地球坐标系和地球椭球

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1、1第二章第二章 地球坐标系和地球椭球地球坐标系和地球椭球22.1 概 述大地测量采用的坐标系：天球坐标系、地球坐标系天球坐标系、地球坐标系地球坐标系：固定在地球上与地球一起自转和公转的固定在地球上与地球一起自转和公转的 坐标系坐标系地球坐标系分类：参心坐标系、地心坐标系参心坐标系、地心坐标系定义坐标系的要素：原点位置、尺度与坐标轴指向；原点位置、尺度与坐标轴指向；还包括一些天文、物理、地球等参数，若采用大还包括一些天文、物理、地球等参数，若采用大地地 坐标表述形式还需要椭球元素。坐标表述形式还需要椭球元素。32.2 地球椭球面的数学计算和有关计算2.2.1 地球椭球的几何、物理元素椭球方程：椭

2、球方程：扁率：扁率：第一偏心率：第一偏心率：第二偏心率：第二偏心率：XYZO1222222bZaYaXabaaEabae222bEbbae22242.2.1 地球椭球的几何、物理元素（续1）几个关系式：几个关系式：22222222221 111 1 2eeeeeeeee21eba21 eab1954年北京坐标系，克拉索夫斯基椭球元素：年北京坐标系，克拉索夫斯基椭球元素：3.2981 m 6378245a52.2.1 地球椭球的几何、物理元素（续2）1980年大地坐标系采用第16届 IAGIUGG 椭球，其椭球元素为：257.2981 /10292115.7 10108263/103.98600

3、5GM m 63781405822314可求得扁率：sradJsma62.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质1、经线和纬线的曲线方程在在XOZ坐标面上的起始经线方程：坐标面上的起始经线方程：OXYZM1M0MLLrARS0 12222YbZaXM0饶Z轴旋转，形成纬圈（平行圈），其半径：22YXr经度为L的经线方程：LXYbZaYaXtan 122222272.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续1）OXYZM1M0MLLrARS纬圈方程：0222222Z 1ZbZaYaX82.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续2）2、椭球面法线与子午线主法线的同一性、经纬线的Frenet标

4、架POQMPRTNA如图为过M点的子午面。子午线的主法线MP位于子午面内，且垂直于子午线切线T；R为过M点的平行圈切线，显然R垂直于M点的子午面，因此R垂直于MP。所以，MP垂直于椭球面在M点的切平面，因此它是椭球面的法线。Frenet标架：标架：曲线上任意一点处的三个相互正交的单位向量取切向、主法向和与该两个方向正交的第三个方向构成的三维直角坐标系。92.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续3）3、旋转椭球面及经纬线的参数方程1).以大地经度L及归化纬度u为参数的方程uaXZOMMubZuaXsincos在XOZ子午面内，有在三维空间坐标系中：ubZLuaYLuaXsinsincosc

5、oscos10(2).以大地经纬度L、B为参数的方程XZK0B90+BOTM 0切线M0T的斜率的导数式：BBdXdZctg90tan0由椭圆方程求导得：12222bZaXZXeZaXbdXdZ2221代入第一式得：BeXZtan1212.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续4）112.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续5）将将 代入椭圆方程，化简后得：代入椭圆方程，化简后得：1BeBeaZBeBaX22222sin1sin1 sin1cos引入辅助符号：WaNBeW sin122则有：sin1 cos2BeNZBNX122.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续6）以大地经

6、纬度两个参数表示的椭球面上一点的三维坐标以大地经纬度两个参数表示的椭球面上一点的三维坐标为椭球面参数方程式：为椭球面参数方程式：sin1sincoscoscos2BeNZLBNYLBNX13以大地纬度为参数的经度为LC的子午线参数方程为:BeNZLBNYLBNXCCsin1sincoscoscos214在一点在一点BC,LC 处的子午线切向量处的子午线切向量CcCCcCCcBMBZLBMBYLBMBXcossinsincossin15子午线切线单位向量子午线切线单位向量CCCCCBLBLBcossinsincossin16以大地经度为参数的大地纬度为以大地经度为参数的大地纬度为的的BC纬线的参

7、数方程为纬线的参数方程为CBCBCBBeNZLBNYLBNXCCCsin1sincoscoscos217在一点在一点BC,LC 处的平行圈切向量处的平行圈切向量0coscossincosLZLBNLYLBNLXCCcCCc18平行圈切线单位向量平行圈切线单位向量0coscossincosCCCCLBLB190coscossincosCCCCLBLBCCCCCCCCCCBLBLBBLBLBsinsincoscoscoscossinsincossin椭球面单位法向量为其矢量积：椭球面单位法向量为其矢量积：202.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续7）(3).以大地经度L及球心纬度为参数的方

8、程XZOM 0 球心纬度，向径，则对于XOZ平面上的椭圆有：sincosZX 在椭圆上，向径由球心纬度唯一确定，将上式代入椭圆方程，得：222cos11eea212.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续8）对于对于XOZ平面上的椭圆有：平面上的椭圆有：222222cos11sin cos11coseeaZeeaX以经度、球心纬度两个参数表示的椭球面上一点的三维以经度、球心纬度两个参数表示的椭球面上一点的三维坐标为参数方程式为：坐标为参数方程式为：2222222221coscos 1cos1cossin1cos1sin1coseXaLeeYaLeeZae222.2.2 旋转椭球面的参数表示

