目标规划方法讲义

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1、第第3 3节节 目标规划方法目标规划方法 目标规划模型目标规划模型 求解目标规划的单纯形方法求解目标规划的单纯形方法 通过上节的介绍和讨论，我们知道，目标通过上节的介绍和讨论，我们知道，目标规划方法是解决多目标规划问题的重要技术之规划方法是解决多目标规划问题的重要技术之一。一。这一方法是美国学者查恩斯（这一方法是美国学者查恩斯（A.Charnes）和库伯（和库伯（W.W.Cooper）于）于1961年在线性规划年在线性规划的基础上提出来的。后来，查斯基莱恩的基础上提出来的。后来，查斯基莱恩（U.Jaashelainen）和李（）和李（S.Lee）等人，进一）等人，进一步给出了求解目标规划问题的

2、一般性方法步给出了求解目标规划问题的一般性方法单纯形方法。单纯形方法。一、目标规划模型一、目标规划模型 给定若干目标以及实现这些目标给定若干目标以及实现这些目标的优先顺序，在有限的资源条件下，使的优先顺序，在有限的资源条件下，使总的偏离目标值的偏差最小。总的偏离目标值的偏差最小。（一）基本思想（一）基本思想例例1：某一个企业利用某种原材料和现有设备可生产甲、乙两种产品，其中，甲、乙两种产品的单价分别为8元和10元；生产单位甲、乙两种产品需要消耗的原材料分别为2个单位和1个单位，需要占用的设备分别为1台时和2台时；原材料拥有量为11个单位；可利用的设备总台时为10台时。试问：如何确定其生产方案？

3、（二）目标规划的有关概念（二）目标规划的有关概念 如果决策者所追求的唯一目标是使总产值达到最大，则这个企业的生产方案可以由如下线性规划模型给出：求 ，使 1x2x 21108maxxxz（6.3.16.3.1）而且满足)4.3.6(0,)3.3.6(102)2.3.6(112212121xxxxxx 式中：和为决策变量，为目标函数值。将上述问题化为标准后，用单纯形方法求解可得最佳决策方案为 （万元）。62,3,421Zxx 但是，在实际决策时，企业领导者必须考虑市场等一系列其他条件，如：根据市场信息，甲种产品的需求量有下降的趋势，因此甲种产品的产量不应大于乙种产品的产量。超过计划供应的原材料，

4、需用高价采购，这就会使生产成本增加。应尽可能地充分利用设备的有效台时，但不希望加班。应尽可能达到并超过计划产值指标56万元。这样，该企业生产方案的确定，便成为一个多目标决策问题，这一问题可以运用目标规划方法进行求解。为了建立目标规划数学模型，下面引入有关概念。n偏差变量偏差变量 在目标规划模型中，除了决策变量外，还 需要引入正、负偏差变量 、。其中，正偏差变量表示决策值超过目标值的部分，负偏差变量表示决策值未达到目标值的部分。因为决策值不可能既超过目标值同时又未达到目标值，故有 成立。dd0ddn绝对约束和目标约束绝对约束和目标约束 绝对约束，必须严格满足的等式约束绝对约束，必须严格满足的等式

5、约束和不等式约束，譬如，线性规划问题的所和不等式约束，譬如，线性规划问题的所有约束条件都是绝对约束，不能满足这些有约束条件都是绝对约束，不能满足这些约束条件的解称为非可行解，所以它们是约束条件的解称为非可行解，所以它们是硬约束。硬约束。目标约束，目标规划所特有的，可以目标约束，目标规划所特有的，可以将约束方程右端项看做是追求的目标值，将约束方程右端项看做是追求的目标值，在达到此目标值时允许发生正的或负的偏在达到此目标值时允许发生正的或负的偏差差 ，可加入正负偏差变量，是软约束。，可加入正负偏差变量，是软约束。线性规划问题的目标函数，在给定目线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差变

6、量后可以转化为标值和加入正、负偏差变量后可以转化为目标约束，也可以根据问题的需要将绝对目标约束，也可以根据问题的需要将绝对约束转化为目标约束。约束转化为目标约束。n优先因子（优先等级）与权系数优先因子（优先等级）与权系数 一个规划问题,常常有若干个目标，决策者对各个目标的考虑,往往是有主次或轻重缓急的。凡要求第一位达到的目标赋予优先因子 ，次位的目标赋予优先因子 ，并规定 表示 比 有更大的优先权。这就是说，首先保证 级目标的实现，这时可以不考虑次级目标；而 级目标是在实现 级目标的基础上考虑的；依此类推。1p2p),2,1(1Llppll1lp1p2p1plp，若要区别具有相同优先因子若要区

