高等代数9第九章欧几里得空间

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1、 3123(,)|,1,2,3iRx xxxR i arccos|a ba b 222123|axxx a a 112233222222123123,arccosx yx yx ya bxxxyyy 3123123(,),(,),ax xxbyyyR a b 112233|cos,aba bx yx yx y 112233a bx yx yx y 1)a bb a 2)()()kabk a b 3)()abca cb c 4)0,a a 当且仅当当且仅当 时时ao 0.a a 3,a b cRkR 3R,VkR 1)(,)(,)kk2)(,)(,)3)(,),(,)4)(,)0,当且仅当当且仅

2、当 时时o (,)0.（对称性对称性）（非负性非负性）则称则称 为为 和和 的的内积内积,称这种定义了内积的称这种定义了内积的(,)实数域实数域 R上的线性空间上的线性空间V为为欧几里得空间欧几里得空间.（线性性线性性）,VkR 设设V是是实数域实数域 R上的线性空间上的线性空间,在在V上定义上定义二二元实元实函数函数 ,满足性质满足性质:(,)(1)(1)V为为实数域实数域 R上的线性空间上的线性空间;(2)(2)V既有向量的既有向量的线性线性运算运算,还有还有内积内积运算运算;VR,(,).(3)(3)欧几里得空间欧几里得空间 V是特殊的线性空间是特殊的线性空间.欧几里得空间欧几里得空间,

3、Euclidean Space,简称简称欧氏空间欧氏空间.欧几里得欧几里得(Euclid,约公元前约公元前330330年年前前275275年年),古希腊数学家古希腊数学家,是几是几何学的奠基人何学的奠基人,被称为被称为“几何之几何之父父”.他最著名的著作是他最著名的著作是几何原本几何原本.例例1 设设A是一个是一个n阶阶正定正定矩阵，在线性空间矩阵，在线性空间 12,1,2,nniRx xxxR in 上上,对任意向量对任意向量 1212,nnx xxyyy 定义定义 11,nnijijijAa x y (2)当当 A=E 时写出内积的具体表达式时写出内积的具体表达式.(1)证明在这定义下证明

4、在这定义下 构成一个欧氏空间构成一个欧氏空间.nR称称A=E 时定义的内积时定义的内积为为普通内积普通内积或或按通常定义的内积按通常定义的内积.1122,nnx yx yx y 同一线性空间同一线性空间V 上上可以定义多个内积可以定义多个内积.线性空间线性空间V 在不同的内积定义下构成不同的欧氏空间在不同的内积定义下构成不同的欧氏空间.线性性线性性kk2)(,)(,)3)(,),(,)这两条等价于这两条等价于,Vk lR 因此欧氏空间因此欧氏空间V的定义是和的定义是和线性空间线性空间V以及以及V的的内积的定义内积的定义紧密联系的紧密联系的.因此欧氏空间也称为因此欧氏空间也称为内积空间内积空间(

5、Inner product space).(,)kl (,)(,).kl 例例2 为闭区间为闭区间 上所有实连续函数上所有实连续函数所构所构(,)C a b,a b成的成的线性空间线性空间,对于函数对于函数(),()(,),f xg xC a b 证明证明 对于对于(f,g)构成一个欧氏空间构成一个欧氏空间.(,)C a b证明证明 f xg xh xC a bk lR(),(),()(,),(,)f g对称性对称性()()bag x f x dx (,)()()baf gf x g x dx 定义定义()()baf x g x dx (,).g f(,)k flg h 线性性线性性 bbaa

6、kf x h x dxlg x h x dx()()()()k f hl g h(,)(,)非负性非负性(,)f f且且(,)0()0.f ff x 故故(f,g)为一内积为一内积,(,)C a b构成欧氏空间构成欧氏空间.()()()bak f xlg xh x dx 0()()baf x f x dx 2()bafx dx 1)(,)k 2)(,)推广推广:sskkk1122(,)5)(,)(,)0oo iiVk l kR,设设V为欧氏空间为欧氏空间,4)(,)(,)(,)klkl 3)(,)kl （双线性性双线性性）sskkk1122(,)(,)(,)(,)k (,)(,)(,)(,)k

7、l 欧氏空间欧氏空间V中中,(,)0V 使得使得 有意义有意义.(,),|(,)V 称为向量称为向量 的的长度长度.特别地特别地,当当 时时,称称 为为单位向量单位向量.|1 (1)|0|0.o2(2)(,)|.(4),|Vo 为单位向量为单位向量.|称称 为向量为向量 的的单位化向量单位化向量.(5),Vo 0k 当当 时时,与与k 有相同的单位化向量有相同的单位化向量|0k 当当 时时,k 的单位化向量为的单位化向量为|(3)|,kkkR 例例3 在欧氏空间在欧氏空间 21212,Rx xx xR 上上,定义两种内积定义两种内积:1212,x xyy1122(1)(,);x yx y 11

8、122122(2)(,)4.x yx yx yx y 2,1,4,2,已知已知解解(1)|5,(2)|2.2 的单位化向量为的单位化向量为 11(1)2,1,(2)2,1.25 分别计算分别计算 和和 的单位化向量的单位化向量.|对欧氏空间对欧氏空间V中任意两个向量中任意两个向量 ,有有、|(,)|且等号成立当且仅当且等号成立当且仅当 线性相关线性相关.、2(,)(,)(,)证明证明 当当 时时,o (,)0,|0o 故结论成立故结论成立.|(,)|0.当当 时时,o 构造函数构造函数()(,)(,)f xxx 2(,)2(,)(,)xx f(x)为为开口向上且与开口向上且与x轴最多只有一个交

