二次量子化课件

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1、1二次量子化二次量子化2全同多粒子体系全同多粒子体系难以用通常的波函数处理难以用通常的波函数处理发展了发展了二次量子化方法二次量子化方法 引入引入粒子占有数表象粒子占有数表象用各单粒子态填充用各单粒子态填充的粒子数描述状态；的粒子数描述状态；交换对称性交换对称性自动满足自动满足 基本算符：粒子的基本算符：粒子的产生算符产生算符和和消灭算符消灭算符 任意态矢和力学量均可用它们表示任意态矢和力学量均可用它们表示 有系统的法则计算力学量的矩阵元有系统的法则计算力学量的矩阵元31全同粒子系的量子态描述全同粒子系的量子态描述4为什么要引入粒子数表象？为什么要引入粒子数表象？1.1.全同粒子的交换对称性全

2、同粒子的交换对称性何为全同粒子？何为全同粒子？2.2.全同性与量子化的概念全同性与量子化的概念区别于经典区别于经典5一、多粒子体系的哈密顿量一、多粒子体系的哈密顿量对哈密顿量的分析对哈密顿量的分析的交换算符。和为粒子其中显然不变，即有，交换两个电子，组成的体系：例，氦原子中两个电子21P,0,H/2/22/2/12122122212222121HPrrererempmphHii6二、全同粒子系的坐标表象二、全同粒子系的坐标表象子态粒子角色对调，同一量两个量子态有何不同？当两个粒子交换时，坐标粒子的分别为两个描述，该体系以波函数组成的体系，首先考虑两个全同粒子),(),(),(.全部,),(12

3、2112212121qqqqPqqqqqq7有两个本征值，即，且有，最多差一因子，描述的量子态完全一致与粒子的交换算符，则和表示第若个粒子的全同体系，一般性考虑，扩展至ijijijijijNijNjiijijNqqqqqqqqqqqqqP,1,11P,P,PP),(),(Pj iP),(N22222121218为守恒量对称。或为，对称，或为，反交换子的对于其中的任何两个粒以极大的限制。即要求数对称性给予系统的波函即，全同粒子系的交换，为全同粒子系的关系式反对称）对称）ijijijijHP0,P,(P;(P9Pauli原理)q()q()q()q(21)q()q()1(21),(bose.1),q

4、()q()q(h),q(h)q(hHHamilton12212112212121212121kkkkkkkkskkkPqq子）交换对称（量，考虑其体系，设两个全同粒子组成的10)q()q()q()q(21)q()q()q()q(21)q()q()1(21),(Fermi.221211122121122122121212121kkkkkkkkkkkkAPqq子）交换反对称性（以上式知，若以上式知，若k k1 1=k=k2 2,则则 即此种态不存在，即此种态不存在，PauliPauli原理。（不能有两个全同的原理。（不能有两个全同的FermiFermi子处于同一个子处于同一个但粒子态）但粒子态）1

5、 212(,)Ak kq q11成为反对称化算子。定义为奇置换或偶置换个粒子的某个置换，表示其中，子体系，个推广至,!1NP)q().q()q(!1).()q(.)q(.)q(.)q(!1).(FermiNN211.N1N111.21111PNPNqqNqqPPPkkkPPNkNkAkkkkNkNkANNN12111.11N!(.)(q).(q)!NNNisinnNkkPnqqPN同样地，推广到同样地，推广到N N个个BOSEBOSE子体系子体系 这样表示出的波函数比较繁琐，甚至说这样表示出的波函数比较繁琐，甚至说没必要。因为全同粒子本来无需编号，但是没必要。因为全同粒子本来无需编号，但是要写

6、出这样的波函数又不得不编号。要写出这样的波函数又不得不编号。其中，其中，P P表示只对处于不同状态的粒子进表示只对处于不同状态的粒子进行对换而构成的置换。行对换而构成的置换。132N个全同粒子体系的波函数个全同粒子体系的波函数粒子数表象粒子数表象14由上得知：Fermi子 Bose子112.112N1(.)(q)(q).(q)!NAkkNNPkkkPqqPN111.11N!(.)(q).(q)!NNNisinnNkkPnqqPN15Slater行列式行列式 全同粒子具有不可分辨性全同粒子具有不可分辨性全同多粒子体系的波函数必须满足全同多粒子体系的波函数必须满足交换对称性交换对称性 费米子费米子

