椭圆及其标准方程

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1、椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程学习目标：学习目标：1。理解椭圆的定义及焦点，焦距的概念；2。能够正确推导椭圆的标准方程。情感目标情感目标：1。培养自己运动变化的观点，训练自己的动手能力；2。通过小组合作，培养协作，友爱的精神。学习重点：学习重点：1。椭圆的定义 2。椭圆的标准方程学习难点：学习难点：椭圆标准方程的推导问题：2003年10月15日，中国“神州5号”飞船试验成功，实现了 中国人的千年飞天梦。请问：“神州5号”飞船绕着什么飞 行？运行的轨迹是什么？你能列举几个生活你能列举几个生活中见过的椭圆形状中见过的椭圆形状的物品吗？的物品吗？椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程1。画椭圆。画椭圆取

2、一条一定长的细绳，把它的两端固定在画板的取一条一定长的细绳，把它的两端固定在画板的F1和和F2两点，两点，当绳长大于当绳长大于F1和和F2的距离时的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆。从上面画图的过程中，我们可以看出：不论动点从上面画图的过程中，我们可以看出：不论动点M运动到什么地方，运动到什么地方，它到两个定点它到两个定点F1和和F2的距离的和，总是等于一个定长（绳长）。的距离的和，总是等于一个定长（绳长）。即即|MF1|+|MF2|=定长（绳长）定长（绳长）由此，由此，椭圆就是与定点椭圆就

3、是与定点F1，F2的距离的和等于定长（即这条绳长）的的距离的和等于定长（即这条绳长）的 点的集合点的集合 F1 F2 M2。椭圆的定义。椭圆的定义平面内与两个定点平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的距离的和等于常数2a（2a|F1F2|)的点的点的轨迹叫做的轨迹叫做椭圆椭圆.这两个定点叫做这两个定点叫做椭圆的焦点椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做两个焦点的距离叫做焦距焦距2c.为什么为什么2a必须要大必须要大于于|F1F2|?特别注意特别注意:当当2a|F1F2|时时,轨迹是椭圆轨迹是椭圆;当当2a=|F1F2|时时,轨迹是线段轨迹是线段F1F2;当当2a2c,即即ac，所以，所以 0

4、22ac令令 ，其中，其中b0 ,代入上式，得代入上式，得 ：222acb 222222b xa ya b两边同除以两边同除以22a b得得 222221(0,)22xyabcabab 令令 不仅不仅可以使方程变得简单可以使方程变得简单整齐，同时在下一节整齐，同时在下一节讨论椭圆的几何性质讨论椭圆的几何性质时，它还有明确的几时，它还有明确的几何意义何意义222abc222242422ycxycxaaycx（4）椭圆的标准方程）椭圆的标准方程222221(0,)22xyabcabab这个方程叫做椭圆的标准方程。它表示的这个方程叫做椭圆的标准方程。它表示的椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上轴上，焦点是

5、，焦点是F1（-C，0），），F2（C，0），），在这里在这里如果我们选定方案二，我们又将得到什么样的结果呢？如果我们选定方案二，我们又将得到什么样的结果呢？这时，点这时，点F1，F2在在Y轴上，点轴上，点F1，F2的坐标分别为的坐标分别为F1（0，-C）F2（0，C），如图，），如图，a,b 的意义同上，那么所得的方程变为的意义同上，那么所得的方程变为222221(0,)22yxabcabab 这个方程也是椭圆的标准方程，它表示的这个方程也是椭圆的标准方程，它表示的椭圆的焦点在椭圆的焦点在Y轴上轴上，焦点，焦点是是F1（0。-C），），F2（0，C）。）。同样，同样，判断：判断：与与 的焦点

6、位置？的焦点位置？222cab222cab2211 69xy22191 6xy思考：如何由椭圆的标准方程来判断它的焦点是在思考：如何由椭圆的标准方程来判断它的焦点是在X轴上还是轴上还是Y轴上？轴上？结论：结论：看标准方程中看标准方程中 的分母的大小，哪个的分母大就在哪一条的分母的大小，哪个的分母大就在哪一条 轴上。轴上。22,xy（5）例题讲解）例题讲解例例1 判断下列椭圆的焦点的位置，并指出焦点的坐标。判断下列椭圆的焦点的位置，并指出焦点的坐标。（1）（2）（3）22194xy222516400 xy221(0)xymnmn x轴上；y轴上；X轴上；5,00,3,0m n例例2 求适合下列条

7、件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程:（1）两个焦点的坐标分别是（）两个焦点的坐标分别是（-4，0），（），（4，0），椭圆上一点），椭圆上一点P到到 两焦两焦 点的距离的和等于点的距离的和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是（）两个焦点的坐标分别是（0，-2），（），（0，2），并且椭圆经过点），并且椭圆经过点 35,22解：（解：（1）因为椭圆的焦点在）因为椭圆的焦点在X轴上，所以设它的标准方程为轴上，所以设它的标准方程为221(0)22xyabab因为因为 2a=10,2c=8，所以所以a=5,c=4,故所求的椭圆的标准方程为故所求的椭圆的标准方程为2212 59xy（2）因

8、为椭圆的焦点在）因为椭圆的焦点在Y轴上，所以设它的方程为轴上，所以设它的方程为221(0)22yxabab22222549bac由椭圆的定义知：由椭圆的定义知：222235352222 102222a 所以所以 又又c=2,所以所以 1 0a 22210 4 6bac 故所求的椭圆的标准方程为故所求的椭圆的标准方程为 2211 06yx（6）课堂小结）课堂小结1。椭圆的定义及焦点，焦距的概念；。椭圆的定义及焦点，焦距的概念；2。椭圆。椭圆 的标准方程：的标准方程：（1）当焦点在）当焦点在X轴上时，轴上时，（2）当焦点在）当焦点在Y轴上时，轴上时，3。椭圆标准方程中的。椭圆标准方程中的a,b ,c 的关系：的关系：4。如何有椭圆的标准方程判断焦点的位置：。如何有椭圆的标准方程判断焦点的位置：看标准方程中看标准方程中 的分母的大小，哪个的分母大就在哪一条轴上。的分母的大小，哪个的分母大就在哪一条轴上。5。求给定条件下的椭圆的方程，关键是先看焦点的位置。求给定条件下的椭圆的方程，关键是先看焦点的位置,然后确定标准方程的类型，最后求出然后确定标准方程的类型，最后求出 a ,b .221(0)22xya bab 221(0)22yxabab 222bac22,xy(7)课后作业课后作业 课本课本P96 习题习题8。1：T1，T2。预习课本预习课本P94-95的例的例2，例，例3。