7、别具有相同优先因子 的目标的目标的差别，就可以分别赋予它们不同的权系的差别，就可以分别赋予它们不同的权系数数 。这些优先因子和权系数。这些优先因子和权系数都由决策者按照具体情况而定。都由决策者按照具体情况而定。lp),2,1(Kklkn目标函数目标函数 目标规划的目标函数（准则函数）是按照各目标约束的正、负偏差变量和赋予相应的优先因子而构造的。当每一目标确定后，尽可能缩小与目标值的偏离。因此，目标规划的目标函数只能是基本形式有3种：),(minddfZ(6.3.5）要求恰好达到目标值，就是正、要求恰好达到目标值，就是正、负偏差变量都要尽可能小负偏差变量都要尽可能小,即即),(minddfZ（6

8、.3.6）要求不超过目标值，即允许达不到目标值，就是正偏差变量要尽可能小，即)(mindfZ（6.3.7）要求超过目标值，也就是超过量不限，但负偏差变量要尽可能小，即)(mindfZ（6.3.8）在实际问题中，可以根据决策者的要求，引入正、负偏差变量和目标约束，并给不同目标赋予相应的优先因子和权系数，构造目标函数，建立模型。例例2 2：在例1中，如果决策者在原材料供应受严格控制的基础上考虑：首先是甲种产品的产量不超过乙种产品的产量；其次是充分利用设备的有限台时，不加班；再次是产值不小于56万元。并分别赋予这3个目标优先因子 。试建立该问题的目标规划模型。321,PPP解解：根据题意，这一决策问

9、题的目标规划模型是3322211)(mindpddpdpZ11221 xx01121ddxx1022221ddxx561083321ddxx)3,2,1(0,21iddxxii（6.3.9）（6.3.10）（6.3.11）（6.3.12）（6.3.13）（6.3.14）假定有假定有L个目标，个目标，K个优先级个优先级(KL)，n个个变量。在同一优先级变量。在同一优先级 中不同目标的正、负偏中不同目标的正、负偏差变量的权系数分别为差变量的权系数分别为 、，则多目标规划，则多目标规划问题可以表示为问题可以表示为kPklkl KkLllkllklkddPZ11)(minnjllljljLlgddxc

10、1)(),2,1(njijijmibxa1),2,1(),(),2,1(0njxj),2,1(0,Llddll（三）目标规划模型的一般形式（三）目标规划模型的一般形式（6.3.15）（6.3.16）（6.3.17）（6.3.18）（6.3.19）在以上各式中：、分别为赋予 优先因子的第 个目标的正、负偏差变量的权系数；为第 个目标的预期值；为决策变量；、分别为第 个目标的正、负偏差变量。lklklpkkgkjxkdkdk（6.3.15）式为目标函数;（6.3.16）式为目标约束;（6.3.17）式为绝对约束;（6.3.18）式和（6.3.19）式为非负约束;、分别为目标约束和绝对约束中决策变量

11、的系数及约束值。其中：；。)(kjcijaibmi,2,1nj,2,1Ll,2,1Kk,2,1二、求解目标规则的单纯形方法二、求解目标规则的单纯形方法 目标规划模型仍可以用单纯形方法求目标规划模型仍可以用单纯形方法求解解，在求解时作以下规定：，在求解时作以下规定：因为目标函数都是求最小值，所以，因为目标函数都是求最小值，所以，最优判别检验数最优判别检验数为为 因为非基变量的检验数中含有不同等因为非基变量的检验数中含有不同等级的优先因子级的优先因子),2,1(0njzcjjKPPP21KkkkjjjPazc1),2,1,2,1(Kknj；所以检验数的正、负首先决定于 的系数 的正、负，若 ，则检