7、交换反对称交换反对称泡利不相容原理泡利不相容原理 玻色子玻色子交换对称交换对称16坐标表象带来的繁琐坐标表象带来的繁琐表象）粒子数表象或表象，有子，脱离对于量子态也随之确定。为此，此全同粒子系的数交代清楚即可，只需单粒子态上的粒子即，无需进行编号，故引入粒子数表象，在坐标表象下的繁琐，子态，描述全同粒子系的量由上述表达式可以看出Fock(,.qBose21Nnnn17.1.11.1.1,1Pauli,Ferminnn脱离表象后，原理，结合子同样地，对于为在粒子数表象中进行各种计算，下面引入粒子产为在粒子数表象中进行各种计算，下面引入粒子产生算符和湮灭算符生算符和湮灭算符18Bose子体系121

8、1221212,1 ,01.()().0,(Bose!.,Bose.iiiiiijijnniiiiiia aa aa aaan naann nna anan nn引入单粒子 态的粒子湮灭与产生算符，满足，其归一化能量本征态为在 态上有 个子）同时，为粒子数算符的本征态，本征值为也为总粒子数算符的本征态，其对任一两个子的交换是对称的类似的有，121212.1.(1).(1).nn nnan nnnn nn19Fermi子体系的描述产生算符，分别表示各态上的粒子粒子，态最多只允许占据一个再考虑其，一个单粒子脱离表象后，原理，结合子同样地，对于aaaaaannn,0.1.11.1.1,1Pauli,

9、Fermi200,.0.(00,0.)(0.0.aaaaaPauliaaaaaaaaFermiaaaaaaaaaa相应的伴式，原理）特例，易关系，即为子的产生算符满足反对要求，考虑到，交换反对称性21)(0,(0.)(0.)(.0.00001aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa空着）占据）利用以上关系，得一般性，湮灭算符的含义，由单粒子态的归一性，22对称与反对称对易与反对易子比较子）综上为恒等算符，即，有，关系式，及利用，的情况，和其次考虑，)(0,;1,(0,;,1,.)(.)(.,0BoseaaaaaaFermiaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaajijii

10、i2310i21.0.)1(.1.)1(.,01nFermi.1111nnnnnanaornn子，对若以粒子数形式表示，242.2.1 Bose子单体算符子单体算符 引入思路：由坐标表象下算符的矩阵元表示及平均值计算，推广至粒子数表象下。若两种情况下算符矩阵元和平均值一致，则说明粒子数表象可代替坐标表象。25)1(,)(,),),.P)q().q(!).(NBose)(,)(.1.N111.12121212121212121212111nnnnnnNannnnnnnnnnnnnnkkPNiiNnnsNafNafFFFFPNnqqqafNafFNN（，中各粒子所处地位相同的交换对称性，且考虑矩阵

11、元（计算的置换的粒子进行对换而构成表示只对处于不同状态其中，粒子波函数，子系的表象下全同首先，考虑之和）。个单粒子算符设，26与非对角元两种情况考虑：对角元（矩阵元故有，态的情况。相同或只差一个单粒子只需考虑体系的初末态的计算为单体算符，故矩阵元其次考虑为总矩阵元。以总数为任意挑选粒子，再乘)1(,(),.1),()(N)1(.212121212121nnnnnnnnnnnnfNFFFFaff271112_112(),(1)()(,)N-1(1)!.(1)!.!(1)!.(1)!.kkkkkkkNiikkkkfqfqfNn nnnNFNfNn nn其余个粒子在正交归一性的影响下，贡献数对元为，

12、角28.(1).(1).(1).(1).12(,)(,(1),(1)!.!.(1)!.!.(1)!.(1)!ikikikiknnnnnnnnikikikikFNffNn nnnnnNNnnN体系初末态只差一个单粒子态）考虑有贡献的矩阵元其个数为，非对角矩阵元为非对角元121)!.!.(1)!.(1)ikikikikfn nnnnn fFfaa二次量子化形式二次量子化形式29_.kiikkiikkiikkiikqFnnFnnfnnaannfnnaannfnnnnnfn利用粒子数算符性质由 表 象过渡至粒子数表象，求其矩阵元与上面比较：首先，对非对角元，.(1).(1).(1).(1).(1)ki