9、及数学性质（续9）不难得出，不难得出，u,B,的关系为：的关系为：BeeBuBeBu22222sin11sinsin sin1coscos因此有：BabBeutantan1tan2由球心纬度公式，得：BabBetantan1tan222232.2.2 旋转椭球面的参数表示及数学性质（续10）4、旋转椭球面的几何性质 a).对称性对称性 b).有界性有界性 c).正则性：曲面上每点都对应于唯一正则性：曲面上每点都对应于唯一 确定的非零法向量。确定的非零法向量。d).不可展性不可展性BLBLBsinsincoscoscosn242.2.3 法截线曲率及曲率半径 1、空间曲线的曲率几曲率半径 若以曲

10、线的弧长若以曲线的弧长s为参数，曲线上的点位用向量为参数，曲线上的点位用向量r(s)表示。表示。则曲线的曲率为：则曲线的曲率为：cccsssdssddssdsk22rT若以t参数，则曲线的曲率可表示为：322ccctttdttddttddttdtkrrr252、椭球面法截线的曲率(1).子午线曲率半径 不失一般性，以起始子午线为例推导。若以归化不失一般性，以起始子午线为例推导。若以归化纬度纬度u为子午线方程的参数，则有：为子午线方程的参数，则有：2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续1）ubuaduudubuaduudubuausin0coscos0sinsin0cos22rrr262.2.3

11、法截线曲率及曲率半径（续2）则有：则有：0022abduudduudrr 232222322sincosuaubabduudduudduudukrrr同理，若以大地纬度为参数，得：232232211sin1eaWeaBeBk子午曲率半径M，就是曲率是倒数，即：3211WeaBkM272.2.3 法截线曲率及曲率半径（续3）(2).卯酉线曲率半径定义：与子午面切线正交的法截面与椭球面的交线为卯与子午面切线正交的法截面与椭球面的交线为卯 酉线。酉线。根据微分几何中的麦尼尔定理，卯酉圈曲率根据微分几何中的麦尼尔定理，卯酉圈曲率kn与与平行圈曲率平行圈曲率kr的关系为：的关系为：Bkkrncos平行圈

12、半径为子午面XOZ 平面内的X坐标，即：BWaXrBcos则有，上述两式得卯酉曲率半径N为：WaBrBkkNBrncoscos11282.2.3 法截线曲率及曲率半径（续 4）(3).任意方向法截线的曲率半径 根据微分几何中的根据微分几何中的Euler公式，任意方向法截线公式，任意方向法截线的曲率与子午、卯酉曲率半径的关系为：的曲率与子午、卯酉曲率半径的关系为：NAMAkA22sincos因此，任意方向的曲率半径为：AMANMNkRAA22sincos1当A为0，/2，3/2时，取得极值。292.2.3 法截线曲率及曲率半径（续 5）(4).平均曲率半径 定义：所有方向法截线曲率半径的平均值。

13、定义：所有方向法截线曲率半径的平均值。dAANMdtANMtdAAMANMNdARRA2202220cos1 ,tansincos22代入上式，得：0222112WeaMNtdtMNR302.2.3 法截线曲率及曲率半径（续 6）不难得到：不难得到：N R M引入辅助量：引入辅助量：222221cos11BeVeabac存在下列关系：BeBtVcRVcNVcMeVWeWVecaeac222232222cos tan 1 11 1312.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算1.椭球面的第一基本形式dLLdBBdBeNLBNLBNrrrrrsin1sincoscoscos2椭球面上点的向量：

14、椭球面上的微分弧长：22222GdLFdBdLEdBddddSrrr其中：dLddLdGdLddBdFdBddBdErrrrrr 对于椭球面：BNGFME222cos 0 222222cos BdLNdBMdS322.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续1）2、子午线弧长子午线微分弧长：子午线微分弧长：MdBdS 积分得：21212322221sin11BBBBdBBeeaMdBS11112211119229117227115225113223112212221cossincossin cossincossincossincossin cossincossincossincossin

15、 cossincossin1BBBBGBBBBFBBBBEBBBBDBBBBCBBBBBarcBarcBAeaS用二项式展开，并逐项积分得：常数 A、B、C、D、E、F、G的计算公式见教材332.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续2）对于小于对于小于400km的弧长，可采用以下简化式。的弧长，可采用以下简化式。3331221241BdBSdBdBdSSSSmm其中：1221 21BBBBBBm根据：33dBdSdBddBddBSdMdBdS求出导数，代入上式并化简，得：2cos812221BBeBMSmm对于小于40km的弧长，可进一步简化为：21BMSm342.2.4 椭球面上第

16、一基本形式及弧长面积计算（续3）已知已知B1和弧长和弧长S12求求B2称为反算，可采用叠代法计算。称为反算，可采用叠代法计算。初值：初值：1221021arcBAeaSarcB叠代格式：kBkkkSBSSBB22122121212其中：122281222612224222222221cos82cossin cos62cossin cos42cossin cos22cossin2cos12BBBFBBBEBBBDBBBCBBAeaSkkkkkkkkkkBk mBSSk001.022121要求：352.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续4）3、平行圈的半径与弧长BeLLBaLLBNSB

17、eBaBNrB2212122122sin1coscossin1coscos相同经差的平行圈弧长在赤道最长，越靠近两极越小。362.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续5）4、利用经纬格网计算椭球面的面积LL+dLBB+dBMdBNcosBdLd2222sin1cos1cosBeBdBdLeaBdBdLMNd21212222sin1cos1BBLLDBeBdBdLeadA372.2.4 椭球面上第一基本形式及弧长面积计算（续6）上式利用二项式展开并积分，得：上式利用二项式展开并积分，得：17276152541323212122sinsin74sinsin53 sinsin32sinsi

