小学数学概率与统计教学专题研究

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1、小学数学概率与统计小学数学概率与统计教学专题研究教学专题研究为什么要大量增加学习内容为什么要大量增加学习内容小学阶段教学内容和学段目标小学阶段教学内容和学段目标人教版教学内容安排和编排特点人教版教学内容安排和编排特点儿童形成统计思想的过程特征和儿童形成统计思想的过程特征和教学策略教学策略儿童形成概率思想的过程特征和儿童形成概率思想的过程特征和教学策略教学策略一、为什么要大量增加学习内容一、为什么要大量增加学习内容概率与统计学科的不断发展与完善概率与统计学科的不断发展与完善 产产 生生1.1.最早出现了赌博和游戏活动中（约公元前最早出现了赌博和游戏活动中（约公元前20002000年左右）；年左右

2、）；2.142.14世纪以后，人们开始研究保险业务和赌世纪以后，人们开始研究保险业务和赌博中的赌注问题，标志着随机数学的出现博中的赌注问题，标志着随机数学的出现;3.173.17世纪中期正式产生概率和统计学科。其世纪中期正式产生概率和统计学科。其中最为著名的是法国数学家帕斯卡和费尔马中最为著名的是法国数学家帕斯卡和费尔马于于16541654年通过书信各自解决的年通过书信各自解决的“点数问题点数问题”。点数问题点数问题 在两个赌徒在两个赌徒A A和和B B之间进行赌博，规定两人之间进之间进行赌博，规定两人之间进行若干局比赛，如果行若干局比赛，如果A A先取得先取得2 2局胜利，则局胜利，则 A

3、A胜；如胜；如果果B B先取得先取得3 3局胜利，则局胜利，则B B胜，问应该如何分配赌注。胜，问应该如何分配赌注。费尔马费尔马 把两人进行把两人进行4次比赛的各种可能的情况一一列举，次比赛的各种可能的情况一一列举，如下：如下：aaaa baaa abaa aaba aaab bbaa baba baab abba abab aabb bbba bbab babb abbb bbbb A获胜的情况有获胜的情况有11种，而种，而B获胜只有获胜只有5种，因此赌种，因此赌注应该按照注应该按照11：5的比例分配。的比例分配。帕斯卡帕斯卡 利用二项式展开的系数来解决点数问题：利用二项式展开的系数来解决点

4、数问题：C（4，4）+C（4，3）+C（4，2）：C（4，1）+C（4，0）=11：5惠更斯惠更斯 1657荷兰数学家惠更斯出版了荷兰数学家惠更斯出版了赌博中赌博中的计算的计算标志着概率论的正式产生。标志着概率论的正式产生。发展发展（1 1）1818世纪是概率论正式形成和发展时期。伯努世纪是概率论正式形成和发展时期。伯努利发现了利发现了“大数定律大数定律”，17181718年法国数学家棣莫年法国数学家棣莫弗发表了弗发表了机遇原理机遇原理，拉普拉斯发表了，拉普拉斯发表了分析分析概率论概率论，系统总结了概率论，完善了古典概率，系统总结了概率论，完善了古典概率论。论。（2 2）2020世纪初前苏联数

5、学家柯尔莫哥洛夫于世纪初前苏联数学家柯尔莫哥洛夫于19331933年发表了年发表了概率的公理化结构概率的公理化结构，建立了概率论，建立了概率论的公理体系，为概率论奠定了严格的逻辑基础。的公理体系，为概率论奠定了严格的逻辑基础。概率和数理统计开始分家，成为两个数学分支。概率和数理统计开始分家，成为两个数学分支。（3 3）2020世纪世纪5050年代开始，概率论进一步发展，年代开始，概率论进一步发展，理论研究和实际应用都取得了空前的发展，尤其理论研究和实际应用都取得了空前的发展，尤其是计算机的使用，使概率统计成为一个非常庞大是计算机的使用，使概率统计成为一个非常庞大的数学分支。的数学分支。意义意义

6、（1 1）就应用而言，对社会发展有促进作用。）就应用而言，对社会发展有促进作用。（2 2）就认识论而言，表明人们对偶然性与必然）就认识论而言，表明人们对偶然性与必然性之间的辨证关系有了进一步的认识。性之间的辨证关系有了进一步的认识。随机数学是研究大量偶然性事件的规律的随机数学是研究大量偶然性事件的规律的科学，是从事物的偶然性中揭示事物发展的必科学，是从事物的偶然性中揭示事物发展的必然趋势的学科。因此随机数学从量化上进一步然趋势的学科。因此随机数学从量化上进一步认识偶然性服从于现象内部蕴藏的必然性。认识偶然性服从于现象内部蕴藏的必然性。（3 3）就方法论而言，是从局部到总体的归纳方）就方法论而言

