11考研数学高等数学春季模块班讲义汤(一)

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1、考研同盟工作室 联系QQ598113 旺旺：魔法师_cn第一讲 极 限 与 连 续第一部分 极限一、 基本概念1、函数的初等特性（1）单调性设为定义于上的函数，若对任意的且，有 ，称函数在上为单调增函数，若有，称函数在上为减函数。（2）有界性设为定义于上的函数，若存在，对一切的，有 ，成立，称在上为有界函数。（3）奇偶性设为定义于上的函数，且关于原点对称，若对任意的，有 ，称在上为偶函数，若，称在上为奇函数。例如：，显然的定义域为，且，所以为奇函数。（4）周期性设为定义于上的函数，且对任意的，若对任意，有，称为周期函数。如：，显然，故为以1为周期的函数。2、基本初等函数幂函数、指数函数、对数函

2、数、三角函数及反三角函数称为基本初等函数。3、初等函数由常数及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而成的一个式子称初等函数。4、极限的基本概念（1）（定义）：若对任意的，总存在，当时，有，称数列的极限，记为。（2）（定义）：若对任意的，总存在，当时，有，称为函数当时的极限，记为。（3）（定义）：若对任意的，总存在，当时，有，称为函数当时的极限，记为。（4）（左右极限）：若对任意的，总存在，当时，有，称为函数在处的左极限，记为；若对任意的，总存在，当时，有，称为函数在处的左极限，记为注解：存在的充分必要条件是与都存在且相等。例如：，显然在处的左右极限都存在，因为左右极限存在但不相等，所以不

3、存在。5、无穷小（1）无穷小的定以零为极限的函数称为无穷小。（2）无穷小的层次：设，则1）若，称为为高阶无穷小，记为；2）若，称与为同阶无穷小，记为，特别地，若，称与为等价无穷小，记为。（3）无穷小的一般性质1）有限个无穷小之和还是无穷小；2）有限个无穷小之积还是无穷小；3）有界函数与无穷小之积还是无穷小；4）常数与无穷小之积还是无穷小；5）极限与无穷小的关系：（4）等价无穷小的性质1）；2）若，则；3）若，则；4）若，且存在，则；5）的充分必要条件是，其中；6）设，则的充分必要条件是；证明：必要性设，即，由性质9），其中，于是，又因为，所以，故；充分性设，两边同除以，得，因为，所以，即。（5

4、）当时常用的等价无穷小：1）；2）；3）；4）。二、极限性质（一）极限的基本性质1（唯一性）极限存在必唯一。2（保号性）（1）若，则存在，当时，有。（2）若，且，则。（3）若，且，则。3（有界性）若存在，则数列有界。4（列与子列极限的关系）若列极限存在，则其任意子列极限也存在且相等，反之不对。例如：（1）；（2）；（3）。（二）极限的存在性质1（迫敛定理）（1）设，且，则。（2）设，且，则。例如：，因为，所以，且，由夹逼定理得 。2单调有界的数列必有极限。例如：证明极限存在并求之。显然且为单调增加的数列，现证明。当时，设，则，由数学归纳法，对一切的，总而，即该数列为单调增加且有上界的数列，故该

5、数列极限存在，令，由，得。注解：（1）设数列由确定，令，若，则数列单调，其中当时，数列单调减少；当时，数列单调增加。证明不妨设，因为，所以单调增加，从而，即，设，则，即，由数学归纳法，数列单调增加，同理可以证明另外一种情形。（2）设单调增加，则有如下两中情况：情形一：数列没有上界，则；情形二：数列有上界，则存在，令，则即为数列的上界，是所有上界中最小的上界。（三）运算性质1、四则运算性质设，则（1）；（2）；（3）；（4）。2、复合运算性质（1）设，则。（2）设，则。三、重要极限1、；2、。第二部分 连续与间断一、基本概念1、连续（1）函数在一点连续的定义若，称函数在点处连续。注解：函数在点处

6、连续的充分必要条件是。（2）函数在闭区间上连续的定义若函数在内点点连续，且，称函数在闭区间上连续，记为。注解：初等函数在其定义域内连续。2、间断及分类：第一类间断点：1）特点：都存在。2）分类：若，称为函数的可去间断点；若，称为函数的跳跃间断点。第二类间断点：若至少有一个不存在，称为函数的第二类间断点。二、闭区间上连续函数的性质1（最值定理）设，则在上取到最大值和最小值。2（有界定理）设，则在上有界。3（零点定理）设，且，则存在，使得。4（介值定理）（1）设，且分别为函数在上的最小值与最大值，则对任意的，总存在，使得。（2）设，且，不妨设，则对任意的，总存在，使得。例题部分1、求极限（1）；（