18、n1BBeBBeBBeBBLLeaA 取 L2-L1=2，B2=/2，B1 =0 38习 题1、导出三种纬度、导出三种纬度、u与与B的关系。的关系。2、导出子午曲率半径、导出子午曲率半径M与卯酉曲率半径与卯酉曲率半径N的计算公式。的计算公式。3、M、N、R的关系如何？在什么条件下三者相同的关系如何？在什么条件下三者相同？4、某点到赤道的子午弧长、某点到赤道的子午弧长 ,求该点的求该点的纬度。纬度。a=6378245,=1/298.35、已知某点的纬度、已知某点的纬度 ,求该点自赤道起的求该点自赤道起的子午弧长。子午弧长。a=6378245,=1/298.32831.1628310B米193.3

19、745682S392.2.5 大地线1、大地线的定义与性质法截弧：由椭球面上由椭球面上A点的法线与点的法线与B点所确定的法截面与点所确定的法截面与椭球面相割得到的曲线称为椭球面相割得到的曲线称为A到到B的法截弧。的法截弧。相对法截弧：A到到B的法截弧与的法截弧与B到到A的法截弧。的法截弧。由相对法截弧构成的椭球面三角形由相对法截弧构成的椭球面三角形不是闭合图形。不是闭合图形。402.2.5 大地线（续1）大地线的定义：大地线的主法线与曲面法线处处重合。大地线的主法线与曲面法线处处重合。大地线的性质：1、大地线上任何点的密切平面就是该点、大地线上任何点的密切平面就是该点 的法截面；的法截面；2、

20、曲面上连接任何两点的最短直线必、曲面上连接任何两点的最短直线必为为 大地线。大地线。3、大地线的测地曲率等于、大地线的测地曲率等于0曲线的测地曲率：曲线的曲率在曲面切平面上的投影。曲线的曲率在曲面切平面上的投影。大地线的曲率：大地线的曲率：大地线的挠率大地线的挠率ANNAMAkg2222cos11sincosAANAAMNgcossincossin112412.2.5 大地线（续2）2、大地坐标系中大地线的微分方程(1).大地线的二阶微分方程以以u,v 为参数的一般曲面的大地线微分方程可表示为：为参数的一般曲面的大地线微分方程可表示为：下标为相应的偏导数。下标为相应的偏导数。22 22 22

21、222222222322FEGEFEEFESFEGFFFEGEFEGFEEGRFEGFFFGEGFEGFGGEQFEGGFGGFGPSdudvRdudvQdudvPduvduvuuvuuvvuvuvvuv422.2.5 大地线（续3）对于椭球面，有：对于椭球面，有：代入前面公式，得：代入前面公式，得：则旋转椭球面上大地线的微分方程为：则旋转椭球面上大地线的微分方程为：BNGFME222cos 0 0 2 0 sincos222StVRQBBVP322222cossin2dBdLBBVdBdLVtdBLd432.2.5 大地线（续4）(2).克莱劳定理克莱劳定理直角坐标系中的椭球面方程：0122

22、2222bZaYaXF椭球面法向量为：222222bZaYaXZFYFXFN以大地线弧长为参数的大地线主法线向量为：222222dSZddSYddSXdn两者指向一致，即：222222222222dSZdbZdSYdaYdSXdaX442.2.5 大地线（续5）由上式的前两个方程得：由上式的前两个方程得：CdSdYXdSdXYdSYdXdSXdY 02222积分得：将三维空间坐标与大地坐标的关系式及微分式代入：dSdLLrLdSdrdSdYdSdLLrLdSdrdSdXLrLBNYLrLBNXBBBBBBcossin sincossinsincos coscoscos1代入 式，整理得：1Cd

23、SdLrB22452.2.5 大地线（续6）将关系式：将关系式：即：大地线上各点的平行圈即：大地线上各点的平行圈半径与该点的大地线方位角半径与该点的大地线方位角正弦的乘积是常数。正弦的乘积是常数。AdSdLrBsin代入上式，即得克莱劳定理：CArBsinBrdLrBAdSdAAMdBdL462.2.5 大地线（续7）(3).大地线的一阶微分关系式BrdLrBAdSdAAMdBdLBNAdSdLAdSBdLNMAdSdBAdSMdBcossin sincoscos cos由克莱劳定理，微分得：BBBBBBdrrAdrArAdAAdArAdrtancossin:0cossin则472.2.5 大

24、地线（续8）又如图所示：又如图所示：MdBdrBBMdBdrBsin代入上式，得：AdSNBdSMAABNBAMABNBdBAMdAsintancoscoscossinsin coscossinsin三个微分关系式可整理为：ANBdSdABNAdSdLMAdSdBsintan cossin cos 3482.2.5 大地线（续9）3、以弧长和大地方位角为参数的大地线方程 大地线始点坐标P0(B0,L0)，大地线上任何点的位置向量都可以展开成S,A的级数形式：5554443332221201241 6121sdsdsdsdsdsdsdsdsdsdsrrrrrrFrenet标架的坐标轴定义：x指向

25、大地线的切向t，y指向大地线的主法向n，向内为正，z指向大地线的副法向b，构成左手系。000,LBPASLBP,xyz4492.2.5 大地线（续10）显然有：显然有：dsdrt 根据曲线论中的Frenet公式：nbbtnntggggdSdkdSdkdSd 由以上两式可求出各阶导数：23223243242545 32gggggggggggggggggdkddddkkkkdSdSdSdSdSdkd kdkddkkkkdSdSdSdSdSdkdS rtrnntnbrtnbrt502.2.5 大地线（续11）将上式代入大地线展开式将上式代入大地线展开式 ，得，得Frenet标架下的三维坐标：标架下的

