数值分析高斯公式1

《数值分析高斯公式1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值分析高斯公式1（22页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、一、高斯点一、高斯点定义：高斯公式定义：高斯公式机械求积公式机械求积公式 nkkkbaxfAdxxf0)()(含有含有2n+2个待定参数个待定参数 ),.,1,0(,nkAxkk 若适当选择这些参数使求积公式具有若适当选择这些参数使求积公式具有2n+1次代次代数精度，则这类公式称为数精度，则这类公式称为高斯公式高斯公式。(4.1)请回答请回答:以前学过的梯形公式、辛甫生公式、柯以前学过的梯形公式、辛甫生公式、柯特斯公式、中矩形公式是高斯公式吗？特斯公式、中矩形公式是高斯公式吗？答：答：除中矩形公式外都不是！除中矩形公式外都不是！定义：高斯点定义：高斯点高斯公式的求积节点称为高斯公式的求积节点称

2、为高斯点高斯点举例举例求求 a,b上的一点和二点高斯公式。上的一点和二点高斯公式。解解设一点高斯公式为设一点高斯公式为)()(00 xfAdxxfba 则其代数精度应为则其代数精度应为110212 n即即 )(2122000abxdxxAabdxAbaba解得解得)2()()(bafabdxxfba 中矩形公式中矩形公式再设两点高斯公式为再设两点高斯公式为)()()(1100 xfAxfAdxxfba 则其代数精度应为则其代数精度应为311212 n即即 )(41)(31)(2144331130033221120022110010abdxxxAxAabdxxxAxAabxdxxAxAabdxA

3、Ababababa这 是 关 于这 是 关 于四 个 未 知四 个 未 知数 的 非 线数 的 非 线性 方 程，性 方 程，难于求解难于求解高斯点具有以下性质：高斯点具有以下性质：定理定理对于对于插值型求积公式插值型求积公式(4.1)，其节点，其节点),.,1,0(nkxk 是高斯点的充要条件是是高斯点的充要条件是以这些点为零点的多项式以这些点为零点的多项式).()()(10nxxxxxxx 与任意次数不超过与任意次数不超过n的多项式的多项式P(x)均正均正交，即交，即0)()(badxxxP 启发：启发：如何求如何求高斯高斯公式！公式！nkkkbaxfAdxxf0)()(证明证明先证必要性

4、，即先证必要性，即 是高斯点是高斯点kx正正交交与与)()(xPx 设设P(x)是任意次数不超过是任意次数不超过 n 的多项式，则的多项式，则P(x)(x)的次数不超过的次数不超过2n+1，因此应准确，因此应准确成立成立 nkkkkbaxxPAdxxxP0)()()()(但但),.,1,0(0)(nkxk 故故正正交交与与)()(xPx 再证充分性。即再证充分性。即正正交交与与)()(xPx 是高斯点是高斯点kx对于任意给定的次数不超过对于任意给定的次数不超过2n+1的多项式的多项式f(x),用用 除除 f(x)，记商为，记商为P(x)，余式为，余式为Q(x)，)(x 即即)()()()(xQ

5、xxPxf 2n+1n+1nn由已知条件，由已知条件，(x)与与P(x)正交，得正交，得 babadxxQdxxf)()(由于所给求积公式由于所给求积公式(4.1)是插值型的，它至少具是插值型的，它至少具有有n次代数精度，故对次代数精度，故对Q(x)能准确成立：能准确成立：nkkkbaxQAdxxQ0)()(再注意到再注意到(xk)=0，知，知Q(xk)=f(xk)，从而有，从而有 nkkkbaxfAdxxQ0)()(于是由前面的推导知于是由前面的推导知 babadxxQdxxf)()(nkkkbaxfAdxxf0)()(这说明公式对一切次数不超这说明公式对一切次数不超过过2n+1的多项式均能