7、，是从局部到总体的归纳方法。（统计推断可以保证归纳的正确性。）法。（统计推断可以保证归纳的正确性。）国际小学数学教学改革的趋势国际小学数学教学改革的趋势 2020世纪世纪8080年代以来，很多国家都进行了小年代以来，很多国家都进行了小学数学教育的改革，其中一个共同的趋势，学数学教育的改革，其中一个共同的趋势，将将“数据处理数据处理”作为一个重要的组成部分纳作为一个重要的组成部分纳入到学校数学课程中。入到学校数学课程中。数据处理的教学基本目标应该是使学生数据处理的教学基本目标应该是使学生学会收集、组织和描述数据；建构、阅读和学会收集、组织和描述数据；建构、阅读和解释陈列的数据；探究概率和随机现象

8、；形解释陈列的数据；探究概率和随机现象；形成和解决涉及到数据的收集和分析的问题；成和解决涉及到数据的收集和分析的问题；描述和解释数据；用形象的图和表的形式来描述和解释数据；用形象的图和表的形式来表达数据；形成对数据的批判态度。表达数据；形成对数据的批判态度。强化强化“概率与统计概率与统计”学习内容的意义学习内容的意义 1 1形成合理解释数据的能力形成合理解释数据的能力我们正处在一个信息社会中，我们的生我们正处在一个信息社会中，我们的生活正在被以数据所构成的信息包围着和控制活正在被以数据所构成的信息包围着和控制着，因此对一般公民来说，学会对数据的认着，因此对一般公民来说，学会对数据的认识、收集、

9、描述、分析和利用是一种非常重识、收集、描述、分析和利用是一种非常重要的能力。而这些能力应该从小学开始进行要的能力。而这些能力应该从小学开始进行培养。正如邓小平总书记说过：计算机教学培养。正如邓小平总书记说过：计算机教学应从娃娃抓起。应从娃娃抓起。2 2提高科学认识客观世界的能力提高科学认识客观世界的能力我们生活的世界里，到处有无法确定甚至不可我们生活的世界里，到处有无法确定甚至不可预测的随机现象，学会从这些随机现象中找出规律，预测的随机现象，学会从这些随机现象中找出规律，就能更好地认识、描述和分析客观世界。利用一些就能更好地认识、描述和分析客观世界。利用一些统计和概率知识来科学、客观地认识世界

10、，也是现统计和概率知识来科学、客观地认识世界，也是现代公民必备的基本素养。代公民必备的基本素养。一位著名的英国作家威尔斯一位著名的英国作家威尔斯(H.G.Wells(H.G.Wells)预言预言:就像读和写的能力一样就像读和写的能力一样,将来有一天统将来有一天统计的思维会成为效率公民的必备能力计的思维会成为效率公民的必备能力.3 3发展现实情境中解决实际问题的能力发展现实情境中解决实际问题的能力在现实世界中，现象和问题是以各种各样的形在现实世界中，现象和问题是以各种各样的形式存在的，而且又有非常强的偶然性和变化性，它式存在的，而且又有非常强的偶然性和变化性，它需要现代社会成员通过自己的观察、分

11、析，从大量需要现代社会成员通过自己的观察、分析，从大量的偶然性现象背后揭示出某些规律来，才能对自己的偶然性现象背后揭示出某些规律来，才能对自己的行为作出有效的选择，才能独立地去解决实际问的行为作出有效的选择，才能独立地去解决实际问题。题。统计学家统计学家C.R.C.R.劳先生劳先生统计和真理统计和真理怎样运怎样运用偶然性用偶然性中指出：中指出：在终极的分析中，一切知在终极的分析中，一切知识都是历史；在抽象的意义下，一切科学都识都是历史；在抽象的意义下，一切科学都是数学；在理性的基础上，所有的判断都是是数学；在理性的基础上，所有的判断都是统计学。统计学。二、小学阶段教学内容及学段目标二、小学阶段