9、点的轴最多只有一个交点的抛物线抛物线.24(,)4(,)(,)0,则判别式则判别式即即 2(,)(,)(,),结论成立结论成立.,xxR令令 2(,)(,)(,)(,)xxx 由由内积的内积的非负性非负性,()(,)0,f xxR 若若 线性相关线性相关,不妨设不妨设、,k 易计算易计算 2|(,)|.k 或者或者 ,o 故故 线性相关线性相关.、若若|(,)|,由前面的证明过程知由前面的证明过程知 或者或者 f(x)与与x轴有一个交点轴有一个交点,且当且当 0,x 00000()(,)(,)0.f xxx 所以所以 00,xo 此时此时 线性相关线性相关.、下证下证 当且仅当当且仅当 线性相

10、关线性相关.、|(,)|例例4 写出下列欧氏空间中的柯西布涅柯夫斯基不等式写出下列欧氏空间中的柯西布涅柯夫斯基不等式.nR(1)在在 上上,1212,nnx xxyyy 1122,.nnx yx yx y 解解1122nnx yx yx y (,)()()baf gf x g x dx (2)在在 上上,(,)C a b解解22()()()()bbbaaaf x g x dxfx dxgx dx 以上两不等式就是著名的以上两不等式就是著名的柯西施瓦茨不等式柯西施瓦茨不等式.2222221212nnxxxyyy|.对欧氏空间中的任意两个向量对欧氏空间中的任意两个向量 有有,、证明证明 2|(,)

11、(,)2(,)(,)22|2|2|两边开方，两边开方，|.(,)(,)(,)(,)设设V为欧氏空间为欧氏空间,为为V中任意两非零向量中任意两非零向量,、称称(,),cos|arc 、为为 的的夹角夹角.0,.设设 为欧氏空间中两个向量为欧氏空间中两个向量,若若、,0,则称则称 与与 正交正交或或互相垂直互相垂直,记作记作 .(,)|cos,.(1)零向量与任意向量正交零向量与任意向量正交,即即 .o (2)若若 则则,.o ,.2 (3)若若 非零非零,则则,(4)勾股定理勾股定理,V 222|证明证明 2,2,222|(,)0 .12,mV 设设此时此时 22221212|.mm 证明证明

12、若若 ijij i jm(,)0,1,2,则则 21211|,mmmijij 11(,)mmijij 222121(,)|.miimi (,)0,1,2,ijiji jm 若若(5)勾股定理的推广勾股定理的推广12,m 则称则称 两两正交两两正交.例例3 3 已知已知 2,1,3,2,1,2,2,1在普通的内积定义下在普通的内积定义下,求求|,(,),|.解解 2222|,2132183 2 (,)2 11 2322 10 ,2 又又 1,1,5,1 2222|1151282 7.通常称通常称 为与的为与的距离距离，记，记作作|(,).d 对对V中任意两个向量中任意两个向量1 122nnxxx

13、 1 122nnyyy 令令(,),1,2,.ijijai jn 1111(,),(,)nnnniijjijijijijxyx y 设设V为欧氏空间为欧氏空间,12,n 为为V的一组基的一组基,定义定义 矩阵矩阵 111212122212(,)(,)(,)(,),(,)(,)(,)(,)nnnnnnA 称为基称为基 的的度量矩阵度量矩阵.12,n 1122,ijn nnnxyxyAaxyxy 则则 11(,).nnijijija x yx Ay 所以度量矩阵所以度量矩阵A是是实对称实对称矩阵矩阵.由内积的非负性由内积的非负性,0,V0 x 有有(,)0 x Ax 所以所以度量矩阵度量矩阵A是是

14、正定矩阵正定矩阵.,在基在基 下下,12,n 向量的内积向量的内积由度量矩阵由度量矩阵A完全确定完全确定.因为因为(,)(,),1,2,.ijijjijiaai jn 由由(,)x Ay 即设即设 为为V的两组的两组基基,1212,;,nn 设它们的度量矩阵分别为设它们的度量矩阵分别为A、B，即，即对同一内积而言对同一内积而言,不同基的度量矩阵是不同基的度量矩阵是合同合同的的.1212(,)(,),nnC (,),ijn nA (,),ijn nB 则则.BC AC 即即C为过渡矩阵为过渡矩阵.11(,),nnijkikljlklcc 11(,)nnklkiljklc c 11nnkikllj

15、klc a c.ijC AC 于是于是(,).ijijBC ACC AC 1,1,2,.nikikkcin 则则设设12,ijnn nCcC CC 证明证明其中其中12(,)iiiniCccc 又又 为为 的的 (i,j)元素元素,ijC ACC AC在在 ,1,2,n nijijn nRA AaaR i jn 上上,对任意对任意,n nA BR 定义定义 ,(),A Btr A B 证明在这定义下证明在这定义下 构成一个欧氏空间构成一个欧氏空间.n nR 证明证明:,V (,)0,.o ,V (,)(,),.V 设设为欧氏空间，非零向量为欧氏空间，非零向量12,mV 如果它们两两正交，则称之