26、三维坐标：443423223254432224161241612112018161SdSdkdSdkSkzSkkdSkdSdSdkSkySkSdSdkkSkSxgggggggggggggggg5ANNAMAkg2222cos11sincosAANAAMNgcossincossin112顾及公式：512.2.5 大地线（续12）和：和：ANBdSdAMAdSdBsintan cos 求导得：ANAtdSdAAdSdBBdSdAtNdSdAdSdkAdSdBdSdkBdSkdANAtdSdAAkdSdBBkdSdkggggggggg22222232222222cos31sincos3cos1cos

27、3 522.2.5 大地线（续13）代入代入Frenet标架下的三维坐标公式标架下的三维坐标公式 ，得：，得：542332242223322222544323222sin2412sin121cos231241 cos21cos12112018cos3cos161AStNASNzStANAStNSANySNSNAtSANSx532.2.5 大地线（续14）将坐标系饶将坐标系饶 y 逆时针旋转逆时针旋转A，得得x”、y”、z”坐标系，则有：坐标系，则有：SA000,LBPLBP,xyzzx zyxAAAAzyxcos0sin010sin0cos 以P0点为原点的地平坐标系(站心坐标系)x、y、z，

28、与x”、y”、z”坐标系的关系为：A000,LBPLBP,xyzzxyyzzyxx 542.2.5 大地线（续15）最后得到地平坐标系（站心系）中的大地线方程，最后得到地平坐标系（站心系）中的大地线方程，称为称为Weingarten级数式。级数式。4222332222254432322254423232222cos231241 2coscos121120sin3cossin cos16sinsin120coscos8124 cos16coscosStANSNAtSANzSNASNAAtSANAASySNASANtSANAASx6552.2.5 大地线（续16）法截弧为平面曲线，其挠率为法截弧为

29、平面曲线，其挠率为0，同理可推得地平坐标系中的计，同理可推得地平坐标系中的计算式为：算式为：42223322222544323222544323222cos231241 2coscos121120sin8cossin3 cos16sinsin120cos8cos3 cos16coscosStANSNAtSANzSNASNAAtSANAASySNASNAtSANAASx562.2.5 大地线（续17）4、基于大地线的椭球面曲线坐标系(1).大地线极坐标系大地圆：到极点具有相同大地线长到极点具有相同大地线长 度的点所构成的轨迹。度的点所构成的轨迹。由大地线长度和大地方位角可描述由大地线长度和大地方

30、位角可描述曲面点的位置曲面点的位置 。As,rAdAsdsmdAdS0P如图所示：2222dAmdsdS对照第一基本形式，得：2 0 1mGFE由图中的微分直角三角形，得大地极坐标系中的微分关系式：sin1 sin1 cosdSdmmdSdmdSdAdSds572.2.5 大地线（续18）大地线的归化长度大地线的归化长度 m 的计算公式：的计算公式：44233222120cos3161NSAtNSNSSm222AzAyAxGm由 式求出偏导数代入得：658以长度量为坐标参数的新大地坐标系(1)(1)以长度量表示的椭球面上坐标系的由以长度量表示的椭球面上坐标系的由来来 早在早在1810年年Sol

31、dner就提出了球面直角坐就提出了球面直角坐标系统标系统 。此后。此后Helmert，Grossmann，Heck等德国测量学者基于等德国测量学者基于Soldner球面直球面直角坐标系推广提出了椭球面直角坐标系。角坐标系推广提出了椭球面直角坐标系。教材上所述的测地坐标系与其有类似之处。教材上所述的测地坐标系与其有类似之处。59(2)一种新型的大地坐标系一种新型的大地坐标系2005年提出了椭球面上一种新型的大地坐标年提出了椭球面上一种新型的大地坐标系：它仍以经纬线作为坐标曲线，且与大系：它仍以经纬线作为坐标曲线，且与大地坐标系之间能进行精确的坐标转换；它地坐标系之间能进行精确的坐标转换；它所采用

32、的坐标参数是以长度而不是以角度所采用的坐标参数是以长度而不是以角度为单位；可简化椭球面上的繁复计算。为单位；可简化椭球面上的繁复计算。施一民，朱紫阳，范业明施一民，朱紫阳，范业明.坐标参数为长度量的一种坐标参数为长度量的一种新型的大地坐标系新型的大地坐标系.同济大学学报，同济大学学报，2005,33（11）:1537-1540 60新型大地坐标系的定义为构建新型的大地坐标系为构建新型的大地坐标系,可在区域中心附近可在区域中心附近选择一点作为其坐标原点选择一点作为其坐标原点,其在大地坐标系其在大地坐标系中的大地经纬度设为中的大地经纬度设为（B0，L0）。两族互。两族互为正交的经纬线构成坐标系的坐

33、标格网。为正交的经纬线构成坐标系的坐标格网。设过经纬度为设过经纬度为（B，L）的任一点的经线与的任一点的经线与起始纬线的交点为起始纬线的交点为PB0,点点P至点至点PB0的经线的经线上弧长作为纵坐标上弧长作为纵坐标sL,点点P0至点至点PB0的纬线上的纬线上弧长取为横坐标弧长取为横坐标sB,如图所示。如图所示。61新型大地坐标系的定义（续）62新型大地坐标系的定义（续）过点P的纬线上的微分弧长ds与起始纬线上相应的微分弧长ds之比n称为按纬度变化方向的长度归化因子 n=ds/ds在大地坐标系中，与这两个平行圈上微分弧长相应的经差dl 相等，故可精确求得 n=Nsin B/N0sin B0式中N

