组合应用题的解法

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1、组合应用题的解法组合应用题一般和排列应用题结合起来考查，在解答这类应用题时，切实分清是排列还是组合，若只是组合问题，只要根据题意取出相应元素即可；若既有排列又有组合，解题的指导思想是先组合排列，即“先取后排”。一、 分组、分配问题例1 有6本不同的书按下列方式分配，问共有多少种不同的分配方式？（1） 分成1本、2本、3本三组；（2） 分给甲、乙、丙三人，其中1人一本，1人两本，1人三本；（3） 平均分成三组，每组2本；（4） 分给甲、乙、丙三人，每个人2本。分析：这是一个分配问题，解题的关键是搞清事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏。解：（1）分三步：先选一本

2、有种选法；再从余下的本中选两本有种选法；最后余下的三本全选有种选法。由分步计数原理知，分配方式共有=60种；（2）由于甲、乙、丙是不同的三个人，在（1）题的基础上，还应考虑再分配问题，分配方式共有=360种；（3）先分三步，则应是种方法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一步取了AB，第二步取了CD，第三步取了EF，记该种分法为（AB，CD，EF），则种分法中还有（AB，EF，CD）、（CD，AB，EF）、（CD，EF，AB）、（EF，CD，AB）、（EF，AB，CD）共种情况，而且这种的情况仅是AB、CD、EF的顺序不同，因此，只能作为一种分法，故分配方式有种。

3、（4）在问题（3）的基础上再分配即可，共有分配方式=种。点评：（1）平均分组问题：一般来说，km个不同的元素分成k组，每组m个，则不同的分法有种；（2）不平均分组问题：一般来说，把n个不同元素分成k组，每组分别有m1，m2，mk个，m1，m2，mk互不相等，且m1+m2+m+mk=n，则有不同的分法为种，如果m1，m2，mk中有且仅有i个相等，则不同的分法为种。上面的组合问题给出了两个解法模型，处理此类问题的关键的是充分考虑到是否与顺序有关，避免产生重复计数。二、 指标问题指标问题常采用“隔板法”解，每一种隔法，对应一种分法例2 某中学准备组建一个18人的足球队，这18人由高二年级10个班的学

4、生组成，每个班至少有1人参加，问一共有多少种不同的分配方案？析解：将18个排成一行，则18个人之间有17个空档，在17个空档中任取9个，插入隔板，将18个人分成10份，第i份（1i10）的人数对应第i个班学生的名额，因此，名额分配方案的种数与从17个空档中任取9个的组合数相等，即=24310（种）点评：对于“至少一个”的组合问题，分类讨论比较麻烦，通过构造隔板模型，就可以将问题转化为插入法问题。三、 涂色问题例3 用5种颜色涂正方体的表面，过同一顶点的三个面涂不同的颜色，问有几种不同的涂法？析解：如下图，下、左、前分别涂绿、白、红.当后面涂红时，上面涂绿，那么右面连白色有种涂法；上面不涂绿，从

5、黑、蓝中选一种有种，涂右面连白色有2种，共有2=4种，故后面不涂红时有3+4=7种。当后面不涂红时，只能从黑、蓝、中涂一种，有种，上面涂绿，右面涂连白色有2种共2=4种，上面不涂绿，上面涂后面未涂的1种，右面涂白色，有1=2种。白红绿当后面不涂红时有4+2=6种综上有7+6=13种四、 交叉问题例4 有划船运动员10人，其中8人会划右舷，7人会划左舷，现在要从这10人当中选出6人，平均分配在两舷划桨，有多少种选法？析解：由已知，只会划右舷的只有3人，只会划左舷的只有2人，两舷都会划的有5人，则有1选只会划右舷的3人划右舷，有=35种2选只会划右舷的2人，都会划的1人中选人去划右舷，有=300种3选只会划右舷的1人，都会划的2人中选人去划右舷，有=300种4都会划的人中选3人划右舷，有=40种因此共有35+300+300+40=675种点评：按元素的性质分类，按事件的发生过程分步是处理组合问题的原则。