16、为如果它们两两正交，则称之为正交向量组正交向量组.若若 则则 是正交向量组是正交向量组.0,此时此时(,)0,.ijij 证明证明 设非零向量设非零向量 两两正交两两正交.12,mV 令令1122,mmikkkokR则则11(,)(,)(,)0mmijjjijiiijjkkk 由由 知知io (,)0,ii 0,1,2,.ikim故线性无关故线性无关.12,m 结论结论 正交向量组必是正交向量组必是线性无关线性无关向量组向量组.注注2 2 n维欧氏空间中正交向量组所含向量个数维欧氏空间中正交向量组所含向量个数.n 注注1 1 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组欧氏空间中线性无关向量组未必

17、是正交向量组12(,)10.12(1,1,0),(1,0,1)例如：中例如：中3R线性无关线性无关但不是正交向量组但不是正交向量组.12,n维欧氏空间中，由维欧氏空间中，由n 个向量构成的个向量构成的正交向量组正交向量组称为称为正交基正交基；由单位向量构成的正交基称为由单位向量构成的正交基称为标准正交基标准正交基.由正交基的每个向量单位化由正交基的每个向量单位化,可得到一组标可得到一组标 准准正交基正交基.n 维欧氏空间维欧氏空间V中的一组基中的一组基 为标准正交基为标准正交基1,n n维欧氏空间维欧氏空间V中的一组基中的一组基 为标准正交基为标准正交基1,n当且仅当其度量矩阵当且仅当其度量矩

18、阵(,).ijnAE 1(,),1,2,0ijiji jnij ，n维欧氏空间维欧氏空间V中标准正交基的作用中标准正交基的作用:设设 为为V的一组标准正交基，则的一组标准正交基，则1,n(i)设设1 122nnxxxV 则则(,).iix 11221(,)nnniiix yx yx yx y (ii)设设1 122nnxxx，1 122.nnyyy(iii)22212|nxxx 1122(,)(,)(,)nn 有有定理定理1 1 n维欧氏空间中任一个正交向量组都能维欧氏空间中任一个正交向量组都能扩充成一组正交基扩充成一组正交基.证明证明 设设 欧氏空间中的正交向量组，欧氏空间中的正交向量组，1

19、2,m 2.2.标准正交基的构造标准正交基的构造 施密特施密特(Schmidt)正交化过程正交化过程 若若m=n,12,m 就是一组正交基了就是一组正交基了.则一定存在某则一定存在某 不能由不能由 线性表示，线性表示，12,m ,mn 若若11122,mmmkkko 令令待定待定ikR 要使要使11,2,(,)0imim (,)(,)0,iiiik 11122(,)(,)imimmkkk 即即(,)1,2,(,)iiiikim ,此时此时 为正交向量组为正交向量组121,mm 得得若若m+1=n,结论成立结论成立.则重复以上步骤，直到找到则重复以上步骤，直到找到1,mn 若若121,mmn 为

20、正交基为正交基.注注 定理的证明实际给出一个具体求标准正交基的方法定理的证明实际给出一个具体求标准正交基的方法.(1)正交化正交化 从任意非零向量出发扩充成正交基从任意非零向量出发扩充成正交基12,.n (2)单位化单位化 把把 单位化单位化.12,n 例例1 在在 中，已知中，已知 将将 扩充成扩充成中的一组正交基中的一组正交基.3R1(1,2,1),1 3R解解 显然取显然取2(1,0,1),则则12(,)0.再令再令3123(,),x xx 由由 131232313(,)20(,)0 xxxxx 取基础解系取基础解系3(1,1,1),则则 为正交基为正交基.123,都可找到一组标准正交基

21、都可找到一组标准正交基 使使12,n 1212(,)(,),1,2,iiLLin 定理定理2 2 对于对于n维欧氏空间中任一组基维欧氏空间中任一组基12,n 注注 由由则过渡矩阵是上三角矩阵则过渡矩阵是上三角矩阵(即即 )ijTt 0,ijtij1212(,)(,),1,2,iiLLin 1212(,)(,),nnT 则若则若11(1)正正交交化化:取取1222111(,)(,)令令132333121122(,)(,)(,)(,)121121112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)rrrrrrrrr 12,r 这这样样得得到到的的两两两两正正交交Schmidt正交化过程正交化过程:1(

22、2),1,2,|iiiein 单单位位化化1212,i,(ii)rre ee 这这样样得得到到的的向向量量组组满满足足:()与与等等价价为为标标准准正正交交向向量量组组此时此时11212,1,01=,0001rrrrr 2 21 12 21 12 21 11 11 11 12 22 21 11 12 22 22 2()()()()()()()()()()例例1 求与求与 123(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)4(1,1,1,1)等价的标准正交向量组等价的标准正交向量组.11(1,1,0,0)2122111(,)(,)313233121122(,)(,)(,)(,)解解

23、 先正交化先正交化 令令43414244123112233(,)(,)(,)(,)(,)(,)(1,1,1,1)1(1,1,2,0)21(1,1,1,3)31111|2221|再单位化再单位化3331|4441|即为所求即为所求1234,1(1,1,0,0)2 1(1,1,2,0)61(1,1,1,3)121(1,1,1,1)211(,)()()f gf x g x dx 求求 的一组标准正交基的一组标准正交基4 R x解解 令令2312341,xxx先先正交化正交化111.例例2 在在 中中 为一组基定义内积为为一组基定义内积为 4 R x231,x xx2122111(,)(,)1211(

