圆锥曲线常见综合题型(整理)

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1、学生姓名年级授课时间一教师姓名课时21课题圆锥曲线综合复习教学目标1 .求轨迹方程2 .直线与椭圆的位置关系3 .弦长问题4 .中点弦问题5 .焦点三角形(定义和余弦定理或勾股定理)6 .最值问题【知识点梳理】一、直线与圆锥曲线的位置关系fAxBy+C=O设直线：Ax+By+C=0,圆锥曲线2：f(x,y)=0,由Rx,y)=0消去y(或消去x)得：ax2+bx+c=O,=b2-4ac,a0.(l)0相交；(2)ZV0相离；(3)=0Q相切.注意：直线与椭圆、抛物线联立后得到的方程一定是一元二次方程(二次项系数a不为0),但直线与双曲线联立后得到的不一定是一元二次方程，因此需分类讨论。即：1.

2、一次方程，只有一个解，说明直线与双曲线相交，只有一个交点，此时直线与渐进性平行；rAVO,无解,没有交点,A=O,有一个交点(相切)A。,有两个交点(相交)2.二次方程，因此在做题过程中，若直线与双曲线没有交点：一0且A0此外，在设直线方程时，要注意直线解率不存在的情况。二、直线与圆锥曲线相交的弦长公式设直线Ly=kx+n,圆锥曲线：F(XM=0,它们的交点为P(x,y),P(,y)1(x.y)=0y=kx-i-n且由I,消去yax+bx+c=O(a0),=b-4ac0o则弦长公式为：AB=tl+k2x2-1=V1+2V(xi+x2)2-4xx2三、用点差法处理弦中点问题设直线与圆锥曲线的交点

3、（弦的端点）坐标为区，1）、将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。【典型例题】题型一直线与圆锥曲线的交点问题例1为何值时，直线P=h+2和曲线2/+3./=6有两个公共点有一个公共点没有公共点例2.已知直线y=kx+2与双曲线*2-丁2=6的右支交于不同的两点，求k的取值范围。亡_=1变式1：过点POl）的直线与双曲线45有且只有一个公共点，求直线的斜率的取值范围。变式2:已知曲线C：，=0-*2-2*与直线|：+y-m=O有两个交点，则m的取值范围是题型二直线与圆锥曲线的弦长问题（注意A0

4、的条件）N.0.例3.已知椭圆：9,过左焦点F作倾斜角为6的直线交椭圆于A、B两点，求弦AB的长。例4.直线I在双曲线32上截得弦长为4,其斜率为2,求直线I在y轴上的截距m._4-i（fl0）更变式I：椭圆腔b的离心率为2,椭圆与直线+2y+8=相交于点p，Q,且IPQl二也万求椭圆的方程if22前+”）1：三一T二I变式2：已知椭圆*,直线a力被椭圆C截得的弦长为247,且3,过椭圆C的右焦点且斜率为旧的直线12被椭圆C截的弦长AB1求椭圆的方程；弦AB的长度.题型三运用点差法处理中点弦问题例5.过椭圆164J内点M（2,1）引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所在直线的方程。例6.直线y=

5、x-l被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是2y变式1：过点P(-1,1)作直线与椭圆4+2=1交于48两点，若线段A8的中点恰为P点，求AB所在直线的方程和线段AB的长度.+y=1(。，人0)变式：椭圆b的两个焦点F、F,点P在椭圆C,且PF_LPF,IPF=4143,|PF=3.求椭圆C的方程；(II)若直线L过圆x+y+4x-2y=0的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称,求直线L的方程。例7.中心在原点O的椭圆m2+l2=l与直线+yj=。交于p、Q两点，M为PQK至OJK-n中点，且/,题型四直线与圆锥曲线有关的最值问题例8若点P在椭圆Baiar文库7x2+4y2=28j-

6、则点P到直线3x-2y16=0的距离的最大值为一变式：点P在抛物线y=2上，求p到直线x.y.2=0的最短距离。12例9.已知P是抛物线4上的动点，F为抛物线的焦点，定点A(12,6),求PA+PF的最小值，并求此时P点的坐标。X294+y2=例10.若直线y=x+m和椭圆4相交于A、B两点，当m变化时，AB的最大值为()5ii与+V=A.2B.5C.5Do3例11.已知椭圆C:J,直线/与椭圆C交于48两点，坐标原点。到直线/的距离为2,求aAO8面积的最大值.变式1：过椭圆的焦点的直线交椭圆A,B两点，求面积的最大值变式2.已知动点尸到定点,（2，）的距离与点到定直线/：=2&的距离之比为