34、0，N分别为纬度B0，B处的卯酉线曲率半径。基于微分几何和椭球大地测量的理论，n可用新大地坐标表示为(取至二次项)202002/tan1NsNsBnLL63BBLBMdBsLLBNs0000cos64习 题1.纬度相同的两个点的相对法截弧是否重合？此线是否纬度相同的两个点的相对法截弧是否重合？此线是否就是大地线？就是大地线？2.推导大地线的三个微分式。推导大地线的三个微分式。3.试述测地坐标系的定义？测地平行线是否等距？测地试述测地坐标系的定义？测地平行线是否等距？测地大地线是否等距？大地线是否等距？4.简述简述weingarten级数的推导步骤。级数的推导步骤。652.3 椭球面上大地坐标的

35、计算2.3.1 水平方向、边长观测值归算到椭球面1、水平方向观测值归算到参考椭球面的改正 包括三项改正，称为三差改正。包括三项改正，称为三差改正。(1).垂线偏差改正(2).标高差改正12121121cossinctgzAAu2221222cos2sin2HBAMeh)(2sincos1089.021222KmHABh用椭球半径的近似值代入得：662.3.1 水平方向、边长观测值归算到椭球面(3).法截弧方向归算到大地线方向的改正121222121212212122sincos12cossin6ABeNSAANSg 该项改正很小，100公里约0.03“，只有一等控制网才估计此项改正。672.3

36、.1 水平方向、边长观测值归算到椭球面2、空间边长归算至参考椭球面的改正 测线端点的大地高为：测线端点的大地高为：Dd1HS2H12AR21AR1P2PvhHihH222111椭球面上弦长 d 的计算公式211221212211AARHRHHHDd省略H/R的二次项，得：211221 211212122AAAmAmRRRHHHRHHHDd682.3.1 水平方向、边长观测值归算到椭球面椭球面上的弧长为：椭球面上的弧长为：Dd1HS2H12AR21AR1P2P2232122212223331241 2448222sin2AAmAAAAAARHHDRHHHDRddRdRdRRdRS692.3.1

37、水平方向、边长观测值归算到椭球面3.工程控制网中的地面观测元素的归算 以平均高程面作投影面，范围小，可以用球代替椭球；球半径采用高斯平均曲率半径。计算公式为：22321222122241 RHHDRHHHDSm不难证明：椭球半径的误差对边长归算结果影响很小，R取6371km即可，但高差误差对边长归算比较敏感。702.3.2 椭球面上三角形解算1、球面角超AABBCC222222224224224RRFRRFRRF三块面积之和为：FRFFF222代入球面角超定义式，得：2RF712.3.2 椭球面上三角形解算按球面三角公式：按球面三角公式：222222222241sin213241sin21Rc

38、baabRRcbaabF当边长小于40公里时，第二项影响小于0.0004“，可略去sin212abR722.3.2 椭球面上三角形解算2、解算球面三角形的勒让德定理勒让德定理：对于较小的球面三角形，可用平面三角公对于较小的球面三角形，可用平面三角公式来解算，只需使三个平面角等于相应的球面角减去式来解算，只需使三个平面角等于相应的球面角减去三分之一的球面角超，而边长保持不变。三分之一的球面角超，而边长保持不变。ABCabccCbBaA3sin3sin3sin732.3.3 大地主题解算大地主题解算分类：正算：已知已知(B1,L1)，A12，S12，计算，计算(B2,L2)，A21反算：已知已知(

39、B1,L1)，(B2,L2)，计算计算A12，S12，A21短距离中距离长距离中短距离解算方法：按级数展开采用中短距离解算方法：按级数展开采用Gauss平均平均引数公式；引数公式；长距离解算方法：贝塞尔公式长距离解算方法：贝塞尔公式KmS120KmSKm400120KmS400742.3.3 大地主题解算1、纬度差、经度差和方位角差展开为大地线长度的级数式626262303320220123033202201230332022012SdSAdSdSAdSdSdAAAaSdSLdSdSLdSdSdLLLlSdSBdSdSBdSdSdBBBb由大地线的微分公式，得其一阶导数为：ANBdSdABNA

40、dSdLMAdSdBsintan cossin cos 752.3.3 大地主题解算二阶和三阶导数采用复合函数求导法计算：二阶和三阶导数采用复合函数求导法计算：dSdAdSBdAdSdBdSBdBdSBddSdAdSdBAdSdBdSdBBdSBd22223322 同理可求出四阶以上的导数和L、A的高阶导数，代入展开式即可。762.3.3 大地主题解算2、高斯平均引数公式若取大地线中点展开，得：若取大地线中点展开，得：4882488233322213332222SdSBdSdSBdSdSdBBBSdSBdSdSBdSdSdBBBMMMMMMMM两式相减，得：111,LBP222,LBPMN12

41、AMA2S2S2433312SdSBdSdSdBbBBMM类似地，有：2433312SdSLdSdSdLlLLMM243331221SdSAdSdSdAaAAMM1772.3.3 大地主题解算两式相加，得：两式相加，得：8222SdSBdBBMMm类似地，有：8 ,8222222SdSAdAASdSLdLLMMmMMm其中：21212121 ,21 ,21AAALL LBBBmmm将 展开成级数，得：MdSdBMmmMmmmMAAdSdBABBdSdBBdSdBdSdB2782.3.3 大地主题解算由大地线的微分公式：由大地线的微分公式：mmmANVMAdSdBcoscos 2求导，得：ANV