24、,)0,xdx 1111(,)2,dx 2.x 123112(,),3x dx 13321(,)0,x dx 21.3x313233121122(,)(,)(,)(,)414244121122(,)(,)(,)(,)43333(,)(,)33.5xx13411(,)0,x dx 144212(,),5x dx 1324311(,)()3xxdx 0 122212(,),3x dx 122|2|6 ,1222331184(,)()(),3453 10 xdx 1322441384(,)()(),51755 14xx dx 再再单位化单位化122212(,),3x dx 1111(,)2,dx 3

25、444|,|.3 105 14于是得于是得 的标准正交基的标准正交基4 R x11112,|2 22216|2x 2333110(31)|2x 3444114(53)|4xx 设设 与与 是是 维欧氏空间维欧氏空间V中的中的1212,nn n两组标准正交基，它们之间过渡矩阵是两组标准正交基，它们之间过渡矩阵是,i jn nAa 即即 1212(,)(,)nnA 3.3.标准正交基之间的基变换标准正交基之间的基变换由于是标准正交基，所以由于是标准正交基，所以12,n 1(,),1,2,0ijiji jnij ，则度量矩阵则度量矩阵(,).ijn nE (,).ijn nE 同理度量矩阵同理度量矩

26、阵(,).ijn nE 故故.EA EA 即即.A AE 112111112112222212221212111nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaa 则则 11221,1,2,0,ijijninjija aa aa ai jnij 则称则称A为为正交矩阵正交矩阵.(2)由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵由标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.A AE,n nijAaR 设设若若A满足满足1,1.AAA (1)A为正交矩阵为正交矩阵,则则(3)设设 是标准正交基是标准正交基,A为正交矩阵为正交矩阵,若若 12,n 则则 也是标准正交基也是标准正交基.12,

27、n 1212(,)(,)nnA (4)为正交矩阵为正交矩阵n nAR 即即A的列向量组是欧氏空间的列向量组是欧氏空间 的标准正交基的标准正交基.nR则则 11221,1,2,0,ijijninjija aa aa ai jnij (5)为正交矩阵为正交矩阵n nAR 即即A的行向量组是欧氏空间的行向量组是欧氏空间 的标准正交基的标准正交基.nR则则 11221,1,2,0,ijijinjnija aa aa ai jnij (6)若若 为正交矩阵，则为正交矩阵，则n nAR 也为正交矩阵也为正交矩阵.1*,kAAA(7)若若 为正交矩阵，则为正交矩阵，则,n nA BR 也为正交矩阵也为正交矩

28、阵.AB实数域实数域R上欧氏空间上欧氏空间V与与V称为称为同构的同构的，如果由如果由V到到V 有一个双射，满足有一个双射，满足(1)()()(),VkR (2)()(),kk (3)(),()(,),这样的映射称为欧氏空间这样的映射称为欧氏空间V到到V的的同构映射同构映射.1、若是欧氏空间、若是欧氏空间V到到V的同构映射，的同构映射，则也是则也是线性空间线性空间V到到V同构映射同构映射.2、如果是有限维欧氏空间、如果是有限维欧氏空间V到到V的同构映射的同构映射,则则dimdim.VV 3、任一维欧氏空间、任一维欧氏空间V必与必与 同构同构.nnR证明证明 设设 为为n维欧氏空间维欧氏空间V的一

29、组的一组标准正交基标准正交基,12,n 在这组基下，在这组基下，V中每个向量可表成中每个向量可表成 1 122,nnixxxxR 建立映射建立映射12:,()(,)nnVRx xx 易证是易证是V到到 的的 对应且满足对应且满足(1)、(2).nR11 故为由故为由V到到 的同构映射，从而的同构映射，从而V与与 同构同构.nR nR又又1 122,nniyyyyR 1122(),(),nnx yx yx yx y 记记1212(,),(,)nnxx xxyyyy且且 的内积为普通内积，的内积为普通内积，nR则则 1122,nnx yx yx y ,.传递性传递性：,VVVVVV 反身性反身性：

30、VVV E E对称性对称性：1VVVV 4、同构作为欧氏空间之间的关系具有：、同构作为欧氏空间之间的关系具有：(,)11(),()11(),()(),()(),()(),()(,)即即 ,(,),V A AA A欧氏空间欧氏空间V的线性变换的线性变换A 若若保持内积不变保持内积不变,则称则称A为为正交变换正交变换.设设A是欧氏空间是欧氏空间V的一个线性变换的一个线性变换,则下列四条等价则下列四条等价(2)A 保持向量长度不变保持向量长度不变,即即(1)A 是正交变换是正交变换;|,;V A A(3)是是V的标准正交基，的标准正交基，12,n 也是也是V的标准正交基的标准正交基;12,n A A

31、A AA A(4)A 在任意标准正交基下的矩阵为正交矩阵在任意标准正交基下的矩阵为正交矩阵.(1)(2),(,),V A AA A从而从而,.V A A若若A是正交变换，则是正交变换，则(2)(1),().A AA AA A若若 A 保持向量长度不变保持向量长度不变,即即 (),()A AA A ,A AA AA AA A ,2,A AA AA AA AA AA A(1)(3)1,1,2,0,ijijiji jnij A AA A若若 是是V的标准正交基的标准正交基,则则12,n 故故 也是也是V的标准正交基的标准正交基.12,n A AA AA A ,2,A AA A ,2,.A AA A1