7、2）；（3）。2、求下列极限（1）；（2）；（3）；3、求下列极限；4、设，证明数列收敛，并求。5、设，讨论在处的连续性。6、讨论的连续性。7、设，且，证明：在上有界。8、设，证明：对任意的及且，存在，使得 。第二讲 导 数 与 微 分一、基本概念1、导数设为定义于上的函数，称为函数在处的增量，若存在，称在点处可导，极限称为函数在点处的导数，记为或。注解：（1）同时包括与。若存在，称此极限为函数在点处的左导数，记为，若存在，称此极限为函数在点处的右导数，记为，由于导数本质上是一种极限，而函数在一点极限存在的充分必要条件是左右极限都存在且相等，所以函数在点处可导的充分必要条件是与都存在且相等。（

8、2）函数在处导数的等价定义 ， ， 。（3）设在处左可导，则函数在处左连续。因为存在，所以存在，从而，即，于是函数在处左连续，同理若函数在处右可导，则在处右连续，注意函数在一点左右可导，函数在该点处不一定可导（因为左右导数不一定相等），但一定具有连续性。（4）若在处可导，则在处连续，反之不对。证法一设在处可导，即存在，则，于是，即在处连续。证法二因为在处可导，所以在处左右可导，从而函数在处左右连续，于是函数在处连续。反例：，显然在处连续，因为，所以在处不可导。问题1 设存在，问是否存在？解答：不一定存在，如，取，显然，因为，所以函数在处不连续，故在处不可导。问题2 设存在，问是否存在？解答：，

9、因为，所以存在只能保证存在，不能保证存在。2可微设为定义于上的函数，若，称在处可微，记，或者。问题1 函数在处何时可微（或可微的条件）？问题2 若函数在处可微，注解：（1）在处可微与可导等价；（2）若在处可微，则。证明：若在处可微，即，则，于是，即在处可导，且；反之，若在处可导，即存在，由，得 ，其中，于是，因为，所以，即在处可微。（3）若处处可微，则。二、几个关系1函数与其绝对值函数之间连续及可导的关系：若函数在处连续，则在处连续，但可导性不一定能保持，若反之则不对。证明：对任意的，有 ，因为在上连续，所以，根据夹逼定理，即在处连续，再由的任意性得在上连续。反之，若在上连续，在上不一定连续，

10、如，连续，但处处不连续。2连续与可导的关系：若函数在一点可导，则函数在该点一定连续，反之不对。3可导与可微的关系：函数可导与可微等价。三、求导三大工具（一）基本公式1；2，特别地；3，特别地；4，特别地；5（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）。6（1）； （2）； （3）； （4）。（二）求导四则运算法则1；2；3；4；5。（三）复合函数求导链式运算设，都是可导函数，则可导，且。注解：（1）一阶微分形式的不变性：设可导，其中是自变量，则；设可导，其中且可导，由得 。（2）原函数与其反函数一阶导数与二阶导数之间的关系：设为二阶可导函数，且，为的反函数，则

11、，即原函数与其反函数导数之间为倒数关系， 。（3）设在处连续，若，则。（4）设是周期可导函数，则也是周期函数；若为奇函数，则是偶函数；若为偶函数，则是奇函数。（5）可导与连续可导的区别：所谓在某个区域内可导即在该区域内处处有导数，但不能保证为连续函数，如，当时，；当时，因为，所以，于是，即处处可导。因为不存在，所以，即在处不连续。所谓连续可导，即为连续函数。四、求导类型1显函数求导数例1 设，求；例2 设，求；例3 设，求。2参数方程确定的函数求导数设函数由确定，其中皆二阶可导，求及。3隐函数的导数例 ，求。4分段函数求导数例1 设，求并讨论的连续性。例2 设，且存在，求。5高阶导数例1 ，求