42、dSdBAAtMdSdBBmmmmmmmsin cos322mMmMdSAddSAddSBddSBd22222222 可取：代入 式，得 的计算公式。并取2MdSdBmMdSBddSBd3333代入 式，求出各阶导数后整理得：1792.3.3 大地主题解算2222222222221241cos3 232sin241cosmmmmmmmmmmmmmttAtANSASNVBBb同理可得：222222221291cos sin241sincos1mmmmmmmmmmtAtANSASBNLLl4222222222125972cos 22sin241sinmmmmmmmmmmmmtAtANSASNtAA

43、a以上3式具有4次方精度，可用于解算200公里下的大地主题。3802.3.3 大地主题解算因计算因计算Bm,Lm要用到要用到B2,L2，因此需要叠代计算。其初值为：，因此需要叠代计算。其初值为：121112012110sintan21cos21ASBNAAASMBBmm叠代计算公式为：2 2 12111kkmkkmaAAbBB直到 为止。10.00 10.000 11 kmkmAkmkmBAABB最后计算纬度、经度和方位角：aAAlLLbBB12211212 812.3.3 大地主题解算3、高斯平均引数反算公式由正算公式，反解得：由正算公式，反解得：222222222222241cos3 23

44、2sin24coscosmmmmmmmmmmmmmmttAStASNASNbVAS22222222291cossin24sincossinmmmmmmmmmmmtAStASNASBlNAS右端第二项与第一项相比为小量，可以作近似：mmmmmmBlNASNbVAScossin cos2822.3.3 大地主题解算代入上式第二项，得：代入上式第二项，得：3222222222824332coscosbtNblttBNVbNASmmmmmmmmmmmm32222224sincos9124coscossinlBBNlbtBNlBNASmmmmmmmmmmm由此可求得平均方位角和大地线长度如下：mmmmm

45、AAS SASASAsinsin cossintan1832.3.3 大地主题解算由正算公式的第三式，计算由正算公式的第三式，计算a：4222222222125972cos 22sin241sinmmmmmmmmmmmmtAtANSASNtAAa最后得起终点的大地方位角为：2 22112aAAaAAmm842.3.3 新大地主题解算4、新大地坐标系与大地坐标系间的坐标转换(1).由（B,L）求解（sL,sB）(2).由（sL,sB）求解（B,L）:B由下式迭代反解 而L由下式直接反解由下式直接反解.BBLBMdBsLLBNs0000cosBBLMdBs0000cosLBNsLB000cosLB

46、NsLB000cosLBNsLB000cosLBNsLB852.3.4 大地主题微分公式1、大地主题正解微分公式 终点的经纬度（终点的经纬度（B2,L2）和大地线方位角）和大地线方位角A21，与，与起点的经纬度（起点的经纬度（B1,L1）和大地线方位角）和大地线方位角A12，以及大，以及大地线长度地线长度S的微分关系。的微分关系。1211122112221212221221212212112212122sinsincostansin0cossincoscoscossin1tansinsincos0cosdAdSdLdBAALLRBABLLBRASBRABLLRASRAAAdAdLdB862.3

47、.4 大地主题微分公式2、大地主题反解微分公式 起点大地线方位角起点大地线方位角A12和大地线方位角和大地线方位角A21，以及，以及大地线长度大地线长度S与起点和终点的经纬度（与起点和终点的经纬度（B1,L1）和）和（B2,L2）的微分关系。）的微分关系。21211211121121212121222122212121212221222121212112coscoscoscossinsincoscoscoscossinsinsincossincoscoscosdLdLdBdBASBNASBNASMASMASBNASBNASMASMABNABNAMAMdAdAdS87习 题1、地面观测方向归算到

48、椭球面上需要加哪几项改正？、地面观测方向归算到椭球面上需要加哪几项改正？2、地面观测距离归算到椭球面上二步改正的几何意义？、地面观测距离归算到椭球面上二步改正的几何意义？3、P1与与P2与为与为控制控制点，已知：点，已知：计算归算到椭球面上的长度计算归算到椭球面上的长度4、已知、已知利用利用Gauss平均引数公式正反算。平均引数公式正反算。762.294175A ,814.249090953.2746115 ,3421.080040012120101mSLB,67.3950 ,46.4130 ,6.0338,6.542366.8356,3.2238 ,456.28678210202101201

49、11mHmHBAABmdPP882.4 空间大地直角坐标系及其转换模型2.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系1、X、Y、Z与B、L、H间的关系 空间坐标系的定义：Z自转轴，自转轴，X位于赤道面，指格林尼治天位于赤道面，指格林尼治天文台，文台，Y指东，构成右手系。指东，构成右手系。大地坐标的定义：B为过一点的椭球面的法线与赤道面交角、为过一点的椭球面的法线与赤道面交角、L为过同一点的子午面与起始子午面二面角的平面角，为过同一点的子午面与起始子午面二面角的平面角，H为为点沿法线到椭球面的距离。点沿法线到椭球面的距离。大地高与正高、正常高之间的关系：HNHHNXYZLBOPKPPQ892.