13、ikkiikikiknnFnnfnnaannnn f30qBose(,),(0.qNa bGg a b比较 表象与粒子数表象，两种情况下的一致性表明粒子数表象下子单体算符表示的正确性。为各两体算符之和）两体 意味着体系的初末态最多可以差两个单粒子态，否则矩阵元为同样地，比较 和粒子数表象下的矩阵元，证明该两体算进符一步的表考虑示二体算符正确性。,1,2Gga a a a 31相同或不同）分别所处的单粒子态（以下考虑粒子性，以特例简化计算，考虑全同性及交换对称的平均值2 and 1)2,1(,(2)1(),(),(),()1._212121212121nnnnnnNbannnnnnNbagNNg

14、GGbagGG32kkgkknnkkgkkkkgkknnkkgkknnkkgkkkkgkknnGkkgkknnkkgkkkkgkknnkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk_)1(2121)1(21)1(21)2(),()1(所处相同单粒子态另一个在一个在不同单粒子态33表象下的结果。可以同样给出类似与其中，算符明粒子数表象中的二体表象下的结果，下面证以上计算是在和矩阵元，见图计算不同情况下的跃迁情况（即能级跃迁）考虑粒子数不同的填布的非对角元q)()()2,1(),()(,21q3.23.1)21221,gqqgqqgaaaagGG34,_11.21()2,1.21(1)2Ggnna

15、 a a annn ngggna a a annngG ）的平均值两个产生（湮灭）算符作用于不同的单粒子数态，作用于同一个单粒子态的粒子占据数上，,11()(1)22qn nggnng 此式与 表象下表式一致，证明该两体算符表示的正确35.q3.12该两体算符表示的正确表象下表式一致，证明所得结果与分别考虑其矩阵元，所示的各种跃迁类型，根据图的非对角元）G如下：子力学量算符表示同样的讨论，扩展至Fermi36粒子数表象下：为奇置换或偶置换个粒子的某个置换，表示其中，子体系波函数，个表象中回顾：PkkkPNkNkAkkkkNkNkANPNNPNqqNqqNP)q().q()q()1(!1).()

16、q(.)q(.)q(.)q(!1).(FermiNqN211.N1N111.2111137.1.11.1.1,1Pauli,Ferminnn原理，结合子对于0,;,0.aaaaaaaaaaaa产生算符，分别表示各态上的粒子38如上页表达反对易关系式，等产生和湮灭算符满足其中注意，表示成，子的单体或二体算符可子情况，类比aaaaaaaagGaafF,21FermiBose,结果。的表象下和粒子数表象下阵元在即比较算符平均值和矩正确性。象下的和二体算符的粒子数表同样的思路，验证单体q39表象下的结果）（故，可差一个单粒子态，算符体系的初末态最多的矩阵元，因着其次考虑（之和）。个单粒子算符对称态下的

17、平均值：首先考虑单体算符在反初态设qffffNNNqPfqPNNfNFFFffffnfNFFafNafFjknjknjknnjknnkkPPjjPPkkkkNakjiijkjiikjiijiikkkjiikjkjkjkj()1()1()1()1()!1(!1)()1(,)(!1)1(,),)1(,),)(,)(11111111110n2kj.1.0.0.1.1.0.0.1._1 40粒子数表象下的结果）故，可差一个单粒子态，算符体系的初末态最多的矩阵元，因着其次考虑对称态下的平均值：首先考虑单体算符在反粒子数表象下的：()1()1()1(10101010111111_jknnnkjkjjkkj

18、jkffaafFFFfffnfaafFFkjiikjiijii 4121)()()2,1(),()()()()2,1(),()()2,1(,(2)1(),(),(),()1)2(21211221._212121212121kkgkkkkgkknnqqgqqqqgqqnngNNgGGbagGGkkkkkkkkkkkkkkkknnnnnnNbannnnnnNba特例简化计算，考虑反交换对称性，以的平均值二体算符42)()()2,1()()()()()2,1()()()1(3.1),()1)2(122*1*21,122*1*21,1111qqgqqddgqqgqqddgggbagGGjilkijkl

