勾股定理及逆定理证明

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1、勾股定理与它的勾股定理与它的逆定理的证明逆定理的证明 开发区中学 王京春 2009、4驶向胜利的彼岸勾股定理如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为，斜边为c，那么那么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方.勾股定理在西方文献中又称为勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（毕达哥拉斯定理（pythagoras theorem）.开启 智慧acb勾勾弦弦股股驶向胜利的彼岸勾股定理的证明勾股定理的证明 我能行我能行l方法一方法一:拼图计算拼图计算l方法二：方法二：割补法割补法l方法三：方法三：赵爽的弦图

2、赵爽的弦图l方法四：方法四：总统证法总统证法l方法五：方法五：青朱出入图青朱出入图l方法六：方法六：折纸法折纸法l方法七：方法七：拼图计算拼图计算这些证法你还能记得多少这些证法你还能记得多少?你最喜欢哪种证法你最喜欢哪种证法?总统证法总统证法 回顾反思回顾反思这个证明方法出自一位总统这个证明方法出自一位总统,1881年，伽菲尔德年，伽菲尔德(J.A.Garfield)就任美国第二十任总统就任美国第二十任总统,在在 1876,利用了梯形面积公式。利用了梯形面积公式。图中三个三角形面积的和是图中三个三角形面积的和是梯形面积为梯形面积为(a+b)(a+b)/2;比较可得比较可得:c2=a2+b2。a

3、babcc2 2c c2 2a ab b2 22 2驶向胜利的彼岸勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 我能行我能行l如果三角形两边的平方和等于第三边如果三角形两边的平方和等于第三边 平方平方,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形.l已知已知:如图如图(1),(1),在在ABCABC中中,AC,AC2 2+BC+BC2 2=AB=AB2 2.l求证求证:ABCABC是直角三角形是直角三角形.acbABC(1)逆定理的证明逆定理的证明 我能行我能行证明证明:作作Rt Rt ABCABC使使 CC90900 0，ACACACAC BC BCBC(BC(如图如图),),则则acbABC(

4、1)acbBAC(2)ACAC2 2BCBC2 2ABAB2 2 (勾股定理勾股定理)ACAC2 2BCBC2 2ABAB2 2(已知已知),),AC ACAC,AC,BC BCBC(BC(已作已作)ABC ABC ABC(SSS)ABC(SSS)C=C C=C 90900 0 (全等三角形的对应角相等全等三角形的对应角相等)ABCABC是直角三角形是直角三角形 (直角三角形定义直角三角形定义).).AB AB2 2ABAB2 2(等式性质等式性质)AB ABAB(AB(等式性质等式性质)acbABC(1)acbBAC(2)几何的几何的三种语言三种语言 回顾反思回顾反思w勾股定理的逆定理勾股定

5、理的逆定理l如果三角形两边的平方和等于第三边平方如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形这是判定直角三角形的根据之一l在在ABCABC中中ACAC2 2BCBC2 2ABAB2 2(已知已知),),ABCABC是直角三角形是直角三角形(如果三角形两边的如果三角形两边的 平方和等于第三边平方平方和等于第三边平方,那么这个三角形那么这个三角形 是直角三角形是直角三角形).).acbABC(1)驶向胜利的彼岸命题与逆命题命题与逆命题1、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的、直角三角形两直角边的平方和等于斜边的 平方平方2、如果三角形两边的平方和等于第

6、三边平方如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形w观察上面两个命题观察上面两个命题,它们的条件与结论之间它们的条件与结论之间 有怎样的关系有怎样的关系?与同伴交流与同伴交流.开启 智慧w再观察下面三组命题再观察下面三组命题:w如果两个角是对顶角如果两个角是对顶角,那么它们相等那么它们相等w如果两个角相等如果两个角相等,那么它们是对顶角那么它们是对顶角w如果小明患了肺炎如果小明患了肺炎,那么他一定会发烧那么他一定会发烧w如果小明发烧如果小明发烧,那么他一定患了肺炎那么他一定患了肺炎w三角形中相等的边所对的角相等三角形中相等的边所对的角相等w三角形

