高数导数和积分大全

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1、 一、基本初等函数导数公式一、基本初等函数导数公式2()0(sin)cos(tan)sec(sec)secanCxxxxxxtx 12()(cos)sin(cot)csc(csc)cscxxxxxxxxcotx 第一节 求导法则(),(),()dyf xf xfxydx已知函数y=求的导数 记为或、2211111x)x(arctanx)x(arcsinalnx)x(logalna)a(axx2211111x)xcotarc(x)x(arccosx)x(lne)e(xx二、函数的和、差、积、商的求导法则二、函数的和、差、积、商的求导法则定理定理1.1.的和的和、差、差、积积、商(除分母为为 0

2、0的点外的点外)都在点都在点 可导可导,且且)()()()()1(xvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv )x(v)x(u)(2)x(v)x(u)x(v)x(u()()uu xvv xx函数及都在 点 具有导数x)x(v)x(u及及例：例：cos4lnsin,7yxxxy设求()cos(cos)4(ln)0 xxxxxcos4sin2xxxxx:(cos)(4ln)(sin)7yxxx解三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则且其导数为且其导数为可导可导在点在点则复合函数则复合函数可导可导在点在点而而可导可导在点在点如果函数如果函数,x

3、(x)fy,(x)uf(u)y,x(x)u 定理定理即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量等于因变量对中间变量求导求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则)x()u(f)x(f(dxdududydxdy 或或 yx2y，求，求函数函数sin复复合合而而成成与与函函数数可可看看作作由由函函数数xuusiny2ududycos2dxdux22u2dxdududydxdycoscos例例的导数的导数求函数求函数22xay复复合合而而成成与与数数解解：此此函函数数可可看看作作由由函函22xayuyu21dudyx2dxdu22xaxu21

4、x2dxdy例例2 2复合函数求导法则可推广到多个中间变量的情形例如例如,)x(v,)v(u,)u(fyxydd)()()(xvufyuvxuyddvdudxvdd关键关键:搞清复合函数结构搞清复合函数结构,由外向内逐层求导由外向内逐层求导.理论推广例3设,)cos(lnxey 求求.ddxy解解:复复合合而而成成与与、函函数数可可以以看看作作由由函函数数xevvu uy coslnu1dudyvdvdusinxedxdvxxxxeee1evu1dxdy)(sincos)sin(练习：求下列函数的导数练习：求下列函数的导数3122 sin3lntan24xxxyeyxxyyxe、24221si

5、n63731853xxxyxyeyxxyxxx5、第二节第二节 定积分定积分一、定积分的定义baxxfd)(iniixf10)(lim积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间,ba定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即baxxfd)(battfd)(bauufd)(性质性质1 常数因子可提到积分号外常数因子可提到积分号外性质性质2 函数代数和的积分等于它们积分的代数和。函数代数和的积分等于它们积分的代数和。()()bbaakfx dxkfx dx()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx二、定积分的简单性质二、定积分

6、的简单性质性质性质3 若在区间若在区间 a,b 上上 f(x)k，则，则性质性质4 定积分的区间可加性定积分的区间可加性 若若 c 是是 a,b 内的任一点，则内的任一点，则()()bbbaaaf x dxkdxkdxk ba()()()bcbaacfx dxfx dxfx dx()1bbbaaaf x dxdxdxbaabcabc当当 a,b,c 的相对位置任意时的相对位置任意时,例如例如,cba则有caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(baxxfd)(cbxxfd)(caxxfd)(bcxxfd)(,)(baCxf则积分上限函数xattfxd)()(定理定理1.若

7、.,)(上的一个原函数在是baxf三、牛顿 莱布尼兹公式定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.同时为通过原函数计算定积分开辟了道路.()()xf x上的一个原在是连续函数设,)()(baxfxF)()(d)(aFbFxxfba(牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式)()(d)(d)(aFbFxxfttfbaba记作记作)(xFab)(xFab定理定理2.函数,则例1、计算计算.1d312 xx解解:xxxarctan1d31213)1arctan(3arctan3127)4(例例 2、设 求,1,211,1)(2xxxxxf20().f x dx解解211020)()()(dxxfdxxfd

8、xxf2121021)1(dxxdxx386)1(21213102xx20()f x dx计算例例3其中2,01()1,12xxf xxx20()f x dx解解:12201(1)xdxxdx2 1320111|()|23xxx236四、定积分的换元法和 分部积分法定理定理 （定积分的换元公式）（定积分的换元公式）设函数设函数 f(x)在区间在区间 a,b 上连续；函数上连续；函数 在在 上单值且有连续导数；当上单值且有连续导数；当 时，有时，有 ，且，且 则则)(tx,t,)(bat ba)(,)()()()baf x dxftt dt例1.计算计算).0(d022axxaa解解:令,sin

9、tax 则,dcosdttax;0,0tx时当.,2tax时 原式=2attad)2cos1(2202)2sin21(22tta0242a20ttdcos222xayxoyaS且例2.计算计算.d12240 xxx解解:令,12 xt则,dd,212ttxtx,0时当x,4时x.3t 原式=ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 13322;1t且 例3.,)(aaCxf设证证:(1)若,)()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(则xxfaad)(2)若,)()(xfxf0d)(aaxxf则xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0