7、2T.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）设A/、N是直线/上的两个点，点与点”关于原点O对称，若EM-FN=Q1求IMVl的最小值.题型五有关轨迹问题”X2-r-=I例12.求过定点（U，IJ的直线被双曲线4截得的弦中点轨迹方程。V22+=1变式I：已知椭圆7525,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。x2+yi=1变式2：椭圆方程为4,过点Af（口，1）的直线1交椭圆于点4,B,O是坐标1pOP=-（OA+OB）lMP原点，点P满足2、，当1绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.评析：本题主要考查椭圆的方程和性质等基础知识及轨迹的求法与应用和综合解题能力.利用点差法是求解的关键.题型六：焦点三角

8、形例13双曲线目一片二1的焦点为Fl和F2,且P是双曲线上一点,若，F1PF2=90,求A，BC的面积。变式1：M为椭圆jr2u2定+G=l（a0,力0）上一点,礼和F2为椭圆的两个焦点,%MF2=屋b求AFlMF2的面积（用。，力、。表示）正上二1变式2：已知双曲线916的两个焦点为F1，尸2,点p在双曲线上，当PFlIPF2时，求点P到X轴的距离。【方法与技巧总结】1 .加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习由于直线与圆锥曲线的位置关系一直为高考的热点。这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想来设而不求法与弦长公式及韦达定

9、理联系去解决。这样就加强了对数学各种能力的考查；2 .关于直线与圆锥曲线相交弦则结合韦达定理采用设而不求法。利用引入一个参数表示动点的坐标x、y,间接把它们联系起来，减少变量、未知量采用参数法。有些题目还常用它们与平面几何的关系，利用平面几何知识会化难为易，化繁为简，收到意想不到的解题效果；3 .直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法；4 .当直线与圆锥曲线相交时啮及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式)；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在

10、直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化。同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍；【巩固练习】2V2XL不1.43为过椭圆+=1中心的弦，尸(GO)为它的焦点，则的最大面积为().ZrB.atC.ad),beX212I22.已知椭圆。的方程为16+m-=i5o),如果直线y=2X与椭圆的一个交点材在X轴上的射影恰好是椭圆的右焦点E则力的值为()A.2B.2&C.8D.2曲3,斜率为1的直线/与椭圆4+/=1相交于6两点，贝J47的最大值为()A.24 .直线y=x+m与椭圆4x+y2=l恒有公共点，则/的取值范围是.r2Trx5 .倾斜角为4的宜线交椭圆

11、4+4=1于46两点，则线段4?的中点必的轨迹方程是.6 .已知椭圆的中心在坐标原点。，焦点在坐标轴上，直线y=x+l与该椭圆交于尸和10Q,且如LoaI&I=2,求椭圆方程.Jt22+=17 .点A、B分别是椭圆3620长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于*轴上方，PALPF(I)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于IMBL求椭圆上的点到点M的距离d的最小值。8 .已知在平面直角坐标系XS中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(一石，),右顶点为0(2,0),设点I2)(1)求该椭圆的标准方程；(2)若尸是椭圆上的动点，求线段P4中点M的轨迹方程；(3)过原点0的直线交椭圆于点法C,求&4BC面积的最大值。【拓展训练】1 .已知椭圆的焦点为(-4,0)、4(4,0).过点K并垂直于X轴的直线与椭圆的一个交点为B,且16|十I&?|=10,椭圆上不同的两点4(刘，川、以物满足条件：I入|、山6|、I成等差数列.(1)求该椭圆的方程；(2)求弦力。中点的横坐标.2 .已知椭圆的长轴的一个端点是抛物线/=4r(5)X的焦点，离心率是3.(1)求椭圆E的方程；(2)过点。(-1,0)的动直线与椭圆相交于48两点.若线段47的中点的横坐标是1-2,求直线力少的方程.