高斯公式与斯托克斯公式课件

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1、高斯公式与斯托克斯公式第三节第三节 高斯公式与斯托克斯公式高斯公式与斯托克斯公式一一 问题的提出问题的提出二二 Gauss Gauss 公式公式三三 简单应用简单应用四四 通量与散度通量与散度五五 小结小结高斯公式与斯托克斯公式一一 问题的提出问题的提出 格林公式表达了平面区域上二重积格林公式表达了平面区域上二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系。而在空间上，也有同样类似的关系。而在空间上，也有同样类似的结论，这就是高斯公式，它表达了空结论，这就是高斯公式，它表达了空间区域上三重积分与区域边界曲面上间区域上三重积分与区域边界曲面上曲面积分之间的关系。曲面积分

2、之间的关系。高斯公式与斯托克斯公式二二 高斯公式高斯公式 设设空空间间闭闭区区域域 由由分分片片光光滑滑的的闭闭曲曲面面围围成成,函函数数),(zyxP、),(zyxQ、),(zyxR在在 上上具具有有 一一阶阶连连续续偏偏导导数数,则则有有公公式式 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(dSRQPdvzRyQxP)coscoscos()(或或这这里里 是是 的的整整个个边边界界曲曲面面的的外外侧侧 cos,cos,cos是是 上上点点),(zyx处处的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦.高斯公式与斯托克斯公式证明证明设设闭闭区区域域 在在面面xoy上上的的投投影影区区域域为为xy

3、D.xyzo 由由1,2 和和3 三部分组成三部分组成,),(1:1yxzz ),(2:2yxzz .3侧侧柱柱面面上上的的一一部部分分，取取外外轴轴的的准准线线母母线线平平行行于于的的边边界界曲曲线线为为是是以以ZDxy 1 2 3 xyD取下侧取下侧取上侧取上侧高斯公式与斯托克斯公式根据三重积分的计算法根据三重积分的计算法dxdydzzRdxdydzzRxyDyxzyxz),(),(21.),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR根据曲面积分的计算法根据曲面积分的计算法,),(,),(11 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR高斯公式与斯托克斯公式,),(,),(2

4、2 xyDdxdyyxzyxRdxdyzyxR,),(,),(,12 xyDdxdyyxzyxRyxzyxR dxdyzyxR),(于于是是.0),(3 dxdyzyxR.),(dxdyzyxRdvzR高斯公式与斯托克斯公式,),(dydzzyxPdvxP同理同理,),(dzdxzyxQdvyQ RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(-高斯公式高斯公式和并以上三式得：和并以上三式得：高斯公式与斯托克斯公式GaussGauss公式的实质公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系曲面上的曲面积分之间的关系.)cosco

5、scos()(dSRQPdvzRyQxP 由两类曲面积分之间的关系知由两类曲面积分之间的关系知高斯公式与斯托克斯公式三 高斯公式的简单应用例例1 1 计算曲面积分计算曲面积分xdydzzydxdyyx)()(其中为柱面其中为柱面122 yx及平及平面面3,0 zz所围成的空间闭所围成的空间闭区域区域 的整个边界曲面的外侧的整个边界曲面的外侧.xozy113解解,0,)(yxRQxzyP 高斯公式与斯托克斯公式,0,0,zRyQzyxP dxdydzzy)(原式原式 dzrdrdzr )sin(.29 (利用柱面坐标得利用柱面坐标得)xozy113 201030)sin(dzzrrdrd高斯公式

6、与斯托克斯公式使用使用GuassGuass公式时应注意验证条件公式时应注意验证条件:1 1.是是取取闭闭曲曲面面的的外外侧侧；.,.3上具有一阶连续偏导数上具有一阶连续偏导数在在 RQP是封闭曲面；是封闭曲面；.2高斯公式与斯托克斯公式xyzo例例 2 2 计计算算曲曲面面积积分分 dszyx)coscoscos(222 ,其其中中为为 锥锥面面 222zyx 介介于于平平面面 0 z及及)0(hhz 之之间间的的部部分分的的下下侧侧,cos,cos,cos 是是在在),(zyx处处 的的法法向向量量的的方方向向余余弦弦.h 高斯公式与斯托克斯公式xyDxyzoh 1 解解空间曲面在空间曲面在

