高中数学平面向量知识点总结及常见题型(供参考)

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1、平面向量一.向量的基本概念与基本运算1向量的概念: 向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c 来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB几何表示法AB，a；坐标表示法a = xi + yj = （x,y）向 量的大小即向量的模（长度），记作I ab |、即向量的大小，记作丨a | +向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 零向量：长度为o的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a = o oI a 1=0+由于o的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.（注意与0的区别） 单位向量：模为1

2、个单位长度的向量向量a为单位向量o | a i=i.oo 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a b 由于向量可以进行任意的平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为a = b大厂x x小相等，方向相同（x ,y ） （x ,y ） o 12 .1122y y122向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法设 AB a, BC b，则 a + b = AB + BC = AC（1）0+a a+0 a ；（2）向

3、量加法满足交换律与结合律；向量加法有二角形法则”与汗行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点 重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的 有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则向 量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB + BC + CD + PQ + QR = AR，但这时必须“首尾相连”3向量的减法 相反向量：与a长度相

4、等、方向相反的向量，叫做a的相反向量 记作-a,零向量的相反向量仍是零向量 关于相反向量有：(i) - (-a) = a ； (ii) a + (-a ) = (-a) + a = 0 ； (iii)若a、b是互为相反向量，则a = b , b = 一a, a + b = 0 向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：a -b = a +(-b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法 作图法：a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点)4实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作入a，它的长度与方向规定如下：(I) ka = |九| - |a| ；(II)

5、当九0时，入a的方向与a的方向相同；当九积ab=o(a + b) c = a c + b ca丰0且b丰0时， r r 1a2 =| a I2，| a I=px2 + y2 a b =1 a ii b ico&a,b i a b ic二 a c 土 b c = c (a 土 b )特别注意：(1)结合律不成立： G c L C b ) c ；(2) 消去律不成立a b匚a 不能得到b匚c (3) a b =0不能得到a = 0或b = 07两个向:的数量积的坐标运算:已知两个向量a = (x ,y b = (x ,y )，则a b = xx + y y11 2 2 12 128向量的夹角：已知

6、两个非零向量a与b ,作OA = a , OB = b，则ZAOB=。(Oo 0 =当且仅当两个非零向量。与b同方向时，e=Oo,当且仅当a与b反方向时9 =1800,同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果a与b的夹角为9Oo则称a与b垂直，记作a丄b10两个非零向量垂直的充要条件:a丄b o a b=Oo x x + y y = O平面向量数量积的性质 1 2 1 2题型1.基本概念判断正误:(1) 共线向量就是在同一条直线上的向量.(2) 若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点.(3) 与已知向量共线的单位向量是唯一的.(4) 四边形ABCD是平行四边形的条件是AB

7、= CD.(5) 若AB = CD，则A、B、C、D四点构成平行四边形.(6) 因为向量就是有向线段，所以数轴是向量(7) 若a与b共线，b与c共线，则a与c共线.(8)若ma = mb，贝y a = b.(9) 若ma = na，贝卩m = n .(10) 若a与b不共线，则a与b都不是零向量.(11 )若 a - b =1 a I -1 b I，则 a / / b. (12 )若 I a + b 1=1 a b I，则 a 丄 b.题型2.向量的加减运算1. 设a表示“向东走8km” , b表示“向北走6km”，则I a + b I=.2. 化简(AB + MB) + (BO + BC)

8、+ OM =.3. 已知I OA I= 5 , I OB I= 3, Wl AB I的最大值和最小值分别为、.4. 已知AC为AB与AD的和向量，且AC = a,BD = b，则AB =，AD =.35. 已知点C在线段AB上，且AC = 5 AB，则AC = BC，AB = BC.题型3向量的数乘运算1. 计算：(1) 3(a + b) 2(a + b) = (2) 2(2a + 5b 3c) 3(2a + 3b 2c)=2. 已知 a = (1,一4), b = (3,8)，则 3a 一2b =.题型4作图法球向量的和-13已知向量a,b，如下图，请做出向量3a + = b和2a一乂b .

9、2 2题型5根据图形由已知向量求未知向量1. 已知在AABC中, D是BC的中点，请用向量AB，C表示AD .2. 在平行四边形ABCD中，已知AC = a, BD = b，求AB和AD .题型6.向量的坐标运算1. 已知AB = (4,5)，A(2,3)，则点B的坐标是.2. 已知PQ = (3, 5)，P(3,7)，则点Q的坐标是.3. 若物体受三个力F =(12), F = (2,3), F = (一1,4)，则合力的坐标为1234. 已知 a = (3,4), b 二(5,2)，求a + b , a b , 3a - 2b .5. 已知 A(l,2),B(3,2)_,向量a = (x

10、+ 2,x-3y 一 2)与 AB 相等，求x, y 的值.ffff6. 已知 AB = (2,3)， BC = (m, n)， CD = (1,4)，则 DA =7. 已知O是坐标原点，A(2, 1),B(4,8)，且AB + 3BC = 0，求OC的坐标.题型7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知 e1,e2 是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底A. e + e 和e e b. 3e 2e 和4e 6e1 2 1 2 1 2 2 1C. e + 3e 和e 3e1 2 2 1D. e 和e e2212.已知a = (3,4)，能与a构成基底的是(异44 33 矢A.(5