12、教学内容及学段目标（一）第一学段的主要内容和教学目标（一）第一学段的主要内容和教学目标标准指出：本学段中，学生将对数据统标准指出：本学段中，学生将对数据统计过程有所体验，学习一些简单的收集、整计过程有所体验，学习一些简单的收集、整理和描述理和描述 数据的方法，能根据统计结果回答数据的方法，能根据统计结果回答一些简单的问题，初步感受事件发生的不确一些简单的问题，初步感受事件发生的不确定性和可能性。定性和可能性。主要包括主要包括统计活动初步统计活动初步和和不确定现象不确定现象两两部分。部分。统计活动初步统计活动初步本学段的统计活动主要包括：能对日常生活本学段的统计活动主要包括：能对日常生活中的事件

13、进行分类比较，得出简单、形象的统中的事件进行分类比较，得出简单、形象的统计图表，会对身边的数据信息进行收集、整理计图表，会对身边的数据信息进行收集、整理以及简单分析，懂得简单数据记录方法等。以及简单分析，懂得简单数据记录方法等。教学目标有条。教学目标有条。不确定现象不确定现象这是新课程中新增加的主要内容之一。本学这是新课程中新增加的主要内容之一。本学段的主要内容是：初步体验有些事件发生是确段的主要内容是：初步体验有些事件发生是确定的，有些是不确定的，能够列举简单实验所定的，有些是不确定的，能够列举简单实验所有可能发生的结果，知道有些事件发生的可能有可能发生的结果，知道有些事件发生的可能性大小，

14、并能对这些可能性的大小用文字语言性大小，并能对这些可能性的大小用文字语言进行描述。进行描述。二、小学阶段教学内容及学段目标二、小学阶段教学内容及学段目标（二）第二学段的主要内容和教学目标（二）第二学段的主要内容和教学目标本学段中，学生将进一步经历简单数据统本学段中，学生将进一步经历简单数据统计过程，进一步学习收集、整理和描述数据的计过程，进一步学习收集、整理和描述数据的方法，并根据数据分析的结果作出简单的判断方法，并根据数据分析的结果作出简单的判断和预测；将进一步体会事件发生可能性的含义，和预测；将进一步体会事件发生可能性的含义，并能计算一些简单事件发生的可能性并能计算一些简单事件发生的可能性

15、。主要包括主要包括数据统计过程数据统计过程和和可能性可能性两部分。两部分。简单数据统计过程简单数据统计过程 本学段的数据统过程主要包括：经历数据处本学段的数据统过程主要包括：经历数据处理的全过程；通过实例进一步认识统计图表以理的全过程；通过实例进一步认识统计图表以及选择统计图表有效表示数据；理解不同统计及选择统计图表有效表示数据；理解不同统计量的基本特征；能从生活中有意识地获得一些量的基本特征；能从生活中有意识地获得一些数据信息并能作一些简单的判断和预测。本学数据信息并能作一些简单的判断和预测。本学段的教学目标有段的教学目标有8 8条。条。可能性可能性本学段的主要内容是：能判断一些事件发本学段

16、的主要内容是：能判断一些事件发生的可能性大小，并能对这些可能性的大小用生的可能性大小，并能对这些可能性的大小用文字语言进行描述，作出刻画。既能用自己的文字语言进行描述，作出刻画。既能用自己的语言描述影响事件之所以发生可能性的主要理语言描述影响事件之所以发生可能性的主要理由并作出预测。由并作出预测。三、人教版教学内容编排及特色三、人教版教学内容编排及特色（一）教学内容编排情况（一）教学内容编排情况（二）教学内容编排特色（二）教学内容编排特色 起点低起点低 分布广分布广 循序渐进循序渐进 螺旋上升螺旋上升 内容过多，要求过高内容过多，要求过高四、儿童形成统计思想的过程特征四、儿童形成统计思想的过程

17、特征及教学策略及教学策略 所谓统计，其本质就从局部观察到的资所谓统计，其本质就从局部观察到的资料的数据特征来推断整个系统的状态，既通料的数据特征来推断整个系统的状态，既通过研究随机变量的数学关系以及这些变量的过研究随机变量的数学关系以及这些变量的分布规律，来推断有关总体的情况，或去判分布规律，来推断有关总体的情况，或去判断某一论断能以多大的概率来保证其准确性，断某一论断能以多大的概率来保证其准确性，它是一种由局部推断总体的思想方法，是一它是一种由局部推断总体的思想方法，是一种探知某个系统的规律性的科学。简而言之：种探知某个系统的规律性的科学。简而言之：关于收集和分析数据的科学和艺术。关于收集和