7、中相等的角所对的边相等三角形中相等的角所对的边相等.w上面每组中两个命题的条件和结论之间也有上面每组中两个命题的条件和结论之间也有 类似的关系吗类似的关系吗?与同伴进行交流与同伴进行交流.驶向胜利的彼岸命题与逆命题命题与逆命题w在两个命题中在两个命题中,如果一个命题的如果一个命题的条件条件和和结论结论分分别是另一个命题的别是另一个命题的结论结论和和条件条件,那么这两个命题那么这两个命题称为称为互逆命题互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的其中一个命题称为另一个命题的逆命题逆命题.开启 智慧你能写出命题你能写出命题“如果两个有理数相等如果两个有理数相等,那么它那么它们的平方相等们的平方相等”的逆

8、命题吗的逆命题吗?w它们都是真命题吗它们都是真命题吗?驶向胜利的彼岸定理与逆定理定理与逆定理w一个一个命题命题是真命题是真命题,它逆命题却它逆命题却不一定不一定是真命题是真命题开启 智慧w如果一个如果一个定理定理的逆命题经过证明是真命题的逆命题经过证明是真命题,那么它那么它 是一个是一个定理定理,这两个定理称为这两个定理称为互逆定理互逆定理,其中一个其中一个 定理称另一个定理的定理称另一个定理的逆定理逆定理.想一想想一想w互逆命题与互逆定理有何关系互逆命题与互逆定理有何关系?w我们已经学习了一些互逆的定理我们已经学习了一些互逆的定理,如如:w勾股定理及其逆定理勾股定理及其逆定理w两直线平行两直

9、线平行,内错角相等内错角相等;内错角相等内错角相等,两直线平行两直线平行.蓄势待发蓄势待发 隋堂练习隋堂练习驶向胜利的彼岸说出下列合理的逆命题说出下列合理的逆命题,并判断每对并判断每对命题的真假命题的真假:w四边形是多边形四边形是多边形;w两直线平行两直线平行,同旁内角互补同旁内角互补;w如果如果ab=0,那么那么a=0,b=0.w请你举出一些命题请你举出一些命题,然后写出它的逆命题然后写出它的逆命题,并判断这些逆命题的真假并判断这些逆命题的真假.学无止境学无止境 读一读读一读w勾股定理是数学上有证明方法最多的定理勾股定理是数学上有证明方法最多的定理 有四百多种说明！有四百多种说明！l古今中外

10、有许多人探索勾股定理的证明方法，古今中外有许多人探索勾股定理的证明方法，不但有数学家，还有物理学家，甚至画家、政不但有数学家，还有物理学家，甚至画家、政 治家。如赵爽（中）、梅文鼎（中）、欧几里治家。如赵爽（中）、梅文鼎（中）、欧几里 德（希腊）、辛卜松（英）、加菲尔德（美第德（希腊）、辛卜松（英）、加菲尔德（美第 二十届总统）等等。其证明方法达数百种之二十届总统）等等。其证明方法达数百种之 多，这在数学史上是十分罕见的多，这在数学史上是十分罕见的.P18P18读一读读一读：勾股定理的证明勾股定理的证明.学无止境学无止境 读一读读一读历时几千年的两个定理，牵动着世界上不知多少代历时几千年的两个

11、定理，牵动着世界上不知多少代亿万人们的心，前人以坚韧的毅力，开拓创新的精亿万人们的心，前人以坚韧的毅力，开拓创新的精神谱写了科学知识宝库中探宝的光辉篇章，还有许神谱写了科学知识宝库中探宝的光辉篇章，还有许多宝藏等待后人开采。自然无限，创造永恒。同学多宝藏等待后人开采。自然无限，创造永恒。同学们要努力学习，提高自身素质，不辜负时代重托，们要努力学习，提高自身素质，不辜负时代重托，将来为人类作出更大贡献。将来为人类作出更大贡献。驶向胜利的彼岸P18P18读一读读一读：勾股定理的证明勾股定理的证明.梦想成真 试一试试一试P141.如图如图(单位：英尺单位：英尺),在一个长方体的房间里在一个长方体的房

12、间里,一只蜘蛛一只蜘蛛 在一面墙的正中间离天花板在一面墙的正中间离天花板1英尺的英尺的A处处,苍蝇则在对苍蝇则在对 面墙的正中间离地板面墙的正中间离地板1英尺的英尺的B处处.试问试问:蜘蛛为了捕获苍蝇蜘蛛为了捕获苍蝇,需要爬行的最短距离是多少需要爬行的最短距离是多少?AB 301212回味无穷n勾股定理勾股定理:w如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为，斜边为c，那，那么么a2+b2=c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方的平方.勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理（pyt