50、4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系如图所示：如图所示：XYZLBOPKPPQBeNLBNLBNZYXPPOsin1sincoscoscos2rBHLBHLBHHPPsinsincoscoscosnrBHeNLBHNLBHNZYXPPPOOPsin1sincoscoscos2rrr1902.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系2、由X、Y、Z计算B、L、H的迭代解法计算L：22arcsinarctanYXYXYL迭代计算B：2221sinarctanYXBeNZBiii迭代初值为：220arctanYXZB最后计算H：NBYXeNBZHsec1csc222912.4.1 空间直

51、角坐标系与相应大地坐标系的关系3、X、Y、Z与B、L、H间的微分关系由前面 式微分得；1dHdLdBdHdLdBBBHMLBLBHNLBHMLBLBHNLBHMdZdYdXAJ sin0cossincoscoscossinsincoscossincoscossinBBLBLLBLBLLBsin0cossincoscossinsincoscossincossinA1000cos000BHNHMJ其中：对角阵922.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系顾及顾及A是正交阵，是正交阵，J是对角阵，得：是对角阵，得：dZdYdXBLBLBBHNLBHNLHMBHMLBHMLBdZdYdXdZdY

52、dXdHdLdBTsinsincoscoscos0coscoscossincossinsincossin 11AJAJ932.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系4、B、L、H与椭球元素a,e2 之间的微分关系若顾及椭球元素的变化，则前面的微分公式变为：若顾及椭球元素的变化，则前面的微分公式变为：2dedadHdLdBdZdYdXBAJ其中：222222222coscossin12sincossinsincos2coscossincoscosWBWBNaBeNWLBBNaLBNWLBBNaLBNB942.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系由上式可得：由上式可得：211deda

53、dZdYdXdHdLdBTTBAJAJ 若空间坐标系的原点和坐标轴指向保持不变，即椭球的定位与定向不变，则：0dZdYdX952.4.1 空间直角坐标系与相应大地坐标系的关系上式简化成大地坐标与椭球元素间的微分关系：上式简化成大地坐标与椭球元素间的微分关系：222222212sin002sin2sincossincos dedaBNWHMWBeBBNHMWBBededadHdLdBTBAJ962.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换 两个右手旋转坐标系之间的旋转角，取逆时针旋两个右手旋转坐标系之间的旋转角，取逆时针旋转为正，顺时针旋转为负，旋转矩阵为正交阵，可表转为正，顺时针旋转为负，旋转矩阵

54、为正交阵，可表示为：示为：XXXXXXcossin0sincos0001RYYYYYYcos0sin010sin0cosR1000cossin0sincosZZZZZZR972.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换方法一：XYZXYZOX Y Y 将将X、Y、Z转换到转换到X、Y、Z 坐 标 系：坐 标 系：先绕Z将X旋转到XOY平面与XOY平面的交线X”，再绕X”轴将Z旋转到Z轴，最后再绕Z轴，将X”旋转到X轴方向。由于三坐标轴的正交关系，经最后一次旋转的Y”必 位 于 Y 轴 上。982.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换坐标变换公式为：坐标变换公式为：XYZXYZOX Y Y ZYXZ

55、YXZZXXZZ12RRR12ZZXXZZ RRRR旋转矩阵：是正交矩阵。992.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换若、分别表示X与X和Y与Y之间的夹角，则有：XZZZZXZZZZcossinsincoscoscoscoscoscossinsincos21212121若表示Z与Z之间的夹角，则有：Xcoscos1002.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换方法二：XYZXYZ OX Y ZYZXZXY将将X、Y、Z转换到转换到X、Y、Z 坐 标 系：坐 标 系：先绕X将Y旋转到YOZ平面与YOZ平面的交线Y”，再绕Y”轴将Z”旋转到Z轴，最后再绕Z轴，将X”旋转到X轴方向。由于三坐标轴的正交

56、关系，经最后一次旋转的Y”必 位 于 Y 轴 上。1012.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换坐标变换公式为：坐标变换公式为：ZYXZYXXXYYZZRRRXXYYZZ RRRR其中，旋转矩阵：是正交矩阵。XYZXYZ OX Y ZYZXZXY1022.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换 若、分别表示X与X、Y与Y和Z与Z之间的夹角，则有：YXZYXZXZYcoscoscoscossinsincoscoscoscoscoscos1032.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换当旋转角是小角度时，可略去其二次项，取：当旋转角是小角度时，可略去其二次项，取：1cos ,sin111XYXZYZR

57、旋转矩阵简化为：ZYXZYXXYXZYZ111坐标转换模型简化为：1042.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换当旋转角较大时当旋转角较大时,因旋转矩阵是正交阵，满足条件：因旋转矩阵是正交阵，满足条件：IRR T若：333231232221131211rrrrrrrrrR则根据正交条件，得：111000233232231223222221213212211332332223121331332123111231322122111rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr1052.4.2 空间直角坐标系之间的旋转变换 旋转矩阵中只有旋转矩阵中只有5个独立未知数。在进行坐标转换时，个独立

58、未知数。在进行坐标转换时，可以直接以旋转矩阵中的可以直接以旋转矩阵中的9个元素为未知数，加上个元素为未知数，加上6个个约束条件直接解算。求得旋转矩阵元素后，进行坐标约束条件直接解算。求得旋转矩阵元素后，进行坐标转换，不必解算旋转角。转换，不必解算旋转角。这样可避免大旋转角时，线性化过程的复杂形式。这样可避免大旋转角时，线性化过程的复杂形式。106 习 题1、若采用克拉索夫斯基椭球，已知大地坐标：、若采用克拉索夫斯基椭球，已知大地坐标：计算三维空间坐标，并反算检核。计算三维空间坐标，并反算检核。2、在上题中，大地经纬度和大地高分别变化了、在上题中，大地经纬度和大地高分别变化了 用微分公式计算三维

59、空间坐标的变化量。用微分公式计算三维空间坐标的变化量。3、在球近似下，给出球心经纬度和高程与三维空间坐标、在球近似下，给出球心经纬度和高程与三维空间坐标的微分关系式。的微分关系式。4、若要求相对误差小于、若要求相对误差小于10-7，则当旋转角超过多少时，则当旋转角超过多少时，不能采用略去二次项的线性近似。不能采用略去二次项的线性近似。mHLB391.108 4015.5013121 ,1283.16823100 mHLB53.02.0 1072.4 空间大地直角坐标系及其转换模型2.4.3 站心地平坐标系及其应用1、站心地平直角坐标系与空间大地直角坐标系的转换关系定义：站心点的法线为站心点的法