18、分析数据的科学和艺术。所谓统计思想，有两个基本含义：一是所谓统计思想，有两个基本含义：一是指通过对数据初步整理，科学揭示随机现象指通过对数据初步整理，科学揭示随机现象背后的某些规律性的思想，二是指从局部出背后的某些规律性的思想，二是指从局部出发探究总体的思想。发探究总体的思想。（1 1）动物能感知地震将要发生。）动物能感知地震将要发生。（2 2）我国小学生近视眼发病率为我国小学生近视眼发病率为22.822.8，中学生为中学生为55.255.2，高中生为，高中生为70.370.3。（一）统计思想形成的过程特征（一）统计思想形成的过程特征1、观念是伴随着操作活动逐步形成的；、观念是伴随着操作活动逐

19、步形成的；2、对数据理解是逐步发展；、对数据理解是逐步发展；比如：比如：“一个小孩一天当中吃了一个小孩一天当中吃了1 1块水果块水果糖和糖和5 5块巧克力糖块巧克力糖”3、数据的分析与利用能力的形成是渐进的；、数据的分析与利用能力的形成是渐进的；4、对统计样本的理解缺乏经验的支撑；、对统计样本的理解缺乏经验的支撑；（儿童首先接触的是可以穷尽的数据，学生总是以儿童首先接触的是可以穷尽的数据，学生总是以自己熟悉的数据为依据作出判断。自己熟悉的数据为依据作出判断。）5、对数据特征的认识集中在外部明显特征上、对数据特征的认识集中在外部明显特征上序号序号ABCDEFG次数次数75792711（二）教学策

20、略（二）教学策略 1关注儿童在现实生活中的经历；关注儿童在现实生活中的经历；2增强在数学活动中的体验增强在数学活动中的体验 统计不是统计不是“计算计算+制图制表制图制表”。（1 1）体会收集数据的必要性）体会收集数据的必要性 （2 2）经历科学有效收集、整理数据的过程）经历科学有效收集、整理数据的过程 （3 3）掌握合理分析数据的能力）掌握合理分析数据的能力日期日期一一二二三三四四五五六六七七次数次数198201194204202203 205 小明的奶奶有一天到学校来向校长反映：小明的奶奶有一天到学校来向校长反映：孩子作业负担过重，一天写作业的时间需要孩子作业负担过重，一天写作业的时间需要9

21、0分钟。如果你是校长，你将会如何处理？分钟。如果你是校长，你将会如何处理？学号学号 时间时间学号学号 时间时间学号学号 时间时间118114421292261234222232413252327416142324175471527252963016192630 让学生真切体会到统计图表的制作不仅仅让学生真切体会到统计图表的制作不仅仅是一个简单的技术问题，而是理解它们的作用是一个简单的技术问题，而是理解它们的作用和现实意义。和现实意义。时间时间15以内以内16-30分分 31-45分分 46-60分分 61分分以上以上人数人数0 02 24 46 68 810101212141416161818

22、2020出生出生1 1岁岁2 2岁岁3 3岁岁4 4岁岁5 5岁岁6 6岁岁体重体重年龄年龄0123456体重体重391113161720（二）教学策略（二）教学策略 3强化将知识运用于现实情境。强化将知识运用于现实情境。如下表是三位足球运动员六局点球比赛的如下表是三位足球运动员六局点球比赛的情况（每局情况（每局1010次，射中计次，射中计1 1分）：分）：一一二二三三四四五五六六张平张平41076106李强李强78767/小兵小兵356/78课例介绍课例介绍 平均数平均数 条形统计图条形统计图 统计知识的教学不是一个知识点的授手，统计知识的教学不是一个知识点的授手，也不是一种技能的训练，重要

23、的是一种意识、也不是一种技能的训练，重要的是一种意识、一种思想的滋润。陈希孺先生说：一种思想的滋润。陈希孺先生说：“统计规律统计规律的教育意义是看问题不可绝对化。习惯于从统的教育意义是看问题不可绝对化。习惯于从统计规律看问题的人在思想上不会偏执一端。计规律看问题的人在思想上不会偏执一端。”五、儿童形成概率思想的过程特征五、儿童形成概率思想的过程特征及教学策略及教学策略 1对事件发生可能性的认识是逐步发展的；对事件发生可能性的认识是逐步发展的；等可能性的片面理解；（等可能性的片面理解；（6 6个红球和个红球和4 4个白球，任意个白球，任意摸一个，结果会是什么？摸到什么颜色球的可能性比较摸一个，结

