平面向量的数量积及平面向量的应用

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1、山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考平面向量的数平面向量的数量积及平面向量积及平面向量的应用量的应用山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考定义定义范围范围已知两个已知两个_向量向量a，b，作，作 a，b，则则AOB叫作向量叫作向量a与与b的夹角的夹角

2、(如图如图)向量夹角向量夹角的范围是的范围是_ 当当_时，两向量时，两向量共线；共线；当当_时，两向时，两向量垂直，记作量垂直，记作ab(规定规定零向量可与任一向量垂零向量可与任一向量垂直直).，0或或18090非零非零0，180山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考(2)射影的定义射影的定义设设是是a与与b的夹角，则的夹角，则_叫作叫作b在在a方向方向上的射影上的射影_叫作叫作a在在b方向上的射影方向上的射影射影是一个实

3、数，不是线段的长度，也不是向射影是一个实数，不是线段的长度，也不是向量当量当_时，它是正值；当时，它是正值；当_时，它是负值；当时，它是负值；当_时，它是时，它是0.(90，18090|b|cos|a|cos0，90)山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考提示：提示：不正确求两个向量的夹角时，两向量起不正确求两个向量的夹角时，两向量起点应相同，向量点应相同，向量a与与b的夹角为的夹角为ABC.思考感悟思考感悟山东水浒书业有

4、限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考|a|b|cos|a|cosab0ab山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考cos_对任意两个向量对任意两个向量a、b，有，有|ab|a|b|，当且仅，当且仅当当ab时等号成立时等号成立(3)向量数量积的运算律向量数量积的运算律

5、给定向量给定向量a，b，c和实数和实数，有，有abba；(交换律交换律)(a)b(ab)_；(数乘结合律数乘结合律)a(bc)_(分配律分配律)a(b)abac山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考思考感悟思考感悟2当当a0时，由时，由ab0一定有一定有b0吗？吗？提示：提示：不一定不一定ab0有三种情形；有三种情形；a0；b0；ab即即a与与b的夹角为的夹角为90.山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向

6、量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考3平面向量数量积的坐标运算平面向量数量积的坐标运算(1)平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示已知两个非零向量已知两个非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则，则ab_.即两个向量的数量积等即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和于它们对应坐标的乘积的和x1x2y1y2山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点

7、点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考x2y2(4)两个向量垂直的充要条件两个向量垂直的充要条件设设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则，则abx1x2y1y202(原创题原创题)若若a0，ab0，则满足条件的，则满足条件的b的个数是的个数是()A0 B1 C2 D无数个无数个 答案：C山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考2(原创题原创题)若若a0，ab0，则满足条件的，则满足条件的b的的个数是个数

8、是()A0 B1C2 D无数个无数个解析：解析：选选D.只要只要ba即可，故即可，故b有无数个有无数个 答案：C答案：C5(2010山东卷)定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的a(m，n)，b(p，q)，令a bmqnp.下面说法错误的是()A若a与b共线，则a b0Ba bb aC对任意的R，有(a)b(a b)D(a b)2(ab)2|a|2|b|2 解析：若a与b共线，则有mqnp0，故A正确；因为bapnqm，而abmqnp，所以有abba，故B错误；因为a(m，n)，所以(a)bmqnp.又(ab)(mqnp)(a)b，故C正确；因为(ab)2(ab)2(mqnp)2(mpn

9、q)2(m2n2)(p2q2)|a|2|b|2，故D正确 答案：B山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考答案：答案：36答案：答案：C山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引

10、入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考答案：答案：29 9、（、（1 1）已知）已知O O是是ABCABC内部一点，内部一点，=0 0，且且BACBAC=30=30，则，则AOBAOB的面积为的面积为（）A.2A.2B.1B.1C.C.D.D.解析解析 由由 =0 0得得O O为为ABCABC的重心的重心.S SAOBAOB=S SABCABC.又又 cos 30cos 30=2 =2 ，得得 =4.=4.S SABCABC=sin 30=sin 30=1.=1.S SAOBAOB=.=.DOCOBO

11、A,32 ACAB2131OCOBOA31|ACABACAB|ACAB|ACAB21313（2 2）（20092009重庆理，重庆理，4 4）已知已知|a a|=1,|=1,|b b|=6,|=6,a a(b b-a a)=2)=2，则向量，则向量a a与与b b的夹角是的夹角是（）A.A.B.B.C.C.D.D.解析解析 a a(b b-a a)=)=a ab b-a a2 2=2,=2,a ab b=2+=2+a a2 2=3=3 cos cosa a，b b=a a与与b b的夹角的夹角为为 .C6432,21613|b|a|ba3、(1)(2010年高考北京卷年高考北京卷)若若a，b是

12、非零向是非零向量，且量，且ab，|a|b|，则函数，则函数f(x)(xab)(xba)是是()A一次函数且是奇函数一次函数且是奇函数B一次函数但不是奇函数一次函数但不是奇函数C二次函数且是偶函数二次函数且是偶函数D二次函数但不是偶函数二次函数但不是偶函数【思路点拨思路点拨】利用向量数量积的定义、性质、利用向量数量积的定义、性质、运算律及模的求法，即可解决运算律及模的求法，即可解决【答案答案】(1)A(2)D(3)B题型二题型二 利用平面向量的数量积解决垂直问题利用平面向量的数量积解决垂直问题【例例2 2】已知向量已知向量a a=(cos(-=(cos(-),sin(-),sin(-),),b