19、ijlkjiklijkljiklnnNbajilk式中，矩阵元最后可表示成，的几种情况，合图考虑反交换对称性，结的非对角元二体算符43性。算符和二体算符的正确子在粒子数表象下单体子和以上均验证了式中，表象一直）与非对角元表象下结果一致）与粒子数表象）二体算符FermiBose)()()2,1()()()()()2,1()()(q()1(00110011)2q()(2121)1()2(122*1*21,122*1*21,2112,2112_1111qqgqqddgqqgqqddgggGnnggnnaaaanngnnGnnGGjilkijklijlkjiklijkljiklnnlkjiijklji

20、lk 442.4 坐标表象与二次量子化 1.坐标表象zzzzpspspspsza)/exp()r(a)/exp()r(Fourieraaszp2/1pzpzVripsVrips，变化有，和湮灭算符，做为相应该粒子态的产生与设的本征态。分量为、自旋的态为动量为取单粒子态的共同本征系。的全同粒子组成的多体考虑有自旋45，义，对无自旋的粒子，可定同样地，的粒子算符。分量为点产生一个自旋表示在，的粒子的算符？分量为和湮灭一个自旋点产生分别表示在空间，其中pzza)/exp()r(a)/exp()r(szr)r()()/exp(,s,r)/exp(0as,r)/exp(0a)/exp(s,r0)r(s,

21、rszr)r()r(pzzpszpszzzppzsssspzpppzzzVripVripsrrVripspVripVripVripssszzzz46)()/)(exp(a,a)/)(exp()r(),r(a)/exp()r(a)/exp()r(a,a BosepppppprrVrripVrprpiVripVripppppppp，子算符的基本对易关系利用47pszzzpszps)()/)(exp(a,a)/)(exp()s,r(),sr,(a)/exp()sr,(a)/exp()sr,(a,a FermizpszzpszzpszzzzzzzsssspppppppsspprrVrripVrprpi

22、VripVrip，系，子算符的基本反对易关同样，利用48)r()/exp(rda)r()/exp(rdaa)/exp()r(a)/exp()r(Fourieraaszp3ps3pspspspspszzzzzzzzzpzpzsVripsVripVripsVrips，变化有，和湮灭算符，做为相应该粒子态的产生与设的本征态。分量为、自旋的态为动量为取单粒子态的共同本征互逆运算49二体算符：出全同粒子系的单体或有了以上关系，直接写，同样，对无自旋的粒子互逆运算)r()/exp(rda)r()/exp(rdaa)/exp()r(a)/exp()r(3p3pppVripVripVripVrippp50)r

23、()r(rdm2)r()r()(rrddm2)r()r()/)r-(exp(rrddm2)r()r()/exp()/exp(rrddm2)r()/exp(rd)r()/exp(rdpm21aa2mpT),132ps332ps332ps33233ps2pspsps2zzzzzzzzzszzzzzzzzssssrrssVripssVripripsVripsVripz，动能算符分布积分51)r()r(rdm2)r()r()/exp()/exp(rrddm2)r()/exp(rd)r()/exp(rdpm21aa2mpT),132p33233p2ppp2VripripVripVrip能算符同样对无自旋

24、粒子其动)r()r(rd2r2rTr*3232*_mrdmp）（）（粒子的动能平均值，），（个无自旋粒子的波函数比较，坐标表象中，一52义。类似的表达，不同的意点的产生和湮灭算符。为粒子在其中，坐标表象）粒子数表象）r)r()r()r()r(rdm2T()r()r(rdm2*32_32andT二次量子化二次量子化53:aaN),2zzzpspsps带入粒子数算符)r()/exp(rda)r()/exp(rda3ps3pszzzzsVripsVrip，=zzszzzszsrsrrrrdsrsrrd分布算符，单体）（坐标空间粒子的密度式中，),(),()()(),(),(aaN33pspspszzz54:aampJ),3zzzpspsps带入粒子流算符)r()/exp(rda)r()/exp(rda3ps3pszzzzsVripsVrip，算符）坐标空间粒子的流密度式中，)(),(),(),(),(2)()(aaJ3pspspszzzrjsrsrsrsrimrjrrjdmpzszzzz