32、122,nnxxx A AA AA AA A1122,nnyyy A AA AA AA A 1122,.nnx yx yx y A AA A ,(,).A AA AA A为正交变换为正交变换.(3)(1)都是都是V的标准正交基的标准正交基.若若 和和12,n 12,n A AA AA A1 122,nnxxx 1 122,nnyyy 1122,nnx yx yx y (3)(4)都是都是V的标准正交基的标准正交基,若若 和和12,n 12,n A AA AA A下的矩阵为下的矩阵为A.设设A在基在基 12,n 1212(,)(,)nnA A A1212(,)(,)nnA A AA AA A之间

33、的之间的过渡矩阵过渡矩阵,(4)(3)若若A是正交矩阵是正交矩阵,则则 就是标准正交基就是标准正交基.12,n A AA AA A则则A可以看成两组标准正交基可以看成两组标准正交基故故A是正交矩阵是正交矩阵.(2)正交变换的逆变换是正交变换；正交变换的逆变换是正交变换；(3)正交变换的乘积还是正交变换正交变换的乘积还是正交变换（由同构的对称性由同构的对称性）（由同构的传递性由同构的传递性）(1)正交矩阵是可逆的正交矩阵是可逆的,所以正交变换可逆所以正交变换可逆.(4)设设n维欧氏空间维欧氏空间V中的线性变换中的线性变换A在标准正交基在标准正交基(1)如果如果 则称则称A为为第一类的第一类的（旋

34、转旋转）.1,A (2)如果如果 则称则称A为为第二类的第二类的 1,A 下的矩阵是正交矩阵下的矩阵是正交矩阵A，则，则12,n 1.A 例例 在欧氏空间中任取一组标准正交基在欧氏空间中任取一组标准正交基12,n 定义定义:11 A A,2,3,.iiinA A则则A为第二类的正交变换，也称之为为第二类的正交变换，也称之为镜面反射镜面反射(1)与与 是欧氏空间是欧氏空间V中的两个子空间中的两个子空间,若若1V2V(,)0,则称子空间则称子空间 与与 为为正交的正交的，记作，记作2V1V12.VV 12,VV 恒有恒有(1)(1)当且仅当当且仅当 中每个向量都与中每个向量都与 正交正交 12VV

35、 1V2V(2)(2)若若 ,则则12VV 12(,)00.VV 12.VVo (,)0,则称向量与子空间则称向量与子空间 正交，记作正交，记作 1.V 1V(2)对给定向量对给定向量 如果对如果对 恒有恒有,V 1,V(1)(1)(2)(2)当当 且且 时，必有时，必有 1V 1V 0.证明证明 设子空间设子空间 两两正交，两两正交，12,sV VV两两正交的子空间的和必是直和两两正交的子空间的和必是直和12sVVV 要证明要证明 是直和是直和,中零向量分解式唯一中零向量分解式唯一12sVVV只须证：只须证：设设 12,1,2,siioVis ,ijVV ij 12(,)(,)(,)0iis

36、iio 由内积的非负性，由内积的非负性，,1,2,.iois 若欧氏空间若欧氏空间V的子空间的子空间 满足满足12,V V12,VV 则称则称 为为 的的正交补正交补.2V1V12,VVV n维欧氏空间维欧氏空间V的每个子空间的每个子空间 都有唯一正交补都有唯一正交补.1V证明证明 若若 ，V就是就是 的唯一正交补的唯一正交补 1 Vo 1V若若 ，也是有限维欧氏空间也是有限维欧氏空间.1V1 Vo 121,dimmmV 取取 的一组正交基的一组正交基1V将其可扩充成将其可扩充成V的一组正交基的一组正交基121,mmn 记子空间记子空间 12,.mnLV 12.VVV 显然显然,又对又对 1

37、1221,mmxxxV 112,mmnnxxV1111(,)(,)(,)0mnmniijjijijij mij mxxx x 12.VV即即 为为 的正交补的正交补.2V1V再证唯一性再证唯一性.设设 是是 的正交补，则的正交补，则23,V V1V1213VVVVV 131,1131(,)(,)由此可得由此可得10,23.VV对对 由上式知由上式知 2,V 13VV 131133,VV 即有即有 又又1213,VVVV0 11(,)1131(,)(,)从而有从而有3V 即有即有 同理可证同理可证32,VV 23.VV唯一性得证唯一性得证.子空间子空间W的正交补记为满足的正交补记为满足 W(1)

38、,WWV WW 显然显然,WW WVW (2)dimdimdimWWVn 记记 ,WVW从而从而,WWo又又,WW 所以所以,VWWWWV 故故.WWV故故.WW 则则设设 是是n为欧氏空间的两个子空间为欧氏空间的两个子空间.11(1)().VV 12,V V(2)若若12,VV 则则21.VV 1212(3)().VVVV1212(4)().VVVV 称称 为在子空间为在子空间W上的上的内射影内射影.1,VWW 设设W是欧氏空间是欧氏空间V的子空间，若的子空间，若对对 有唯一的使有唯一的使12,WW ,V 12 称称 为在子空间为在子空间 上的上的内射影内射影.2W,VWW 设设dim,di

39、m.VnWm 取取W的一组标准正交基的一组标准正交基1,m 将其扩充为将其扩充为V的一组标准正交基的一组标准正交基11,.mmn 有有1121(,),(,).mmnVLVL 1 111,.mmmmnnVkkkk 则则11 1mmkk为为 在在W上的内射影上的内射影.211mmnnkk 为为 在在 上的内射影上的内射影.W 设矩阵设矩阵 n nijAaC 则则 A的的共轭运算共轭运算为为 n nijAaC 其中其中 ija为为 的共轭复数的共轭复数.ija运算律运算律:设设,n nA BCkC 则则 (1)ABAB (2)kAkA(3)ABAB(4)()AA 设设A是是实对称实对称矩阵，则矩阵，