60、线为z轴，向上为正在地平面上以子午线轴，向上为正在地平面上以子午线方向为方向为x轴，轴，y与与x、z轴正交，指向以东为正。轴正交，指向以东为正。O000,LBPxzyXYZLBPKQ 将站心坐标轴 xyz 变换成与空间坐标系的指向一致，需要如下几步：(1).z 坐标轴反向；(2).绕y轴90。+B；(3).绕z轴旋转-L。1082.4.3 站心地平坐标系及其应用 将站心系坐标轴变换到与三维空间直角坐标将站心系坐标轴变换到与三维空间直角坐标轴指向一致时的旋转矩阵为轴指向一致时的旋转矩阵为：O000,LBPxzyXYZLBPKQ000000000000000sin0cossincoscossins

61、incoscossincossin 10001000190BBLBLLBLBLLBBLyzRRR顾及，站心系原点在空间坐标系中的坐标为：002000000000sin1sincoscoscos000BHeNLBHNLBHNZYXPPP1092.4.3 站心地平坐标系及其应用则，站心系坐标到空间直角坐标系的变换公式为：则，站心系坐标到空间直角坐标系的变换公式为：zyxBBLBLLBLBLLBBHeNLBHNLBHNzyxZYXZYXPPP000000000000002000000000sin0cossincoscossinsincoscossincossin sin1sincoscoscos 0

62、00R1102.4.3 站心地平坐标系及其应用由上式得，空间直角坐标系到站心系的变换公式为：由上式得，空间直角坐标系到站心系的变换公式为：000000 sinsincoscoscos0cossincossinsincossin 000000000000PPPPPPTZZYYXXBLBLBLLBLBLBZZYYXXzyxR1112.4.3 站心地平坐标系及其应用2、站心极坐标系与站心地平直角坐标系的关系定义：以站心系原点到点的空间距离、方位角和天顶距以站心系原点到点的空间距离、方位角和天顶距为坐标参数来确定三维点位，称为站心极坐标系。为坐标参数来确定三维点位，称为站心极坐标系。zxyoAZDPZ

63、DAZDAZDzyxcossinsincossin由上式，得：ZzZAyAxzAyAxxyDZAcossinsincossincosarctanarctan1122.4.3 站心地平坐标系及其应用也可以用以下公式计算：也可以用以下公式计算：22222arctanarctanzyxzyxxyDZA 公式中的天顶距和方位角都归算到以法线为基准。测量时以垂线为基准的，需要作垂线偏差改正。改正公式下面将讲到。1132.4.3 站心地平坐标系及其应用3、空间直角坐标系与站心地平直角坐标系的旋转矢量之间的关系 若若 x、y和和 z为空间坐标系的旋转矢量，为空间坐标系的旋转矢量，x、y和和 z为站心坐标系的

64、旋转矢量。顾及旋转矢量是为站心坐标系的旋转矢量。顾及旋转矢量是平 移 不 变 量，旋 转 关 系 与 坐 标 矢 量 相 同。平 移 不 变 量，旋 转 关 系 与 坐 标 矢 量 相 同。zyxZYXBBLBLLBLBLLB000000000000sin0cossincoscossinsincoscossincossin1142.4.3 站心地平坐标系及其应用4、站心地平直角坐标系的应用(1).计算基线向量的大地方位角ZBYLXLBXLYLxyA00000011cossincossinsincostantan其中，B0,L0为基线始端的纬度和经度。(2).绕站心系坐标轴的旋转向量有特殊意义绕

65、站心系坐标轴的旋转向量有特殊意义yx z 为方位旋转角。因涉及大地方位角起始方向的变动1152.4.3 站心地平坐标系及其应用(4).计算卫星的高度角和方位角 卫星卫星Q的方位角和高度角可用其站心坐标的方位角和高度角可用其站心坐标xQ、yQ计计算。算。QQQQQQQQQAyAxzxyAsincosarctanarctan1162.4.4 两个空间大地直角坐标系间的转换模型1、Bursa-Wolf 模型 转换参数包括三个平移参数、三个旋转参数与一转换参数包括三个平移参数、三个旋转参数与一个尺度参数。个尺度参数。iiiZYXiiiZYXZYXZYX,1000R R为前面所述的旋转矩阵。当旋转角为小

66、角度时，上式可简化为：iiiXYXZYZiiiZYXZYXZYX1111000XYZZYXOO1172.4.4 两个空间大地直角坐标系间的转换模型 略去尺度参数和旋转参数的乘积项，上式可进一略去尺度参数和旋转参数的乘积项，上式可进一步简化为：步简化为：iiiYYXiiiiiiiiiiiiiiiXYXZYZiiiiiiZYXXYXZYZZYXZYXZYXZYXZYXZYXZYX000 000000000 上式第二式常用于转换参数未知时，利用上式第二式常用于转换参数未知时，利用同名点在两个坐标系中的坐标计算转换参数。同名点在两个坐标系中的坐标计算转换参数。1182.4.4 两个空间大地直角坐标系间的转换模型 上式再应用于上式再应用于Pj，并与上式相减，得并与上式相减，得Pi与与Pj两点坐标差的坐标变换模型如下：两点坐标差的坐标变换模型如下：ijijijYYXijijijijijijijijijijijijijijijXYXZYZijijijijijijZZYYXXXXYYXXZZYYZZZZYYXXZZYYXXZZYYXXZZYYXXZZYYXX000 0001192.4.4 两个空间大地