10、xxfxfad)()(0,d)(20 xxfa时)()(xfxf时)()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令定理定理 （定积分的分部积分公式）（定积分的分部积分公式）设函数设函数 u(x),v(x)在在 a,b 上有连续导数，则上有连续导数，则()()()()()()bbbaaau x v x dxu x v xv x u x dx例4.计算计算.darcsin210 xx解解:原式=xx arcsin021210 xxxd1212)1(d)1(212022121xx1221)1(2x02112231第三节 广义积分（反常积分）引例引例.曲线21xy 和直线1x及 x 轴所围成的开口曲边梯形的

11、面积21xy A1可记作12dxxA其含义可理解为 bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1定义1.设设,),)(aCxf,ab 取若xxfbabd)(lim存在,则称此极限为 f(x)在区间 的广义积分,记作xxfxxfbabad)(limd)(类似地,若,()(bCxf则定义xxfxxfbaabd)(limd)(),a第三节 广义积分（反常积分）,),()(Cxf若则定义xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim(c 为任意取定的常数),)()(的原函数是若xfxF引入记号;)(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似牛 莱公式的计算表达式:xxf

12、ad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF例1.计算广义积分计算广义积分.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2xxxxarctanlimarctanlim例2.计算广义积分计算广义积分.)0(d0ptettp解解:tpept原式00d1teptptpep21021p第五节第五节 二重积分二重积分(,)dDf x y(,)dDf x yxdy其中其中D是积分区域是积分区域定理定理 设设),(yxf在矩形区域在矩形区域,dcbaD 上可积，且对每个上可积，且对每个,dcy 积分积分 baxyxfd),(存在，则累次积分存在，

13、则累次积分 badcxyxfyd),(d也存在，且也存在，且 badcDxyxfyyxfd),(dd),(特别当特别当),(yxf在矩形区域在矩形区域,dcbaD 连续时，有连续时，有 badcdcbaDxyxfyyyxfxyxfd),(dd),(dd),(例例 1 计算计算 Dyx d)(2其中其中0,1 1,0 D解解 012102d)(dd)(yyxxyxD 1033100-13d)3)1(3(d3)(xxxxyx61),()(|),(21bxaxyyxyyxD 区域区域 定理定理 设设),(yxf在在 X-区域区域 D 上连续，上连续，y1(x),y2(x)在在 a,b 连续，则连续，

14、则 Dyxyxfdd),(yyxfxyxyd),()()(21 baxd称为称为 X 型区域型区域)(1xyy )(2xyy xboyDa区域区域),()(|),(21dycyxxyxyxD xyxfyxyxd),()()(21 dcyd Dyxyxfdd),(则则称为称为Y 型区域型区域.若若 D 为为Y 型区域型区域.)(1yxx )(2yxx xdoyDc 若积分域较复杂若积分域较复杂,可将它分成若干可将它分成若干oxy1D2D3DX-型域或型域或Y-型域型域,321DDDD则则 xy211xy o221d y例2、计算,dDyxI其中其中D 是直线是直线 y1,x2,及及yx 所围的闭

15、区域所围的闭区域.解法解法1.将将D看作看作X型区域型区域,则则I21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2.将将D看作看作Y型区域型区域,则则Ixyx d21d yyyx222121321d2yyy891xy2例3、计算,d Dyx 其中其中D 是抛物线是抛物线xy 2所围成的闭区域所围成的闭区域.解解xyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy 22 xy214oyx2y2y2 xy及直线及直线这是这是 Y-区域，区域，画出积分区域的图形画出积分区域的图形先对先对 x

16、后对后对 y 积分积分,解法解法2 yyx d 21dddDDDyxyxyx 10dxxy 22 xy214oyxD 也是也是 X-型区域，型区域，1D2D1x x yyx d 41dx2 xx 10d0 x 4122d2xxyxx845 显然解法显然解法1比解法比解法2好好！例4、计算,ddsinDyxxx其中其中D 是直线是直线,0,yxy所围成的闭区域所围成的闭区域.OxyD xxy 解解:画积分区域图形，画积分区域图形，因为因为 Dyxxxddsin 0dsinxx 0cos x 2 xyxxx00dsind x则则若先对若先对 x 积分，积分，yDxxxyyxxxdsindddsin

17、0 xxsin的原函数不能用初等函数表示，因此的原函数不能用初等函数表示，因此改用另一种顺序的累次积分，于是有改用另一种顺序的累次积分，于是有 xyxxx00ddsin)()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf内容小结(1)二重积分化为累次积分的方法二重积分化为累次积分的方法 若积分区域为若积分区域为 X-型型)()(,),(21xyyxybxayxD则则)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若积分区域为若积分区域为 Y-型型)()(,),(21yxxyxdycyxD则则xy)(1yxx Ddc)(2yxx)(1xyy)(2xyy xybaD习题习题212yDedxdy1、求、求其中D：01,01xyxy及Dxdxdy2、求、求其中D：,3,0,1yx yxyyxyDe dxdy3、求、求其中D：2,0,1yx xy