101)()(),(,yxyfxfyxfYXYX应选应选A）。另三个选项可按求随机变量函数的分布函）。另三个选项可按求随机变量函数的分布函数的方法求。数的方法求。由已知得到由已知得到分析：分析：X)2(的分布函数为的分布函数为 xxxxxpxXPxFxxkk2121100110)(4039403640271、设、设D.r.vX的分布律为的分布律为,2,1,0,1,)31(kAkXPk A为常数为常数求求(1)常数常数A；（2）X的分布函数的分布函数21,23)3(XPXP14XY)(的分布律，的分布律，2XZ 的分布律。的分布律。四、解答题四

22、、解答题(1)X的分布律为的分布律为210131409,)(kkXPk公式形式公式形式然后用定义求然后用定义求),(xF 由于由于X=-1,0,1,2,故将定义域故将定义域),(分成分成 ,22,11,00,1)1,(注：除第一个区间外后面的区间为左闭右开。注：除第一个区间外后面的区间为左闭右开。如课后如课后5,6,40,41题题2、设连续型随机变量、设连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为111110 xxxBAxxFarcsin)(试求试求1常数常数A,B;(2)X的概率密度函数的概率密度函数)(xf(3)X落在区间落在区间),(2121 的概率的概率（4）142 XY的概率密度。的概率

23、密度。（1利用利用)(xF是连续函数这一性质。是连续函数这一性质。02)arcsin()1(01 BAxBAmliFx 12)arcsin()1(11 BAxBAmliFx 求得求得121BA,分析：分析：如课后如课后16,17,42题题)()(4114422yXPyXPyYPyFY根据根据y的情的情况讨论况讨论0)(,00)(12 yfXPyFyYY时时，时时，1 y)()(2121yFyFXX)()()(2121yFyFyfXXY)()(2114121141yfyyfyXX要根据要根据)(xfX的定义域再次对的定义域再次对y讨论讨论时时即即当当311210 yy)3)(1(1)411114

24、1)4111141)(yyyyyyyfY 0)(yfY其其余余情情况况则则故故其它310311yyyyfY)()(212141)(2 yXyPyXPyFY 其它其它01111)(2xxxfX 其其它它同同理理：010)1(233)(21yyxdxyfyY85 如课后如课后26,27,29,42题题5 5如课后如课后34,35题题五、应用题五、应用题例例 在在(0,1)(0,1)上任意取两个点上任意取两个点,试求两点间的试求两点间的距离的分布函数距离的分布函数.其其它它其其它它,010,1)(,010,1)(xxfyyfXY(X,Y)的概率密度函数的概率密度函数 其其它它且且,01010,1)(

25、)(),(yxyfxfyxfYX令令Z=|X-Y|,则所求为则所求为FZ(z),解解:设设X为第一个点的坐标为第一个点的坐标,Y为第二个点为第二个点的坐标的坐标,X,Y均服从均服从0,1)上的均匀分布上的均匀分布,且且X与与Y相互独立相互独立.zyxZdxdyyxfzF),()(2)1(1zdxdyG 0)(zFZ11010 dydx 1,110,)1(10,0)(2zzzzzFz 其其它它且且,01010,1),(yxyxf)(zYXPzFZ ,0时时 z,10时时 z,1时时 zzyx zyx xzz11yGzyx zyx 11xyzzG zyxZdxdyyxfzF),()(P71T11

26、有有10台机床，每台发生故障的概率为台机床，每台发生故障的概率为0.08,而而10台机床工作独立，每台故障只需一个维台机床工作独立，每台故障只需一个维修工人排除。问至修工人排除。问至 少要配备几个维修工人少要配备几个维修工人,才能才能保证有故障而不能及时排除保证有故障而不能及时排除 的概率不大于的概率不大于5%。解：设解：设r.vX表示表示10台机床同时发生故障台机床同时发生故障的台数的台数mmXP的的最最小小的的则则要要求求的的是是满满足足05.0 至少要配备至少要配备2个维修工人。个维修工人。95.01,1 XPm95.0 mXP也也即即9572.02102,2 XPXPXPXPm XB1

27、0，0.08）设需配备设需配备m个维修工人个维修工人0m m如果用如果用 来讨论来讨论m，结，结果果 m=3,正确吗正确吗？%5 mXP(3)设随机变量设随机变量X的分布律为的分布律为 ;0,2,1,0,!为为常常数数 kkCkXPkC试试确确定定解：解：001kkkkXPP!0kCkk 1 eC eC注：不能说因为注：不能说因为X服从泊松分布，所以服从泊松分布，所以 eC课本课本P70,T5,(3)T32、设、设X,Y分布律为分布律为 分析：先求边缘分布律分析：先求边缘分布律问问:取何值时，取何值时，X，Y相互独立？相互独立？92 91 619131 12XY1 2 3181 ipjp 619131 12XY1 2 3181 由由X，Y独立性得：独立性得：313161显示桌面.scf