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1、1第六节第六节 广义胡克定律广义胡克定律一、二向应力状态下的胡克定律一、二向应力状态下的胡克定律 1xxyE1yyxE二、三向应力状态下的胡克定律二、三向应力状态下的胡克定律1xxyzE 1yyzxE 1zzxyE 2例例1 已知已知一开槽钢块，槽内嵌入一边长为一开槽钢块，槽内嵌入一边长为10 mm 的正方形铝块。的正方形铝块。已知铝的已知铝的 E=70 GPa、=。若不计钢块的变形，试求铝块的主应。若不计钢块的变形，试求铝块的主应力。力。解：解：0z366 1060 MPa10 10yFA 由于钢块不变形，故铝块沿由于钢块不变形，故铝块沿 x 方向的线应变等于零，即有方向的线应变等于零，即有
2、69110.3360 10070 10 xxyzxE 解得解得 19.8 MPax 所以，所以，铝块的主应力为铝块的主应力为10219.8 MPa 360 MPa 选坐标系如图，显然有选坐标系如图，显然有3例例2 如图，已知扭转圆轴的直径如图，已知扭转圆轴的直径 d，弹性常数，弹性常数 E 与与 。若。若测得测得圆轴表面某点沿圆轴表面某点沿 45方向的线应变方向的线应变 45，试，试求所加扭矩。求所加扭矩。解：解：该点为纯剪切应力状态，其中该点为纯剪切应力状态，其中3t16TTWd45在测点截取单元体在测点截取单元体45445120345方向为主方向方向为主方向451123311116TEEE
3、d 根据广义胡克定律，有根据广义胡克定律，有34516 1EdT故得扭矩故得扭矩其主应力为其主应力为3t16TTWd5例例3 试通过纯剪切应力状态，借助广义虎克定律，建立三个弹试通过纯剪切应力状态，借助广义虎克定律，建立三个弹12EG性常数之间的关系式性常数之间的关系式6第七节第七节 强度理论强度理论一、第一强度理论一、第一强度理论最大拉应力理论最大拉应力理论强度理论：强度理论：建立复杂应力状态下强度条件的理论建立复杂应力状态下强度条件的理论材料破坏假说：材料破坏假说：时的极限拉应力时，材料即发生脆性断裂时的极限拉应力时，材料即发生脆性断裂当构件内的最大拉应力达到材料单向拉伸断裂当构件内的最大
4、拉应力达到材料单向拉伸断裂1t强度条件：强度条件：脆性材料且主要受拉应力作用脆性材料且主要受拉应力作用适用范围：适用范围：7二、第二强度理论二、第二强度理论最大伸长线应变理论最大伸长线应变理论材料破坏假说：材料破坏假说：断裂时的极限伸长线应变时，材料即发生脆性断裂断裂时的极限伸长线应变时，材料即发生脆性断裂当构件内的最大伸长线应变达到材料单向拉伸当构件内的最大伸长线应变达到材料单向拉伸123t 强度条件：强度条件：脆性材料且主要受压应力作用脆性材料且主要受压应力作用适用范围：适用范围：8三、第三强度理论三、第三强度理论最大切应力理论最大切应力理论材料破坏假说：材料破坏假说：屈服时的最大切应力时
5、，材料即发生塑性屈服屈服时的最大切应力时，材料即发生塑性屈服当构件内的最大切应力达到材料单向拉伸塑性当构件内的最大切应力达到材料单向拉伸塑性 13强度条件：强度条件：塑性材料，偏于安全塑性材料，偏于安全适用范围：适用范围：9四、第四强度理论四、第四强度理论形变能密度理论形变能密度理论材料破坏假说：材料破坏假说：屈服时的形变能密度时，材料即发生塑性屈服屈服时的形变能密度时，材料即发生塑性屈服当构件内的形变能密度达到材料单向拉伸塑性当构件内的形变能密度达到材料单向拉伸塑性 22212233112强度条件：强度条件：塑性材料塑性材料适用范围：适用范围：10五、强度理论通式五、强度理论通式rtr其中，
6、相当应力其中，相当应力说明：说明：2）一般情况下，第一、第二强度理论适用于脆性材料；第三、第）一般情况下，第一、第二强度理论适用于脆性材料；第三、第四强度理论适用于塑性材料。四强度理论适用于塑性材料。1）强度理论适用于所有应力状态。）强度理论适用于所有应力状态。r11r2123 r313222r41223311211 说明：说明：2）一般情况下，第一、第二强度理论适用于脆性材料；第三、）一般情况下，第一、第二强度理论适用于脆性材料；第三、第四强度理论适用于塑性材料。第四强度理论适用于塑性材料。1）强度理论适用于所有应力状态。）强度理论适用于所有应力状态。3）在三向拉应力相近的情况下，无论塑性材
