概率论与数理统计条件分布课件

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1、概率论与数理统计条件分布13.3 条件分布条件分布条件分布律条件分布律条件分布函数条件分布函数 条件概率密度条件概率密度离散型随机变量、离散型随机变量、概率论与数理统计条件分布2一一 、离散型随机变量的条件分布律离散型随机变量的条件分布律 设设(X,Y)是二维离散型随机变量，其分布律为是二维离散型随机变量，其分布律为 ,2,1,1 ippjjii,2,1,1 jppijij(X,Y)关于关于X和关于和关于Y的边缘分布律分别为：的边缘分布律分别为：P X=xi,Y=yj=pi j,i,j=1,2,.条件分布条件分布对于固定的对于固定的 j,若若PY=yj 0,则称则称,jjiyYPyYxXP|j

2、iyYxXP jijpp ,2,1 i为在为在Y=yj 条件下随机变量条件下随机变量 X 的条件分布律的条件分布律。由条件概率公式由条件概率公式)()()|(BPABPBAP 概率论与数理统计条件分布3条件分布律条件分布律的特性的特性 10 P X=xi|Y=yj 0；10|2ijiyYxXP.1 jjpp 1ijijpp同样地同样地,对于固定的对于固定的 i,若若PX=xi0,则称则称,2,1,|jppxXPyYxXPxXyYPiijijiij为在为在 X=xi 条件下随机变量条件下随机变量Y 的条件分布律的条件分布律。即条件分布律是分布律。即条件分布律是分布律。条件分布条件分布概率论与数理

3、统计条件分布4例例1 一射手进行射击，击中目标的概率为一射手进行射击，击中目标的概率为 p，射击到击，射击到击中目标两次为止。设以中目标两次为止。设以 X 表示首次击表示首次击 中目标所进行的中目标所进行的射击次数，以射击次数，以 Y 表示总共进行表示总共进行 的射击次数，试求的射击次数，试求 X 和和 Y 的联合分布律以及条件分布律。的联合分布律以及条件分布律。解：解：条件分布条件分布Y的可能取值是的可能取值是2,3,4,;X的取值是的取值是1,2,3,4,并并且且YX 的联合分布律为的联合分布律为YX,nYmXP ，pqpqmnm 1122pqn pq 1其其中中n=2,3,4,;m=1,

4、2,3,n-1概率论与数理统计条件分布5例例2)0(求求:1）在发车时有）在发车时有n个乘客的条件下个乘客的条件下,中途有中途有m个人下个人下车的概率；车的概率；2）二维随机变量（）二维随机变量（X,Y)的概率分布。的概率分布。解解|)1nXmYP ,)1(mnmmnppC .,2,1,0,1,0 nnm中途下车与否相互独立中途下车与否相互独立.以以 Y 表示在中途下车的人数表示在中途下车的人数,设某班车起点站上车人数设某班车起点站上车人数 X 服从参数为服从参数为的泊松分布的泊松分布,每位乘客在中途下车的概率为每位乘客在中途下车的概率为p(0p1),且且条件分布条件分布2)X和和Y 的联合分

5、布率的联合分布率 ,mYnXP|nXPnXmYP ,!)1(enppCnmnmmn,2,1,0,1,0 nnm概率论与数理统计条件分布6二、二、条件分布函数条件分布函数设设(X,Y)是二维连续型随机变量，由于是二维连续型随机变量，由于 .|,0无无意意义义所所以以yYxXPyYP 因此我们利用极限的方法来引入条件分布函数的概因此我们利用极限的方法来引入条件分布函数的概念。念。条件分布条件分布概率论与数理统计条件分布7定义定义 给定给定 y，设对于任意固定的正数，设对于任意固定的正数 ，|lim0 yYyxXP存在，存在，,lim0 yYyPyYyxXPP y-0,若对于任意实数若对于任意实数