12、验数的正、负就决定于 的系数 的正、负，下面可依此类推。1pj101j2pj2 据此，我们可以总结出求解目标规划问题的单纯形方法的计算步骤如下：建立初始单纯形表，在表中将检验数 行 按 优 先 因 子 个 数 分 别 排 成 L 行，置 。1l 检查该行中是否存在负数，且对应的前L-1行的系数是零。若有，取其中最小者对应的变量为换入变量，转。若无负数，则转。按最小比值规则（规则）确定换出变量，当存在两个和两个以上相同的最小比值时，选取具有较高优先级别的变量为换出变量。按单纯形法进行基变换运算，建立新的计算表，返回。当l=L时，计算结束，表中的解即为满意解。否则置l=l+1，返回。例例3 3：试

13、用单纯形法求解例2所描述的目标规划问题解：解：首先将这一问题化为如下标准形式 3322211)(mindpddpdpZ112321xxx01121ddxx1022221ddxx561083321ddxx)3,2,1(0,iddxiii (1)取 ,为初始基变量，列出初始单纯形表。表6.3.13x1d2d3d (2)取 ，检查检验数的 行，因该行无负检验数，故转(5)。(5)因为 ，置 ，返回(2)。(2)检查发现检验数 行中有 ，因为有 ，所以 为换入变量，转入(3)。1l1p31Ll21 ll2p1222,1min2x (3按 规则计算：，所以 为换出变量，转入(4)。(4)进行换基运算，得

14、到表6.3.2。以此类推，直至得到最终单纯形表为止，如表6.3.3所示。2101056,210,111min2d表6.3.2表6.3.3 由表6.3可知，为满意解。检查检验数行，发现非基变量的检验数为0，这表明该问题存在多重解。2*1x42x表6.3.4 在表6.3.3中，以非基变量 为换入变量，为换出变量，经迭代得到表6.3.4。从表6.3.4可以看出，也是该问题的满意解。3d3/101x3/102x3d土地利用问题土地利用问题 生产计划问题生产计划问题 投资问题投资问题 第第4 4节节 多目标规划应用实例多目标规划应用实例 第第5 5章第章第1 1节中，我们运用线性规划方节中，我们运用线性

15、规划方法讨论了法讨论了表表5.1.45.1.4所描述的所描述的农场作物种植农场作物种植计划的问题。但是，由于线性规划只有单计划的问题。但是，由于线性规划只有单一的目标函数，所以当时我们建立的作物一的目标函数，所以当时我们建立的作物种植计划模型属于单目标规划模型，给出种植计划模型属于单目标规划模型，给出的的种植计划方案，要么使总产量最大，要种植计划方案，要么使总产量最大，要么使总产值最大；两个目标无法兼得。那么使总产值最大；两个目标无法兼得。那么，究竟怎样制定作物种植计划，才能兼么，究竟怎样制定作物种植计划，才能兼顾总产量和总产值双重目标呢？下面我们顾总产量和总产值双重目标呢？下面我们用多目标规

16、划的思想方法解决这个问题。用多目标规划的思想方法解决这个问题。一、土地利用问题一、土地利用问题 取 为决策变量，它表示在第 j 等级的耕地上种植第i种作物的面积。如果追求总产量最大和总产值最大双重目标，那么，目标函数包括：追求总产量最大 ijx3332312322211312111000100001200014+000680060008+0009500900011=)(xma xxxxxxxxxXf（6.4.1）追求总产值最大3332312322211312113332312322211312112000860092001100092001000012800104001120013)00010

17、0001200014(0.80+)00068006000(81.50+)00095009000(111.20=(X)max xxxxxxxxxxxxxxxxxxf（6.4.2）根据题意，约束方程包括：耕地面积约束 最低收获量约束（6.4.3）（6.4.4）（6.4.5）200300100332313322212312111xxxxxxxxx0003500001000012000140000310006800600080001900009500900011333231232221131211xxxxxxxxx非负约束1,2,3)j1,2,3;(i0ijx 对上述多目标规划问题，我们可以采用如下方

18、法，求其非劣解。n用线性加权方法用线性加权方法 5.021取 ，重新构造目标函数 33323123222113121100098000160012500700090001090094501010012)(25.0)(15.0maxxxxxxxxxxXfXfZ 这样，就将多目标规划转化为单目标线性规划。用单纯形方法对该问题求解，可以得到一个满意解（非劣解）方案，结果见表6.4.1。此方案是：III等耕地全部种植水稻，I等耕地全部种植玉米，II等耕地种植大豆19.117 6 hm2、种植玉米280.882 4 hm2。在此方案下，线性加权目标函数的最大取值为6 445 600。表6.4.1 线性加