24、果会是什么？摸到什么颜色球的可能性比较大？）大？）2对事件发生的可能性认识受经验的制约；对事件发生的可能性认识受经验的制约；（明天是否会下雪，（明天是否会下雪，每天都有孩子出生）每天都有孩子出生）3对事件发生的可能性认识要通过直观操作来支持。对事件发生的可能性认识要通过直观操作来支持。（一）概率思想发展的过程特征（一）概率思想发展的过程特征 1通过大量活动来获得对实践可能性的体验；通过大量活动来获得对实践可能性的体验；例例1 1：掷两个骰子，点数和为：掷两个骰子，点数和为7 7与点数和为与点数和为8 8，哪种可能比较大？哪种可能比较大？2通过游戏活动来引导学生体验事件发生的可通过游戏活动来引导

25、学生体验事件发生的可能性；能性；摸球游戏摸球游戏3通过让学生设计方案去体验事件的可能性。通过让学生设计方案去体验事件的可能性。有奖销售的方案设计有奖销售的方案设计（二）教学策略（二）教学策略 4数据处理和呈现要贴近学生的认知水平数据处理和呈现要贴近学生的认知水平 课例：抛硬币课例：抛硬币问题情境：两个人只有一张电影票，采用什么方问题情境：两个人只有一张电影票，采用什么方法决定其中一个人去看，引出抛硬币。法决定其中一个人去看，引出抛硬币。1 1、抛硬币这个游戏公平吗？（公平）、抛硬币这个游戏公平吗？（公平）2 2、操作验证：、操作验证：组别组别正面朝上正面朝上反面朝上反面朝上1132722317

26、3281242020合计合计217183试验者试验者抛硬币总数抛硬币总数 正面朝上正面朝上反面朝上反面朝上德德摩根摩根409220482044蒲丰蒲丰404020481992费勒费勒1000049795021皮尔逊皮尔逊240001201211988罗曼诺夫罗曼诺夫斯基斯基806403969940941历史上著名数学家抛硬币的情况历史上著名数学家抛硬币的情况 每组抛每组抛10次次每组抛每组抛40次次终于得出了二分之一的结论，但是是否终于得出了二分之一的结论，但是是否所有的同学都能理解这样的图表吗？所有的同学都能理解这样的图表吗？每组抛每组抛10次次每每3组合并一大组组合并一大组每组抛每组抛40

27、次次逐步逼近，水到渠成。逐步逼近，水到渠成。六、概率统计教学中应注意的问题六、概率统计教学中应注意的问题 1牢记统计教学的正确价值取向；牢记统计教学的正确价值取向；看成一种策略：让学生自主产生统计的需要。看成一种策略：让学生自主产生统计的需要。亲历一种过程：在经历和体验中学习。亲历一种过程：在经历和体验中学习。学会一种眼光：从统计的角度看生活。学会一种眼光：从统计的角度看生活。（统计（统计的眼光不是教出来的，需要在实践中发现、培的眼光不是教出来的，需要在实践中发现、培养养。）。）2警惕统计教学中人文关怀的缺失警惕统计教学中人文关怀的缺失 课堂不仅是学科知识传递的殿堂，更课堂不仅是学科知识传递的

28、殿堂，更是人性培育的圣殿。是人性培育的圣殿。3、正确把握概率统计教学的基本目标要正确把握概率统计教学的基本目标要求。求。以学定教。以学定教。要从学生的实际需要和水平出要从学生的实际需要和水平出发设计、组织开展正确的教学。发设计、组织开展正确的教学。因材施教。因材施教。要根据不同学生的实际设置要根据不同学生的实际设置不同层次的教学要求并组织开展相应的活动。不同层次的教学要求并组织开展相应的活动。4、多开展综合实践活动多开展综合实践活动 观念在活动中逐步形成。观念在活动中逐步形成。能力在活动中逐步增长。能力在活动中逐步增长。三点建议三点建议第一，今天的孩子明天的主人，教第一，今天的孩子明天的主人，教孩子一年，想孩子发展六十年。孩子一年，想孩子发展六十年。第二，今天的课联结着昨天和明天，第二，今天的课联结着昨天和明天，备好一节课，想到整个学段和单元。备好一节课，想到整个学段和单元。第三，把简单的应付和心中的牢骚转第三，把简单的应付和心中的牢骚转化为有意义的数学思考，让自己每一化为有意义的数学思考，让自己每一天辛苦的工作着上美丽的数学智慧。天辛苦的工作着上美丽的数学智慧。