6、准确成的多项式均能准确成立，故立，故xk是高斯点。是高斯点。)()()()(kkkkxQxxPxf 定理给我们的启发：定理给我们的启发：1、求出、求出a,b上与所有次数不超过上与所有次数不超过n的多项式的多项式 都正交的多项式都正交的多项式n+1(x)。2、求出、求出n+1(x)的的n+1个零点就是高斯点。个零点就是高斯点。请回答请回答:-1，1上与所有次数不超过上与所有次数不超过0的多项式都的多项式都正交的多项式正交的多项式1(x)=？解：解：设设P0(x)=C，1(x)=x x0。由于。由于0)()(1110 dxxxP 即即0)(110 dxxxC展开，得展开，得00 x则一个点的高斯公

7、式为则一个点的高斯公式为)0()(011fAdxxf 中矩形公式中矩形公式二、高斯二、高斯勒让得公式勒让得公式特别地，取特别地，取a,b=-1,1，其上高斯公式为：，其上高斯公式为：110)()(nkkkxfAdxxf下面求对应的高斯点。下面求对应的高斯点。由于勒让得多项式是由于勒让得多项式是-1，1上的正交多项式，上的正交多项式，因此勒让得多项式因此勒让得多项式Pn+1(x)的零点就是高斯点。的零点就是高斯点。特殊地若取特殊地若取P1(x)=x 的零点的零点x0=0 作节点构造作节点构造求积公式求积公式 110)0()(fAdxxf令它对令它对 f(x)=1准确成立，即可定出准确成立，即可定

8、出A0=2.即一点高斯公式为即一点高斯公式为 11)0(2)(fdxxf中矩形公式中矩形公式 1110)31()31()(fAfAdxxf令它对令它对 f(x)=1,x 准确成立，即可定出准确成立，即可定出A0,A1可得两点高斯可得两点高斯勒让得公式为勒让得公式为再取再取 的零点的零点 作节点构作节点构造求积公式造求积公式)13(21)(22 xxP31 11)31()31()(ffdxxf注：其它的高阶公式详见书。注：其它的高阶公式详见书。请回答请回答:高斯高斯勒让得公式仅适用于求积区间是勒让得公式仅适用于求积区间是-1，1，那么对于任意求积区间，那么对于任意求积区间a,b如如何求？何求？解

9、解作变换作变换22batabx 可以化到区间可以化到区间-1，1上，这时上，这时dtbatabfabdxxfba)22(2)(11 三、带权的高斯公式三、带权的高斯公式定义：带权的高斯公式定义：带权的高斯公式求积公式求积公式 nkkkbaxfAdxxfx0)()()(若该公式具有若该公式具有2n+1次代数精度，则称这类公次代数精度，则称这类公式为式为带权的高斯公式带权的高斯公式.上述上述(x)0是权函数。是权函数。高斯点高斯点定理定理),.,1,0(nkxk 是高斯点的充要条件是是高斯点的充要条件是).()()(10nxxxxxxx 是区间是区间a,b上关于上关于(x)的正交多项式。的正交多项

10、式。特殊的特殊的若若a,b=-1，1，权函数是，权函数是211)(xx 所建立的高斯公式为所建立的高斯公式为 nkkkxfAxxf0112)(1)(切 比 雪 夫切 比 雪 夫 高斯公式高斯公式xk是切比雪夫是切比雪夫多 项 式 的 零多 项 式 的 零点点注意：注意：运用正交多项式的零点构造高斯求积运用正交多项式的零点构造高斯求积公式，这种方法只是针对某些特殊的公式，这种方法只是针对某些特殊的权函数才有效。权函数才有效。构造高斯公式的一般方法是构造高斯公式的一般方法是待定系数法待定系数法举例举例要构造下列形式的高斯公式要构造下列形式的高斯公式)()()(110010 xfAxfAxfx 解解则其代数精度应为则其代数精度应为311212 n即即 9/237/25/23/2313002211200110010babababadxxxxAxAdxxxxAxAdxxxxAxAdxxAA作业：作业：习题习题 1010，1111精选精选ppt22此课件下载可自行编辑修改，供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！