12、。例2 设，求。例2 设，求。第三讲 中 值 定 理 及 其 应 用一、中值定理（一）预备知识1极值点与极值的定义设，其中，若存在，当时，有，称为的极大点，为的极大值；若存在，当时，有，称为的极小点，为的极小值，极大点和极小点统称为极值点，极大值与极小值统称为极值。2函数极值点处导数的可能情况设，由定义，根据极限的保号性，存在，当时，从而当时，因为，所以；当时，因为，所以，故一定不是的极值点。同理，若，则一定不是的极值点，于是若是的极值点，则或不存在。3一点导数（左或右导数）大于或小于零的解读：设，即，由极限的保号性，存在，当时，有。当时，；当时，。（二）中值定理及证明定理1（罗尔中值定理）设

13、满足：（1）；（2）在内可导；（3），则存在，使得。证明因为，所以在上取到最小值和最大值，Case 1 ，此时为常数函数，故对任意的，有；Case 2 ,因为,所以至多只有一个在边界点上取到,即中至少有一个在内部取到,不妨设在内取到，即存在，使，注意到也为极小点，所以或不存在，而在内可导，所以。定理2（Lagrange中值定理）设满足：（1）；（2）在内可导，则存在，使得。分析：曲线的左端点为，右端点为，经过两点的直线为或者，因为曲线与直线都同时经过点，令，显然。证明令，显然，在内可导，且，所以由罗尔定理，存在，使，而，所以。注解（1）拉格朗日中值定理又称为微分中值定理，其等价形式有，其中。（

14、2）由确定，且微分中值定理的端点可以为变量。定理3（Cauchy中值定理）设满足：（1）；（2）在内可导；（3），则存在，使得 。定理4（Taylor中值定理）设在的邻域内有直到阶导数，则有，且，其中介于与之间，称此种形式的余项为拉格郎日型余项，若，称此种形式的余项为皮亚诺型余项。特别地，若，则称，为马克劳林公式，其中。专题介绍 二阶保号性问题1定理 设在上二阶可导，则有（1）若，则，等号成立当且仅当；（2）若，则，等号成立当且仅当。2应用微分问题的证明题中若出现二阶保号性的条件，一般有两个思路：思路一：设，则单调增加（单调减少）。例题 设在上连续，且，证明：对任意的有。证明不妨设，由微分中值

15、定理得 ，其中，其中。因为且，所以，从而，于是。思路二：使用定理得到的重要不等式。例题1 设，且，取，设且，证明：。例题2 设，且，证明：。中值定理部分例题选讲题型一：证明常见思路：（1）罗尔定理； （2）极值法1设，在内可导，且，证明：存在，使得。2设在上三阶可导，令，证明：存在，使得。3设，在内可导，且，证明：存在，使得。题型二：涉及内部极值问题1设，在上二阶可导，且的最小点在内，证明：。2设，在内可导，且，证明：存在，使得。题型三：含一个中值，不含端点，且结论中导数的差距上一阶问题1设，在内可导，证明：存在，使得。2设，在内可导，证明：存在，使得。3设，在内可导，且，证明：存在，使得 。

16、题型四：含两个中值的问题1设，在内可导，证明：存在，使得 。2设，在内可导，且，证明：存在，使得 。3设，在内可导，且，证明：存在，使得 。题型五：含端点及中值的问题1设，证明：存在，使得。题型六：泰勒定理问题1设在上三阶连续可微，且，证明：存在，使得。2一车从开始启动（速度为零）到刹车停止用单位时间走完单位路程，证明至少有一个时间点其加速度的绝对值不小于4。二、单调性与极值（一）概念1单调性设定义于，若对任意的且，有，称在上严格单调增加，反之称为单调减少。2极值点与极值略。（二）单调性定理设，若在内，则在上单调增加，反之则单调减少。（三）单调性步骤1确定函数的定义域；2求函数的驻点及不可导点

17、；3第2步所求的点把定义域分成若干小区间，判断每个小区间内的导数符号，从而得出函数的单调区间。（四）求极值步骤第一步：求函数的定义域；第二步：求驻点和函数不可导的点；第三步：极值点判别方法定理1（第一充分条件）设在的去心邻域内可导，则（1）若当时，当时，则为的极大点；（2）若当时，当时，则为的极小点。定理2（第二充分条件）设在处二阶可导，且，则（1）若，则为的极小点；（2）若，则为的极大点；（3）若，则无法确定是否为的极值点。例题1 设一阶连续可导，判断是否是的极值点。例题2 设，讨论是否是的极值点？（五）最值问题1、闭区间上连续函数最值的求法（1）求出函数在区间内所有的驻点及不可导点，设为；