7、 面上的投影域为面上的投影域为xoyxyD)(:2221hyxhz 补补充充曲面曲面 不是封闭曲面不是封闭曲面,为利用为利用高斯公式高斯公式取取上上侧侧，1 构成封闭曲面，构成封闭曲面，1 .1 围围成成空空间间区区域域,上上使使用用高高斯斯公公式式在在 高斯公式与斯托克斯公式 dvzyxdSzyx)(2)coscoscos(1222 xyDhyxdzzyxdxdy22,)(2.|),(222hyxyxDxy 其中其中 xyDhyxdzyxdxdy22,0)(xyDdxdyyxhdSzyx)()coscoscos(2222221 .214h 高斯公式与斯托克斯公式 112222)coscosc

8、os(dSzdSzyx xyDdxdyh2.4h 故所求积分为故所求积分为 dSzyx)coscoscos(222421h 4h .214h 高斯公式与斯托克斯公式证证明明有有一一二二阶阶连连续续偏偏导导数数，上上具具在在闭闭区区域域和和设设函函数数例例),(),(3zyxvzyxu,)(dxdydzzvzuyvyuxvxudSnvuvdxdydzu 沿沿 外外法法线线方方向向的的方方向向导导数数，这这 里里 是是 的的 整整 个个 边边 界界 曲曲 面面,),(zyxvnv为为函函数数 222222zyx 符符号号证证明明：因因为为方方向向导导数数 coscoscoszvyvxvnv cos

9、,cos,cos是是 上上点点),(zyx处处的的法法向向量量 的的方方向向余余弦弦.高斯公式与斯托克斯公式dSzvyvxvudSnvu)coscoscos(dSzvuyvuxvu cos)(cos)(cos)(利用高斯公式利用高斯公式dxdydzzvuzyvuyxvuxdSnvu)()()(,)(dxdydzzvzuyvyuxvxuvdxdydzu 高斯公式与斯托克斯公式四四 通量与散度通量与散度kzyxRjzyxQizyxPzyxA),(),(),(),(沿沿场场中中某某一一有有向向曲曲面面的的第第二二类类曲曲面面积积分分为为 1)1)通量的定义通量的定义:RdxdyQdzdxPdydzd

10、SnASdA0称称为为向向量量场场),(zyxA向向正正侧侧穿穿过过曲曲面面的的通通量量.设有向量场设有向量场 高斯公式与斯托克斯公式设设有有向向量量场场),(zyxA,在在场场内内作作包包围围点点M 的的闭闭曲曲面面,包包围围的的区区域域为为V,记记体体积积为为V.若若 当当V收收缩缩成成点点M时时,极极限限VSdAMV lim存存在在,则称此极限值为则称此极限值为A在点在点M处的处的散度散度,记为记为Adiv.2)2)散度的定义散度的定义:高斯公式与斯托克斯公式散度在直角坐标系下的形式散度在直角坐标系下的形式 dSvdvzRyQxPn)(dSvVdvzRyQxPVn1)(1 dSvVzRy

11、QxPn1)(),(dSvVzRyQxPnM1lim积分中值定理积分中值定理,两边取极限两边取极限,zRyQxPAdiv 高斯公式与斯托克斯公式高斯公式可写成高斯公式可写成 dSAdvAdivn)coscoscos(0 RQPnAAn 的的边边界界曲曲面面，是是空空间间闭闭区区域域其其中中 .的的外外侧侧法法向向量量上上的的投投影影在在曲曲面面是是向向量量 AAn高斯公式与斯托克斯公式五五 小结小结 dSAdvAdivn（1）应用的条件）应用的条件（2）物理意义）物理意义2 高斯公式的实质高斯公式的实质1 高斯公式高斯公式 RdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxP)(高斯公式与斯托克斯公

12、式六六 问题的提出问题的提出 Stokes Stokes 公式是公式是GreenGreen公式的推公式的推广广.后者表达了平面闭区域二重后者表达了平面闭区域二重积分与其边界曲线上的曲线积分积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系，而前者则表达了曲之间的关系，而前者则表达了曲面积分与曲面边界曲线的曲线积面积分与曲面边界曲线的曲线积分之间的联系分之间的联系.高斯公式与斯托克斯公式七七 斯托克斯公式斯托克斯公式定定理理 设设 为为分分段段光光滑滑的的空空间间有有向向闭闭曲曲线线,是是以以 为为边边界界的的分分片片光光滑滑的的有有向向曲曲面面,的的正正向向与与 的的侧侧符符合合右右手手规规则则,函函数数