13、hagoras theorem）.n勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理:l如果三角形两边的平方和等于第三边平方如果三角形两边的平方和等于第三边平方,那么这个那么这个三角形是直角三角形三角形是直角三角形.小结 拓展回味无穷小结 拓展命题与逆命题命题与逆命题 在两个命题中在两个命题中,如果一个命题的如果一个命题的条件条件和和结论结论分别是另分别是另 一个命题的一个命题的结论结论和和条件条件,那么这两个命题称为那么这两个命题称为互逆命题互逆命题,其中一个命题称为另一个命题的其中一个命题称为另一个命题的逆命题逆命题.定理与逆定理定理与逆定理 如果一个如果一个定理定理的逆命题经过证明是真命题的逆命题经过证

14、明是真命题,那么它是一那么它是一 个个定理定理,这两个定理称为这两个定理称为互逆定理互逆定理,其中一个定理称另一其中一个定理称另一 个定理的个定理的逆定理逆定理.知识的升华独立独立作业作业P9习题1.4 1,2,3题.祝你成功！习题1.4 独立作业独立作业w1.如图，在ABC中，AB=13cm,BC=10cm,BC边上的中线AD=12cm.求证:AB=AC.证明证明:BD=CD,BC=10cm(:BD=CD,BC=10cm(已知已知)BD=5cm(BD=5cm(等式性质等式性质).).在在ABDABD中中,AD,AD2 2+BD+BD2 2=12=122 2+5+52 2144+25=169,

15、144+25=169,AB AB2 2=13=132 2=169=169 AD AD2 2+BD+BD2 2=AB=AB2 2 ABCABC是直角三角形是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第如果三角形两边的平方和等于第 三边平方三边平方,那么这个三角形是直角三角形那么这个三角形是直角三角形).).在在RtRtADCADC中中 ACAC2 2=DC=DC2 2+AD+AD2 2=12=122 2+5+52 2144+25=169144+25=169 AC AC2 2=AB=AB2 2 AB=AC(AB=AC(等式性质等式性质).).DBCAw2.2.房梁的一部分如图所示房梁的一部分如图所示,

16、其中其中BCAC,A=30BCAC,A=300 0,AB=10m,CB,AB=10m,CB1 1AB,BAB,B1 1C C1 1AC,AC,垂足为垂足为B B1 1,C,C1 1,那么那么BCBC的长是多少？的长是多少？B B1 1C C1 1呢？呢？解解:BCAC,A=30BCAC,A=300 0,AB=10m(,AB=10m(已知已知)BC=AB/2=10 BC=AB/2=102 25(5(在直角三角形中在直角三角形中,如果有一个锐角如果有一个锐角 等于等于30300 0,那么它所对的直角边等于斜边的一半那么它所对的直角边等于斜边的一半)又又CBCB1 1AB,BCBAB,BCB1 1=

17、90=900 0-60-600 0=30=300 0(直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互余),),BBBB1 1=BC/2=5=BC/2=52 22.5(2.5(在直角三角形中在直角三角形中,如果有一个锐角如果有一个锐角 等于等于30300 0,那么它所对的直角边等于斜边的一半那么它所对的直角边等于斜边的一半).).BCA300B1C1ABAB1 1=AB-BB=AB-BB1 1=10-2.5=7.5(=10-2.5=7.5(等式性质等式性质).).BB1 1C C1 1=AB=AB1 1/2=7.5/2=7.52 23.75(3.75(在直角三角形中在直角三角形中,如果有一如果有一 个锐

18、角等于个锐角等于30300 0,那么它所对的直角边等于斜边的一半那么它所对的直角边等于斜边的一半).).w3.3.如图如图,正四棱柱的底面边长为正四棱柱的底面边长为5cm,5cm,侧侧棱长为棱长为8cm,8cm,一只蚂蚁欲从正四棱柱的底一只蚂蚁欲从正四棱柱的底面上的点面上的点A A沿棱柱侧面到点沿棱柱侧面到点C C1 1处吃食物处吃食物,那么它需要爬行的最短路径是多少？那么它需要爬行的最短路径是多少？解解:如下图如下图,将四棱柱的侧面将四棱柱的侧面 展开展开,连结连结ACAC1,1,AC=10cm,CCAC=10cm,CC1 1=8cm(=8cm(已知已知),),BCAB1C1D1A1DBAB1D1A1DC1C.勾勾股股定定理理4 41 12 21 16 64 48 81 10 0C CC CA AC CA AC C2 22 22 21 12 21 1结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.下课了!