18、（2），。如：，令，得，由，得在上的最大值为，最小值为。2、无限区间上连续函数最值若函数的无限区间上只有唯一驻点，且该点为极值点，则此点一定为最值点。3、实际问题先根据变量之间的关系列出目标函数，再求目标函数的驻点或不可导点，若只有一点，则此点即为目标函数的最优解。三、凹凸性、拐点与渐近线（一）凹凸性1、凹凸性定义设在内连续，若对任意的，都有 ，则称在内为凸函数，反之称为凹函数。2、凹凸判别法定理 （1）若在有，则在内凹函数；（2）若在有，则在内凸函数。证明：（1）设在内有，对任意的，且，令，因为，所以，其中“”成立当且仅当，于是，两式分别乘以，相加得，即，根据定义，在内凹函数，同理可证当在有

19、，则在内凸函数。（二）拐点若的二阶导数在的两侧异号，则称为曲线的拐点。（三）渐近线1若，则称为的铅直渐近线；2若，则称为的水平渐近线；3若，则称为的斜渐近线。极值与凹凸性部分例题一、选择题1、设为二阶连续可导的偶函数，且，则 （ ）是的极小值 是的极大值是的拐点不是的极值，也不是的拐点2、设连续可导，且，则 （ ）是的极小值 是的极大值是的拐点不是的极值，也不是的拐点3、设在上可导，且，则在的零点个数为 （ ）0个 1个 2个 无法确定4、曲线的渐近线的条数为 （ ）1条 2条 3条 4条二、填空题1、设在上最大值为3，最小值为，则。2、设在处去极小值，则。3、曲线的斜渐近线为。4、曲线的斜渐

20、近线为。5、曲线在处的曲率半径为。三、解答题与证明题1、设，在内可导，且。证明：（1）存在，使得。（2）对任意实数，存在，使得。2、设，在内可导，且，证明：存在，使得 。3、设在上有二阶连续的导数，证明：存在，使得 。4、设，在内可导，且不为常数，证明：存在，使得。5、设，在内二阶可导，且，证明：存在，使得。6、证明不等式。7、证明：当时，有。8、设，其中为常数，问至少取多少时，？9、设满足，且在处连续，证明：（1）若在处有极值，则该极值一定是极小值；（2）若在处有极值，该极值是极大还是极小值？10、证明方程在内有且仅有两个根。第三讲 一元函数积分学第一部分 不定积分部分一、基本概念1、原函数

21、设为两个函数，若，则称为的原函数。2、不定积分设为一个存在原函数的函数，则的所有原函数称为的不定积分，记为，设为的一个原函数，则。注解：（1）连续函数一定存在原函数，反之不对；（2）存在第一类间断点的函数不存在原函数，但有第二类间断的函数可能存在原函数，如，显然为函数的第二类间断点，但确为的一个原函数。（3），。二、不定积分的基本性质1、；2、。三、不定积分基本公式1、；2、（1）； （2）；3、，特别地；4、（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）； （9）； （10）；5、（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）；6、。四、积分法（一）换

22、元积分法1、第一类换元积分法思路：。例题：1计算下列不定积分：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）。2计算下列不定积分：（1）； （2）； （3）；（4）； （5）。2、第二类换元积分法思路：。例题：计算下列不定积分：（1）； （2）； （3）。（二）分部积分法公式：；常用类型：1被积函数为幂函数与指数函数之积：2被积函数为幂函数与对数函数之积：3被积函数为幂函数与三角函数之积：4被积函数为幂函数与反三角函数之积：5被积函数为指数函数与三角函数之积：6被积函数为及的奇次方：五、特殊函数的不定积分（一）有理函数的不定积分：1有理函数：形如，其中为多项式，其中若，称为真分式；若，

23、称为假分式。若为假分式，则，其中为多项式，为真分式；若为真分式，则可将分解为部分和的形式。2例题：计算不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）。（二）三角有理函数的不定积分第二部分 定积分理论一、定积分的定义定积分设为上的有界函数，若存在，称在上可积，极限称为在上的定积分，记，即。注解：（1）极限与区间的划分及的取法无关；（2），反之不对；如在区间上的定义如下：，若皆取每个小区间的有理数，则，若皆取每个小区间的无理数，则，则极限不存在，即在上不可积。（3）连续函数一定可积。（4）若一个函数在闭区间上只有有限个第一类间断点，则该函数在区间上可积。（5）若一个函数可积，在可以取等份的方法进行计