40、则A的特征值皆为实数的特征值皆为实数 12,0nx xx 证明证明 设设 是是A的任意一个特征值，则有非零向量的任意一个特征值，则有非零向量0 满足满足0,A 且且11220nnx xx xx x 则则00AA 00()()A 00()0,00为实数为实数.实对称矩阵实对称矩阵A 所对应的线性变换所对应的线性变换-对称变换对称变换在欧氏空间在欧氏空间 中，定义线性变换，中，定义线性变换，nR则则A在标准正交基在标准正交基 下的矩阵为下的矩阵为A.12,.,n 12,(,)nnAx xxR A A1212(,.,)(,.,)nnA A A即即1210001,.,0001n 其中其中 设设A是实对

41、称矩阵，在是实对称矩阵，在 n 维欧氏空间维欧氏空间 上上nR线性变换：线性变换：,A AA A则对任意有则对任意有,nR 或或()().AA 12,(,),nnAx xxR A A证明证明 ,()AAAA A A ,AA A A ,.A AA A ,A AA A()()AA .AA 此性质把实对称矩阵的特性反映到线性变换上此性质把实对称矩阵的特性反映到线性变换上.在欧氏空间在欧氏空间V中，若线性变换中，若线性变换 ,V A AA A称称A为为V上的上的对称变换对称变换.对称变换在标准正交基下的矩阵为对称矩阵对称变换在标准正交基下的矩阵为对称矩阵.,.AA AAAA引理引理3 设设A是对称变换

42、，是对称变换，W是是A的不变子空间，的不变子空间，,W ,W A A证明证明 ,0 A AA A故故 也为也为A的不变子空间的不变子空间W 则则 也是也是A的不变子空间的不变子空间W 因为因为 ,WWA A而而 ,WW ,W A A引理引理4 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必正交实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必正交.分别是属于分别是属于 的特征向量的特征向量,nR ,则则,A 证明证明 设设A为实为实n阶对称矩阵，阶对称矩阵，A为相应的对称变换为相应的对称变换，,是是A的两个不同特征值的两个不同特征值，,Aoo (,)(,)(,)(,)(,)(,)AA (,)0.,正交正交.1.1.定

43、理定理7 7 对对 总存在正交矩阵总存在正交矩阵T，使，使,n nARAA 112(,).nT ATTATdiag 证明证明 设设A为为 上对称变换上对称变换A在标准正交基下的矩阵在标准正交基下的矩阵nR由实对称矩阵和对称变换对应的关系，只需证由实对称矩阵和对称变换对应的关系，只需证A有有n个特征向量组成个特征向量组成 的标准正交基即可的标准正交基即可即任意实对称矩阵既合同又相似于对角矩阵即任意实对称矩阵既合同又相似于对角矩阵.nR当当n=1时，结论是显然的时，结论是显然的对对 的维数的维数n用归纳法用归纳法 nR设其对应有一单位特征向量设其对应有一单位特征向量 ，即，即1 1,1111,|1

44、 A A对对 其上的对称变换其上的对称变换A有实特征值有实特征值,nR假设假设n-1时结论成立，时结论成立，设子空间设子空间1(),WL 显然显然W是是A的不变子空间，的不变子空间，,dim1nWWRWn 则则 也是也是A的不变的不变 子空间，且子空间，且 W (),W AAAA且对有且对有,W ,A A ,()W A A所以所以 是是 上的对称变换上的对称变换WW A A由归纳假设知由归纳假设知 有有n1 个特征向量个特征向量W A A23,n 构成构成 的一组标准正交基的一组标准正交基W 从而就是从而就是 的一组标准正交基，的一组标准正交基，123,n nR又都是又都是 的特征向量的特征向

45、量nR即结论成立即结论成立2.具体步骤具体步骤设设,n nARAA (i)求出求出A的所有不同的特征值：的所有不同的特征值：12,rR 其重数其重数 必满足必满足 ;12,rn nn1riinn (ii)对每个对每个 ，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组 i()0iEA x 求出它的一个基础解系：求出它的一个基础解系：12,iiiin它是它是A的属于特征值的属于特征值 的特征子空间的特征子空间 的一组基的一组基i iV 正交基正交基12,.iiiin 把它们按把它们按 正交化过程化成正交化过程化成 的一组标准的一组标准SchmidtiV(iii)因为因为 互不相同，互不相同，12,.r 且且1

46、dim,iriVn 11112112,rnrrrn就是就是V的一组标准正交基的一组标准正交基()ijVVij 所以所以则则T是正交矩阵，且是正交矩阵，且11112112,rnrrrn 将将的分量依次作的分量依次作矩阵矩阵T 的第的第1，2，n列，列，使使 为对角矩阵为对角矩阵1T ATTAT 例例1 设设 0111101 111 011 110A 求一正交矩阵求一正交矩阵T使使 成对角矩阵成对角矩阵T AT 解解 先求先求A的特征值的特征值11 1111|1 11111EA 3(1)(3)A的特征值为的特征值为 （三重）（三重）,11 23.111 1111(1)1 11111 当当 时，求解