13、),(zyxP,),(zyxQ,),(zyxR在在包包含含曲曲面面 在在内内的的一一个个空空间间区区域域内内具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数,则则有有公公式式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式高斯公式与斯托克斯公式n 通过右手法则来确定通过右手法则来确定xyzo),(:yxfz xyD Cn证明证明设设与与平平行行于于z轴轴的的直直线线相相交交不不多多于于一一点点,并并取取上上侧侧,有有向向曲曲线线 C C 为为的的正正向向边边界界曲曲线线 在在xoy的的投投影影.且且所所围围区区域域xyD.如图如图的的正正向向边边界界曲

14、曲线线，是是有有向向曲曲面面 高斯公式与斯托克斯公式dsyPzPdxdyyPdzdxzP)coscos(代代入入上上式式得得又又,coscos yfdsfzPyPdxdyyPdzdxzPy cos)(dxdyfzPyPdxdyyPdzdxzPy)(即即yfzPyPyxfyxPy ),(,高斯公式与斯托克斯公式,),(,dxdyyxfyxPydxdyyPdzdxzPxyD cDdxyxfyxPdxdyyxfyxPyxy),(,),(,根椐格林公式根椐格林公式dxyxfyxPdxdyyPdzdxzPc ),(,即即高斯公式与斯托克斯公式,),(dxzyxPdxdyyPdzdxzP 空间有向曲线空间

15、有向曲线,),(dyzyxQdydzzQdxdyxQ 同理可证同理可证,),(dzzyxRdzdxxRdydzyR dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(RdzQdyPdx.故有结论成立故有结论成立.高斯公式与斯托克斯公式 RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz RdzQdyPdxdsRQPzyx coscoscos另一种形式另一种形式cos,cos,cos n其中其中便于记忆形式，利用行列式记号把（便于记忆形式，利用行列式记号把（Stokes)公式写成公式写成高斯公式与斯托克斯公式StokesStokes公式的实质公式的实质:表达了有向曲面上的曲面积分与

16、其边界曲线表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系上的曲线积分之间的关系.斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形(当是当是xoy面的平面闭区域时面的平面闭区域时)高斯公式与斯托克斯公式八八 应用应用例例 1 1 计计算算曲曲线线积积分分ydzxdyzdx ,其其中中 是是平平面面1 zyx被被三三坐坐标标面面所所截截成成的的三三角角形形的的整整个个边边界界,它它的的正正向向与与这这个个三三角角形形上上侧侧的的法法向向量量之之间间符符合合右右手手规规则则.0 xyDxyzn111解解按斯托克斯公式按斯托克斯公式,有有dzyxdyzdx dxdydzdxdyd

17、z高斯公式与斯托克斯公式 dxdydzdxdydz xyDd3xyo11xyD23 弦都为正，弦都为正，的法向量的三个方向余的法向量的三个方向余由于由于 等于，等于，再由对称性知上式右端再由对称性知上式右端如图如图xyDdzyxdyzdx dxdydzdxdydz高斯公式与斯托克斯公式例例 2 2 利利用用 stokes 公公式式计计算算曲曲线线积积分分 dzyxdyxzdxzy)()()(222222 其其中中 是是平平面面23 zyx截截立立方方体体:10 x,10 y,10 z的的表表面面所所得得的的截截痕痕,若若从从 ox 轴轴的的正正向向看看去去,取取逆逆时时针针方方向向.解解取取为为平平面面23 zyx的的上上侧侧被被 所所围围成成的的部部分分.则则1,1,131 nzxyo n 高斯公式与斯托克斯公式即即,31coscoscos dsyxxzzyzyxI 222222313131 dszyx)(34 ds2334 xyxyDDdxdydxdy6332.29 )23(zyx上上在在xyD23 yx21 yx高斯公式与斯托克斯公式十一小结十一小结斯托克斯公式成立的条件斯托克斯公式成立的条件斯托克斯公式斯托克斯公式 RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz dsRQPzyxcoscoscos dstAdSnArot