11、,5) B.(5,5) C. ( 5, 5)J JJ JJ J题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知O是坐标原点，点A在第二象限，丨OA1= 2，厶OA = 150，求 OA 的坐标.2.已知O是原点，点A在第一象限，I OA 1=，ZxOA = 60，求OA的坐标.题型9.求数量积1. 已知I a I= 3,I b I= 4，且a 与b 的夹角为60，求(1) a -b，(2)a - (a + b)，1 0(3) (a b)-b ， (4) (2a b) -(a + 3b).一f一 ff 一_f fff2. 已知 a = (2, 6), b = (8,10)，求(1) I a 1,1 b I

12、， (2) a *b， (3) a - (2 a + b),(4) (2a b) * (a + 3b).一 - - 一 一 -1. 已知|a | & b I 3, a b 12,求a与b的夹角.2. 已知a (J3，1)b ( 2 J3, 2),求a与b的夹角.3. 已知 A(1,0厂B(0,1，C(2,5),求fosBAC .题型11.求向量的模一-1. 已知 |a | 3, b | 4,且a与b 的夹角为60，求(1) |a b |，(2)|2a 3b |.o12. 已知a (2, 6),b ( 8厂10),求(1) |a |,b |，(5)E b |，(6)|a -b |.2_3. 已知

13、 |a | 1, |b | 2, |3a 2b | 3,求 |3a b I.题型12求单位向量【与a平行的单位向量：e 二】|a I1.与a (12,5平行的单位向量是.*2与m( 1,2)平行的单位向量是.题型13.向量的平行与垂直1. 已知a (6,2), b ( 3,m),当m 为何值时，(1) a/人？(2) a b ?fff2. 已知a (12), b (3,2), (1) k为何值时，向量ka b与a 3b垂直？(2) k%何值时，向量ka b与a 3b平行？ffA3已知a是非零向量，ab a c；且b c,求证：a(b c).题型14.三点共线问题- -1.已知 A (0, 2)

14、, B (2,2), C(3,4),求证：A,B,C 三点共线.2.设 AB (a 5b),BC2a 8b,CD3(a b),求证：A、B、D 二点共线.23已知ABa 2b，BC5a 6b,CD 7a 2b ,则一定共线的二点是_4.已知A(l,3), B(8, 1),若点C (2a l,a 2)在直线AB上，求a的值.5已知四个点的坐标O(0,0), A (3,4) , B( 1,2), C (1,1)是否存在常数t,使OA tOB OC 成立？题型15.判断多边形的形状1若AB 3e, CD 5e,且|AD | |BC |,则四边形的形状 2已知 A (1,0) B (4,3) C (2

15、,4), D (0,2),证明四边形 ABCD 是梯形.3.已知A ( 2,1), B (6, 3), C (0,5),求证：ABC是直角三角形.4在平面直角坐标系内，OA ( 1,8)OB( 4,1)OC(1,3)求证：ABC是等腰直角三角形.题型16.平面向量的综合应用1已知a (1,0) b (2,1)当k为何值时，向量ka b与a 3b平行？2已知a (我75),且a b , |b | 2,求b的坐标.3已知*与匕同向，b (12),则2 b 10 ,求2的坐标.3已知a (12), b (3,1) c (5,4),则c a b.4. 已知 a = (5,10), b = (一3,-4

16、) , c = (5,0)，请将用向量a,b 表示向量c .AA5. 已知a = (m,3)，b二(2,-1)，(1)若a与b的夹角为钝角，求m的范围；(2)若a与b的夹角为锐角，求m的范围.6. 已知a = (6,2)，b = (-3,m)，当m为何值时，(1) a与b的夹角为钝角？(2) a与b的夹角为锐角?7. 已知梯形ABCD的顶点坐标分别为A(-1,2)，B(3,4)，D(2,1)，且AB/DC，AB - 2CD，求点C的坐标.8. 已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(2,1)，B(-1,3)，C(3,4)，求第四个顶点 D 的坐标.9. 一航船以5km/h的速度向垂直于

17、对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30角，求水流速度与船的实际速度.10. 已知AABC三个顶点的坐标分别为A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)，(1)若 AB - AC = 0，求c 的值；(2)若c = 5，求sin A 的值.【备用】1.已知 I a 1= 3,1b 1= 4,1 a + b 1= 5，求I a - b I 和向量 a,b 的夹角.2已知x = a + b，y = 2a + b，且I a I=I b I= 1，a丄b，求x, y的夹角的余弦.A * * 1.已知 a = (1,3),b = (-2,-1)，则(3a + 2b) - (2a 5b) =.4.已知

18、两向量a = (3,4), b = (2,-1)，求当a + xb与a - b垂直时的x的值.5已知两向量a = (1,3),b = (2,九)，a与b的夹角0为锐角，求九的范围.变式：若a =,2),b = (-3,5) , a与b的夹角0为钝角，求九的取值范围.选择、填空题的特殊方法：1. 代入验证法AA 例：已知向量a = (1,1)0 - (1,-1),c = (一1,一2)，则 c =()1 3133131A. a bB. a + bC. a bD. a + b2 2 2 22 22 22. 排除法 _-例：已知M是AABC的重心，则下列向量与_AB共线的是(一)A. AM + MB + BCB. 3AM + AC c. AB + BC + AC d. AM + BM + CM