6、x，极限，极限则称为在条件则称为在条件Y=y下下X的的条件分布函数，条件分布函数，写成写成 P X x|Y=y，或记为，或记为 FX|Y(x|y).条件分布条件分布概率论与数理统计条件分布8.)(),(yfduyufYx ,lim)|(0|yYyPyYyxXPyxFYX)(),(yFdydyyxFY )()(),(),(lim0 yFyFyxFyxFYY 2/)()(lim2/),(),(lim00 yFyFyxFyxFYY)(),(yfdudvvufyYyx 条件分布条件分布概率论与数理统计条件分布9,)(),()|(|xYYXduyfyufyxF)(),()|(|yfyxfyxfYYX 称

7、为在条件称为在条件Y=y下下X的条件分布函数的条件分布函数.条件分布条件分布称为随机变量称为随机变量X在条件在条件Y=y下下条件密度函数条件密度函数.xfyxfxyfXXY，称为随机变量称为随机变量Y在条件在条件X=x下下条件密度函数条件密度函数.概率论与数理统计条件分布10三三.条件密度函数的性质条件密度函数的性质条件分布条件分布性质性质1 对于任意的对于任意的x,均有均有 0 yxfYX性质性质2 1 dxyxfYX换言之换言之 .是是密密度度函函数数yxfYX对于条件密度函数对于条件密度函数 也有类似的性质也有类似的性质 xyfXY概率论与数理统计条件分布11例例的的概概率率密密度度为为

8、设设随随机机变变量量),(YX .,0,10,|,1),(其其它它xxyyxf;)|(),|()2(;)(),(1|xyfyxfyfxfXYYXYX）（试试求求：.0|21)3(YXP解解 xy01xy xy dyyxfxfX),()()1(,10 x xxxdy,2.,0其它其它条件分布条件分布概率论与数理统计条件分布12 dxyxfyfY),()(.,01|,|1其它其它yy 其它。其它。,01|,|11xyy )(),()|()2(|yfyxfyxfYYX,10 y 1,1yydx,01 y.,0其它其它 1,1yydx,1|y当当 .,0,10,|,1),(其其它它xxyyxfxy01

9、xy xy条件分布条件分布概率论与数理统计条件分布13 其其它它。,0,21xyxx431121221)211()(),()|(|xfyxfxyfXXY 0|21)3(YXP00,21 YPYXP,10 x当当 .,010,2)(其其它它xxxfX .,0,10,|,1),(其其它它xxyyxfxy01xy 21条件分布条件分布概率论与数理统计条件分布14例例 221121 yxf，条件分布条件分布 22222121212122121exp yyxx yeyfyY22222221 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)服从正态分布服从正态分布,即有即有 ，222121 NYX则则(X,Y)的联

10、合密度函数为的联合密度函数为而随机变量而随机变量Y的边缘密度函数为的边缘密度函数为概率论与数理统计条件分布15 ，因因此此，对对任任意意的的0 yfyY xyrxr22211221121exp yfyxfyxfYYX，221121r 22122111 ，yN条件分布条件分布结论结论 二元正态分布的条件分布是一元正态分布二元正态分布的条件分布是一元正态分布,即即概率论与数理统计条件分布16例例 设随机变量设随机变量X X服从区间服从区间(0,1)上的均匀分布上的均匀分布,当当0 x1时时,随机变量随机变量Y在在X=x的条件下服从区间的条件下服从区间(x,1)上上的均匀分布的均匀分布,试求随机变量试求随机变量Y Y的密度函数的密度函数.条件分布条件分布解解随机变量随机变量X的密度函数为的密度函数为 .,0,10,1其其它它xxfX 当当0 x1时时,随机变量随机变量Y在在X=x的条件下条件密的条件下条件密度函数为度函数为 .,0,1,11其其它它yxxxyfXY概率论与数理统计条件分布17 xfyxfxyfXXY，xyfxfyxfXYX，xy011得得条件分布条件分布所以所以,由公式由公式 .,0,10,11其它其它yxx所以所以,当当0y1时时 dxyxfyfY，ydxx011 .1lny 所以所以,随机变量随机变量Y的密度函数为的密度函数为 .,0,10,1ln其其它它yyyfY