2.3.4抛物线的简单几何性质1

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1、方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度 y2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）lFyxOlFyxOlFyxOx0 yRx0 yRxR y0y0 xRlFyxO12pxx12()pxx12pyy12()pyy02px02px02py02py关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0）（0,0）xyOFABBA224,(1)4,yxxx代代入入方方程程得得.0162xx化简得8262121xxABxx。的长是所以，线段8AB例2 斜率为1的直线L经过抛物线 的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.y

2、2=4x解:由已知得抛物线的焦点为F(1,0),所以直线AB的方程为y=x-1 练习练习.点点M与点与点F(4,0)的距离比它到直线的距离比它到直线l:x+5=0的距离小的距离小1,求点求点M的轨迹方程的轨迹方程.xyoF(4,0)Mx+5=0 解解:由已知条件可知由已知条件可知,点点MM与点与点F F的距离等于它到直线的距离等于它到直线x+4=0 x+4=0的距离的距离,根据抛物线的根据抛物线的定义定义,点点MM的轨迹是以点的轨迹是以点F(4,0)F(4,0)为焦点的抛物线为焦点的抛物线.p/2=4,p/2=4,p=8.p=8.又因为焦点在轴的正半轴又因为焦点在轴的正半轴,所以点所以点MM的

3、轨迹方程为的轨迹方程为 y y2 2=16x.=16x.这时，直线这时，直线 与抛物线只有一个公共点与抛物线只有一个公共点.l 于是，当于是，当 且且 时，方程（时，方程（）有）有2个解，从而，方程组（个解，从而，方程组（）有两个解，这时，直线）有两个解，这时，直线 与抛物线有与抛物线有2个公共点个公共点.11,2k 0k由由 即即,02210,kk 解得.211kl由由 即即,0,0122kk由由 即即,0解得.211kk或 于是，当 时，方程没有实数解，从而方程组（）没有解，这时，直线 与抛物线没有公共点.211kk，或l综上可得：当 时，直线 与抛物线只有一个公共点;0,21,1kkk或

4、或l 当 时，直线 与抛物线有两个公共点;11002kk 或或l你能通过作图你能通过作图验证这些结论验证这些结论吗？吗？当 时，直线 与抛物线没有公共点.21,1kk或l判断直线与抛物线位置关系的操作程序：判断直线与抛物线位置关系的操作程序：把直线方程代入抛物线方程把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与抛物线的直线与抛物线的对称轴平行对称轴平行相交（一个交点）相交（一个交点）计计 算算 判判 别别 式式0=00相交相交相切相切相离相离总结：总结：1)过抛物线过抛物线 的焦点的焦点,作倾斜角为作倾斜角为 的直线的直线,则被抛物线截得的弦长为则被抛物线截得的弦长为 ;28yx45 2)设设 是坐标原点，是坐标原点，是抛物线是抛物线 的焦点，的焦点，是抛物线上的一点，是抛物线上的一点，与与 轴正向的夹角为轴正向的夹角为 则则 为为 ;oFpxy220pAFAx6 0OA 3）抛物线）抛物线 上的点到直线上的点到直线的距离的最小值是（的距离的最小值是（）2xy0834 yx34.A57.B58.C3.D162 12pA作 业：课本课本 P64：A组组 6