7、料还是脆性材料，）在三向拉应力相近的情况下，无论塑性材料还是脆性材料，其失效形式均为脆性断裂（由第三、四强度理论知其不可能屈其失效形式均为脆性断裂（由第三、四强度理论知其不可能屈服），故宜用最大拉应力理论。服），故宜用最大拉应力理论。4）在三向压应力相近的情况下，无论塑性材料还是脆性材料，）在三向压应力相近的情况下，无论塑性材料还是脆性材料，其失效形式均为屈服（由第一、二强度理论知其不可能脆性断其失效形式均为屈服（由第一、二强度理论知其不可能脆性断裂），故宜用第三或第四强度理论。裂），故宜用第三或第四强度理论。12例例3 圆筒形薄壁容器承受内压为圆筒形薄壁容器承受内压为 p,容器内径为容器内径
8、为 D，厚度为，厚度为 ，试，试按第三和第四强度理论写出其上任一点的相当应力。按第三和第四强度理论写出其上任一点的相当应力。其主应力为其主应力为1t2pD 24xpD 03 解解：取单元体，薄壁圆筒上的任取单元体，薄壁圆筒上的任根据第三和第四强度理论，其相当应力分别为根据第三和第四强度理论，其相当应力分别为r3132pD222r41223311324pD一点处于二向应力状态一点处于二向应力状态13例例4 图示工字形截面钢梁，已知图示工字形截面钢梁，已知 F=210 kN；许用应力；许用应力 =160 MPa，=90 MPa；截面高度；截面高度 h=250 mm、宽度宽度 b=113 mm；腹板
9、腹板和翼缘的厚度和翼缘的厚度 t=10 mm 与与 =13 mm；惯性矩惯性矩 Iz=10-5 mm4。试校。试校核梁的强度。核梁的强度。解：解：最大剪力和最大弯最大剪力和最大弯矩分别为矩分别为Smax140 kNFmax56 kN mM1）作剪力图作剪力图和弯矩图和弯矩图70kN140kNxS/kNF70140 x/kN mM56142）校核弯曲正应力强度校核弯曲正应力强度 22SmaxmaxSmaxmax28zzzFSFbhbthI tI t 3maxmax556 100.25133MPa 160MPa25.25 102zMhI Smax140kNFmax56 kN mM3）校核弯曲切应力
10、强度校核弯曲切应力强度63.1MPa 90MPa15 4）校核危险截面腹板与翼缘交界处点校核危险截面腹板与翼缘交界处点 a 的强度的强度 Smax46.7 MPazazFSI t max119.5 MPa2azMhI 围绕围绕 a 点截取单元体，点截取单元体，该点处于二向应力状态，其中该点处于二向应力状态，其中其主应力其主应力 22122aaa2022322aaaaa16 根据第三强度理论校核点根据第三强度理论校核点 a 强度强度22r3134151MPa 160MPaaa所以，该梁的强度符合要求所以，该梁的强度符合要求22122aaa2022322aaa 梁在点梁在点 a 处的相当应力要明显
11、大于最大弯曲正应力。这意味着，处的相当应力要明显大于最大弯曲正应力。这意味着，对于该梁，仅按最大弯曲正应力作强度计算是不够的。这是因为最对于该梁，仅按最大弯曲正应力作强度计算是不够的。这是因为最大弯曲正应力发生在梁的上、下边缘处，为单向应力状态，而点大弯曲正应力发生在梁的上、下边缘处，为单向应力状态，而点 a则处于二向应力状态。则处于二向应力状态。但需同时指出，在工程实际中，工字形截面梁大都是用工字钢但需同时指出，在工程实际中，工字形截面梁大都是用工字钢制作的，这种情况一般不会出现，故直接按最大弯曲正应力和最制作的，这种情况一般不会出现，故直接按最大弯曲正应力和最大大弯曲切应力分别进行强度计算
12、即可。弯曲切应力分别进行强度计算即可。17例例5 一钢制构件，其危险点的应力状态如图，已知材料的许用应一钢制构件，其危险点的应力状态如图，已知材料的许用应力力 =120 MPa，试校核此构件的强度。，试校核此构件的强度。解解：40MPa40MPa20MPa由于构件为钢制（塑性材料），由于构件为钢制（塑性材料），且危险点处于二向应力状态，故应采且危险点处于二向应力状态，故应采用第三或第四强度理论进行强度计算用第三或第四强度理论进行强度计算1 1）计算主应力）计算主应力 40MPax 20MPay 40MPaxy 由解析法，得由解析法，得2211.2 MPa71.2MPa22xyxyxy 18 2211.2 MPa71.2MPa22xyxyxy 故得三个主应力分别为故得三个主应力分别为111.2MPa20371.2MPa 2）强度计算）强度计算 按照第三强度理论，有按照第三强度理论，有r31311.2MPa71.2 MPa82.4 MPa 120 MPa 按照第四强度理论，有按照第四强度理论，有222r3122331177.4 MPa 2所以，此构件的强度符合要求所以，此构件的强度符合要求
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