47、方程组时，求解方程组11 ()0EA x111 11 1111 111111 1EA得其基础解得其基础解 123(1,1,0,0)(1,0,1,0)(1,0,0,1)111 10 00 00 00 00 00 0把它正交化，得把它正交化，得 11(1,1,0,0)2122111(,)111(,1,0)(1,1,2,0)(,)222 313233121122(,)(,)1(1,1,1,3)(,)(,)3 再单位化，得再单位化，得111111(,0,0)|22 2221112(,0)|666 33311113(,)|12121212 这是特征值这是特征值 的三个标准正交特征向量组，的三个标准正交特

48、征向量组，11 当当 时，解方程组时，解方程组23 311 1131131 1311113EA 30EA x1 0 010 1 0 10 0 1 10 0 0 0 得其基础解得其基础解 4(1,1,1,1),再单位化得再单位化得 41(1,1,1,1)2 这样这样 构成构成 的一组标准正交基，它们的一组标准正交基，它们1234,4R都是都是A的特征向量，且的特征向量，且1234111122612111122612(,)211026123100212T 为正交矩阵，为正交矩阵，使得使得 111.13T ATTAT 成立的正交矩阵不是唯一的成立的正交矩阵不是唯一的(2)(2)对于实对称矩阵对于实对

49、称矩阵A，使，使12(,)nT ATdiag 而且对于正交矩阵而且对于正交矩阵T,还可进一步要求还可进一步要求1.T (1)(1)除主对角线上元素的除主对角线上元素的排列的次序外，排列的次序外，与实对称矩阵与实对称矩阵A正交相似正交相似的的对角矩阵是唯一确定的对角矩阵是唯一确定的12(,),1nT ATdiagT 若若取正交矩阵取正交矩阵(1,1,1),Sdiag 则则 是正交矩阵且是正交矩阵且1TTS 11,TT S 同时有同时有11()()()T ATTS A TSS T AT S 12111111n 12(,)ndiag (3)(3)因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可因为正交相似的

50、矩阵也是互相合同的，所以可用实对称矩阵的特征值的性质刻画其有定性：用实对称矩阵的特征值的性质刻画其有定性：设设 为实对称矩阵为实对称矩阵A的所有特征值的所有特征值12n (i)A为正定的为正定的0n (ii)A为半正定的为半正定的0n (iii)A为负定的为负定的10 (iv)A为半正定的为半正定的10 (v)A为不定的为不定的10 且且 0n 特征值法特征值法例例1 若若 A 是正定矩阵，则是正定矩阵，则1*,kAA A 也是正定矩阵也是正定矩阵.证明证明 若若 A正定，则正定，则A实对称且实对称且A的的n个特征值全大于个特征值全大于0，记为记为12,n 且且120.nA 1A 的所有特征值

51、为的所有特征值为全大于全大于011112,n*A的所有特征值为的所有特征值为全大于全大于011112,nAAA kA的所有特征值为的所有特征值为全大于全大于012,kkkn 1*,kAA A 也是正定矩阵也是正定矩阵.则则1*,kAA A 也为实对称矩阵且也为实对称矩阵且例例3 设设 A 是是n阶实对称矩阵，证明当实数阶实对称矩阵，证明当实数t充分大之后，充分大之后，tE+A是正定矩阵，其中是正定矩阵，其中E是是n阶单位矩阵阶单位矩阵.练习练习 若若 A 是是n阶实对称矩阵，证明存在一个非零实数阶实对称矩阵，证明存在一个非零实数s使得使得E+sA是正定矩阵，其中是正定矩阵，其中E是是n阶单位矩

52、阵阶单位矩阵.证明证明 若若 A正定，则正定，则A实对称且实对称且A的的n个特征值全大于个特征值全大于0，记为记为12,n 显然当显然当 时所有特征值全大于时所有特征值全大于0.tE+A的所有特征值为的所有特征值为12,nttt 则则tE+A也为实对称矩阵且也为实对称矩阵且故故 tE+A 是正定矩阵是正定矩阵 max,1,2,itin 四四.正交变换法化实二次型为标准形正交变换法化实二次型为标准形1.1.定理定理8 8 对任意的实二次型对任意的实二次型一定存在一定存在正交变换正交变换x=Ty，T为正交矩阵，使得为正交矩阵，使得1211(,),nnnijijijjiijf x xxa x xaa

53、 222121122,nnnf x xxyyy 其中其中 为为A的所有特征值的所有特征值.12,n 例例4 已知实二次型已知实二次型 1333313333133331A 试用正交变换试用正交变换x=Ty将其化成标准形将其化成标准形.解解 f 所对应的矩阵为所对应的矩阵为13333133|33133331EA 3(4)(8)A的特征值为的特征值为 （三重）（三重）,14 28.22221231234(,)f x xxxxxx 121314232434666666x xx xx xx xx xx x 当当 时时,求解方程组求解方程组14 (4)0EA x 33333333433333333EA得其

54、基础解得其基础解 123(1,1,0,0)(1,0,1,0)(1,0,0,1)11 110 0 0 00 0 0 00 0 0 0把它正交化，得把它正交化，得 11(1,1,0,0)2122111(,)111(,1,0)(1,1,2,0)(,)222 313233121122(,)(,)1(1,1,1,3)(,)(,)3 再单位化，得再单位化，得111111(,0,0)|22 2221112(,0)|666 33311113(,)|12121212 当当 时，解方程组时，解方程组28 93333933833933339EA 80EA x 1 0 0 10 1 010 0 1 10 0 0 0