19、权目标下的非劣解方案（单位：hm2）n目标规划方法 实际上，除了线性加权求和法以外，我们还可以用目标规划方法求解上述多目标规划问题。如果我们对总产量 和总产值 ，分别提出一个期望目标值)(1Xf)(2Xf0000106*1f0000606*2f（kg）（元）并将两个目标视为相同的优先级。如果 、分别表示对应第1个目标期望值的正、负偏差变量，、分别表示对应于第2个目标期望值的正、负偏差变量，而且将每一个目标的正、负偏差变量同等看待（即可将它们的权系数都赋为1），那么，该目标规划问题的目标函数为 1d1d2d2d2211minddddZ对应的两个目标约束为 （6.4.8）（6.4.9）000100

20、6(X)111ddf-0006006(X)222ddf-即 0001006000100001200014+000680060008+0009500900011 11333231232221131211ddxxxxxxxxx0006006000860092001100092001000012800104001120013 22333231232221131211ddxxxxxxxxx 除了目标约束以外，该模型的约束条件，还包括硬约束和非负约束的限制。其中，硬约束包括耕地面积约束（6.4.3）式和最低收获量约束（6.4.4）式；非负约束，不但包括决策变量的非负约束（6.4.5）式，还包括正、负偏差

21、变量的非负约束 0,00,0,2211dddd 解上述目标规划问题，可以得到一个非劣解方案，详见表6.4.2。表6.4.2 目标规划的非劣解方案（单位:hm2）在此非劣解方案下，两个目标的正、负差变量分为 ，。01d01d02d02d 二、生产计划问题二、生产计划问题 某企业拟生产某企业拟生产A和和B两种产品，其生两种产品，其生产投资费用分别为产投资费用分别为2 100元元/t和和4 800元元/t。A、B两种产品的利润分别为两种产品的利润分别为3 600元元/t和和6 500元元/t。A、B产品每月的最大生产能产品每月的最大生产能力分别为力分别为5 t和和8 t；市场对这两种产品总；市场对这

22、两种产品总量的需求每月不少于量的需求每月不少于9 t。试问该企业应该。试问该企业应该如何安排生产计划，才能既能满足市场需如何安排生产计划，才能既能满足市场需求，又节约投资，而且使生产利润达到最求，又节约投资，而且使生产利润达到最大大?该问题是一个线性多目标规划问题。如果计划决策变量用 和 表示，它们分别代表A、B产品每月的生产量（单位：t）；表示生产A、B两种产品的总投资费用（单位：元）；表示生产A、B两种产品获得的总利润（单位：元）。那么，该多目标规划问题就是：求 和 ，使 1x2x),(211xxf),(212xxf1x2x2121180041002),(minxxxxf212125006

23、6003),(maxxxxxf而且满足 0,985212121xxxxxx 对于上述多目标规划问题，如果决策者提出的期望目标是：（1）每个月的总投资不超30 000元；（2）每个月的总利润达到或超过45 000元；（3）两个目标同等重要。那么，借助Matlab软件系统中的优化计算工具进行求解，可以得到一个非劣解方案为 51x42x 按照此方案进行生产，该企业每个月可以获得利润44 000元，同时需要投资29 700元。某企业拟用1 000万元投资于A、B两个项目的技术改造。设 、分别表示分配给A、B项目的投资（万元）。据估计，投资项目A、B的年收益分别为投资的60%和70%；但投资风险损失，与

24、总投资和单项投资均有关系 据市场调查显示，A项目的投资前景好于B项目，因此希望A项目的投资额不小B项目。试问应该如何在A、B两个项目之间分配投资，才能既使年利润最大，又使风险损失为最小？三、投资问题 1x2x212221001.0002.0001.0 xxxx 该问题是一个非线性多目标规划问题，将它用数学语言描述出来，就是：求 、，使 1x2x2121170.060.0),(maxxxxxf212221212001.0002.0001.0),(minxxxxxxf 而且满足 0,00001212121xxxxxx 对于上述多目标规划问题，如果决策者提出的期望目标是：（1）每一年的总收益不小于600万元；（2）希望投资风险损失不超过800万元；（3）两个目标同等重要。那么，借助Matlab软件中的优化计算工具进行求解，可以得到一个非劣解方案为 646.313 9万元，304.147 7万元 此方案的投资风险损失为799.308 2万元，每一年的总收益为600.691 8万元。1x2x