24、算，即，该方法在数列极限中有应用。（6）设函数为连续的奇函数，则一定为偶函数，若为连续的偶函数，则不一定是奇函数，当一定为奇函数。二、定积分的基本性质1；2；3；4；5设，则；推论1 设，则；推论2 。6设在上连续，且，则。7（积分中值定理）设，则存在，使得。8（1）设，且，则。（2）设，且不恒为零，则。（3）设，且不恒等，则。9（柯西不等式）设，则 。三、一元函数积分学基本定理定理1 设，令，则为的一个原函数，即。注解：（1）连续函数一定存在原函数；（2）；（3）。巩固例题例1 设连续，且，求。例2 设为连续函数，且，求。定理2 （牛顿莱布尼兹公式）设，且为的一个原函数，则。四、定积分的积分

25、法1换元积分法设，令，其中可导，且，其中，则。2分部积分法设在上连续可导，则。五、定积分的特殊性质1对称区间上定积分性质（1）设，则。（2）设，且，则。（3）设，且，则。2周期函数定积分性质设以为周期，则（1），其中为任意常数。（2）。3特殊区间上三角函数定积分性质（1）设，则，特别地，且。（2）。（3）。（4）设，则。性质巩固例题例1计算。例2 计算。例3 计算。六、广义积分1区间有限的广义积分：（1）若对任意的，存在，称广义积分收敛，否则称为发散。例1 判断的收敛性，若收敛求其值。例2 判断的敛散性。（2）若对任意的，存在，称广义积分收敛，否则称为发散。例 判断的敛散性。（3）若广义积分与

26、都收敛，称收敛，若两个广义积分中至少有一个发散，称广义积分发散。2区间无限的广义积分（1）若存在，称收敛，否则称为发散。例 计算。（2）若存在，称收敛，否则称为发散。（3）若与都收敛，称收敛，否则称为发散。例题部分（一）选择题1、设，则当时，是的 （ ）高阶无穷小 低阶无穷小 同阶非等价无穷小 等价无穷小2、设，则等于 （ ） 3、设在上，令，则有 （ ） 4、设，则 （ ）为正常数 为负常数 恒为零 不为常数5、设连续，则等于 （ ） （二）填空题1、。2、。3、。4、。5、。6、7、。8、。9、设，则。（三）解答与证明题1、计算下列定积分：（1）。 （2）。 （3）。（4）。（5）。 （6

27、）。（7）计算，其中。（8）。 （9）。2、设，求的最大和最小值。3、证明下列等式：（1）设连续，证明：。（2）设连续，证明：。（3）设是以为周期的连续函数，证明：。（4）设是连续函数，证明：。（5）设，证明：。（6）设且，证明：存在，使得 。（7）设，且，证明：存在，使得。（8）设，1）写出的带拉格郎日余项的一阶马克劳林公式；2）证明：存在，使得。4、证明下列不等式：（1）设，对任意的，有，证明：。（2）设在上连续且单调减少，证明：。（3）设，1）证明：当为正整数，且时，有；2）求极限。（思考题：设，求）（4）设且单调减少，证明：当时，有。（5）设在上可导，且，证明： 。（6）设，且，证明：

28、 （7）设，证明：对任意，有 。（8）设在区间上有，证明：。（9）设，证明：。第三部分 定积分的应用一、几何应用（一）面积1设，则。2设，则。3旋转曲面的表面积：设，则，于是 。（二）体积1曲线绕轴旋转所得旋转体的体积：设，则。2曲线绕轴旋转所得旋转体的体积： 。3截口面积已知的几何体的体积：设一几何体介于与之间，对任意的，截口面积为，则该几何体的体积为 。（三）弧长1设，则，从而 。2设，则，从而 。例题部分1、求由所围成的区域在外部的面积。2、求曲线与轴所围成图形的面积。3、求曲线及所围成的图形绕一周所成旋转体的体积。4、设是区间上任一非负连续函数。（1）证明：存在，使得在区间上以为高的矩形面积等于在区间上以为曲边的曲边梯形的面积。（2）设在内可导，且，证明（1）中的是唯一的。5、过上某点作切线，使该曲线、切线和轴所围成的图形面积为，求切点坐标、切线方程及所围成的图形绕轴一周所成旋转体的体积。6、设过坐标原点，当时，又该曲线与轴及所围成的图形面积为，求，使次图绕轴一周所成旋转体的体积最小。7、求摆线的弧长。8、半径为的半球形水池盛满水，求水池抽干所做的功。淘宝旗舰店