55、得其基础解得其基础解 4(1,1,1,1),再单位化得再单位化得 41(1,1,1,1)2 1234111122612111122612(,)211026123100212T 为正交矩阵，使得为正交矩阵，使得144.48T ATTAT 令令 x=Ty,得得f 的标准形为的标准形为222212344448.fyyyy 在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是 222112233121323222a xa ya za xya xza yz 1232220b xb yb zd （1）20.X AXB Xd（2）则（则（1）式可以写成）式可以写成 令令 11121312

56、1222323313233,.aaabxAaaaBbXyzbaaa 2.2.应用应用对（对（2）中的）中的 有正交矩阵有正交矩阵C（且（且 ）3 3AAR 1C 确定的坐标变换公式确定的坐标变换公式 111213121222311313233cccxxycccyzzccc 123(,),C ACdiag 曲面（曲面（1）的方程化成）的方程化成 这样由（这样由（2）知道经过由）知道经过由 的坐标轴旋转，的坐标轴旋转，1XCX 222*11213 11121312220 xyzb xb yb zd 或或1XCX 其中其中 *123123,bbbb b bC 这时，再按这时，再按 是否为零，作适当的

57、坐标轴的是否为零，作适当的坐标轴的123,平移或旋转可以将曲面的方程化成标准方程平移或旋转可以将曲面的方程化成标准方程如当如当全不为零时，作平移全不为零时，作平移 123,*1121*2122*3123bxxbyybzz 曲面方程（曲面方程（1）可以化为）可以化为 222*12223 20,xyzd*312123.bbbdd其中其中长度长度 称为称为向量向量 和和 的距离的距离，(1),dd (2)并且仅当并且仅当 的等号才成立；的等号才成立；,0,d (3)(三角形不等式三角形不等式),.ddd ,.d 记为记为 设设V为欧氏空间为欧氏空间,对任意对任意,.V min(,)|dW 设设V为欧

58、氏空间为欧氏空间,W为为V的一个子空间，的一个子空间，V 为一固定向量为一固定向量.为为 和和W的距离的距离，记为记为(,)min(,)|.dWdW 向量向量 到子空间到子空间W中的各向量的距离中的各向量的距离以垂线为最短以垂线为最短.即对某即对某0,W 00(,)min(,)|.WddW 只需证只需证0,(,)(,).Wdd 因为因为 2(,)(,)d 0000(,)000000(,)2(,)(,)000,WWWW又又00,00(,)0.20000(,)(,)(,)d 22200(,)(,)(,).ddd 0(,)(,).dd 已知某种材料在生产过程中的废品率已知某种材料在生产过程中的废品率

59、y 与某种与某种化学成份化学成份 x 有关下列表中记载了某工厂生产有关下列表中记载了某工厂生产中中 y 与相应的与相应的 x 的几次数值：的几次数值：找出找出y 对对 x 的一个近似公式的一个近似公式.(%)y(%)x1.000.90.9 0.81 0.60 0.56 0.35 3 3.6 6 3 3.7 7 3 3.8 8 3 3.9 9 4 4.0 0 4 4.1 1 4 4.2 2.yaxb.yaxb0.axby3.61.000,ab 3.70.90ab 3.80.90,ab 3.90.810,ab4.00.600,ab 4.10.560,ab 4.20.350ab 事实上这样的事实上这

60、样的a,b不存在，不存在，得得任何任何a,b 代入上面代入上面各式各式都发生些误差都发生些误差.因此想找到因此想找到 a,b 使得上面各式的使得上面各式的误差的平方误差的平方和最小和最小.即令即令误差平方和误差平方和 22(,)(3.61.00)(3.70.9)S a babab 22(3.80.9)(3.90.81)abab 2(4.20.35)ab 22(4.00.60)(4.10.56)abab求求 使使 取最小值取最小值.00,a b(,)S a b为所求近似公式为所求近似公式.00ya xb 可能无解可能无解.使使S最小，这样的最小，这样的称为方程组的称为方程组的最小二乘解最小二乘解

61、.这种问题就叫这种问题就叫最小二乘法问题最小二乘法问题.线性方程组线性方程组11112211211222221122,ssssnnnssna xa xa xba xa xa xba xaxa xb 不等于零不等于零.00012,sxxx211221()niiissiiSa xa xa xb 都可能使都可能使00012,sxxx00012,sxxx因此设法找因此设法找即任何一组数即任何一组数设设 11121212221212,sssnnnsaaaaaaAaaa 112112211,sjjjsjjssjsnjjja xa xYAxxxxa x 12,nxxxx 12,nbbBb 最小二乘法就是找最

62、小二乘法就是找 0000012(,),sxxxxYAx 使得使得 2(,)(,)SBY BYd B Y 最小最小.又又 112212(,),sssYxxxL 问题转化为求向量问题转化为求向量 使使 0 x00,YAx 012(,)(,(,).sd B Yd B L 此时此时 012(,).sBYL 设设00,CBYBAx 这等价于这等价于 12(,)(,)(,)0,sCCC 即即 120,0,0,sCCC这等价于这等价于12(,)sCL 为此必为此必 00A BAx 0A AxA B 或或这就是最小二乘解所满足的代数方程这就是最小二乘解所满足的代数方程.3.6 11.003.7 10.903.8 10.90,3.9 10.814.0 10.604.1 10.564.2 10.35AB 最小二乘解最小二乘解 a,b 所满足的方程就是所满足的方程就是 0,aA AA Bb 上问题中记上问题中记解得解得（取三位有效数字）（取三位有效数字）.1.05,4.81ab 即为即为 106.7527.319.6750ab 27.375.120ab