13、b=（1 1）求证：）求证：a ab b；（2 2）若存在不等于）若存在不等于0 0的实数的实数k k和和t t，使，使x x=a a+(+(t t2 2+3)+3)b b,y y=-=-k ka a+t tb b，满足，满足x xy y，试求此时，试求此时 的最小值的最小值.（1 1）可通过求可通过求a ab b=0=0证明证明a ab b.（2 2）由由x xy y得得x xy y=0=0，即求出关于，即求出关于k k,t t的一个方程，的一个方程，从而求出从而求出 的代数表达式，消去一个量的代数表达式，消去一个量k k，得出关，得出关于于 t t的函数，从而求出最小值的函数，从而求出最小

14、值.),2(cos(),2sin(t2tk 思维启迪思维启迪t2tk(1)(1)证明证明 a ab b=cos(-=cos(-)cos(-)cos(-)+sin(-)+sin(-)sin(-sin(-)=sin)=sin cos cos-sin-sin coscos=0.=0.a ab b.（2 2）解解 由由x xy y得得x xy y=0,=0,即即a a+（t t2 2+3+3）b b（-k ka a+t tb b）=0=0，-k ka a2 2+（t t3 3+3+3t t）b b2 2+t t-k k（t t 2 2+3+3）a ab b=0=0，-k k|a a|2 2+（t t3

15、 3+3+3t t）|b b|2 2=0.=0.又又|a a|2 2=1=1，|b b|2 2=1=1，-k k+t t3 3+3+3t t=0=0，k k=t t3 3+3+3t t.故当故当t t=时，时，有最小值有最小值 .22.411)21(3322232tttttttttk21ttk2411 探究提高探究提高 （1 1）两个非零向量互相垂直的充要条）两个非零向量互相垂直的充要条件是它们的数量积为零件是它们的数量积为零.因此，可以将证两向量的因此，可以将证两向量的垂直问题，转化为证明两个向量的数量积为零垂直问题，转化为证明两个向量的数量积为零.（2 2）向量的坐标表示与运算可以大大简化

16、数量积的）向量的坐标表示与运算可以大大简化数量积的运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用运算，由于有关长度、角度和垂直的问题可以利用向量的数量积来解决，因此，我们可以利用向量的向量的数量积来解决，因此，我们可以利用向量的坐标研究有关长度、角度和垂直问题坐标研究有关长度、角度和垂直问题.知能迁移知能迁移2 2 已知平面向量已知平面向量a a=（-,-,）,b b=(-,-1).=(-,-1).(1)(1)证明：证明：a ab b;(2)(2)若存在不同时为零的实数若存在不同时为零的实数k k、t t,使使x x=a a+(+(t t2 2-2)-2)b b,y y=-=-k ka a+t

17、t2 2b b,且且x xy y，试把，试把k k表示为表示为t t的函数的函数.(1)(1)证明证明 a ab b=(,-1)=(,-1)a ab b.2123)23,21(3,0)1(23)3()21(3(2)(2)解解 x xy y,x xy y=0,=0,即即a a+(+(t t2 2-2)-2)b b（-k ka a+t t2 2b b）=0.=0.展开得展开得-k ka a2 2+t t2 2-k k(t t2 2-2)-2)a ab b+t t2 2(t t2 2-2)-2)b b2 2=0,=0,a ab b=0,=0,a a2 2=|=|a a|2 2=1,=1,b b2 2

18、=|=|b b|2 2=4,=4,-k k+4+4t t2 2（t t2 2-2-2）=0,=0,k k=f f(t t)=4)=4t t2 2(t t2 2-2).-2).题型三题型三 向量的夹角及向量模的问题向量的夹角及向量模的问题【例例3 3】（1212分）已知分）已知|a a|=1|=1，a ab b=，（，（a a-b b）（a a+b b）=，求：（求：（1 1）a a与与b b的夹角；的夹角；（2 2）a a-b b与与a a+b b的夹角的余弦值的夹角的余弦值.解解 （1 1）（a a-b b）（a a+b b）=，|a a|2 2-|-|b b|2 2=，又又|a a|=1|

19、=1，|b b|=|=3 3分分 设设a a与与b b的夹角为的夹角为，则则cos cos=0 0 180 180,=45=45.6.6分分21212121.2221|2a,2222121|baba5 5分分（2 2）（a a-b b）2 2=a a2 2-2-2a ab b+b b2 2|a a-b b|=|=8 8分分（a a+b b）2 2=a a2 2+2+2a ab b+b b2 2=1+2=1+2|a a+b b|=,|=,设设a a-b b与与a a+b b的夹角为的夹角为 ，1010分分则则cos =cos =1212分分,21212121.22,252121210.55210

20、2221(|ba|b-a|b)ab)-(a 探究提高探究提高 （1 1）求向量的夹角利用公式）求向量的夹角利用公式coscosa a，b b=.=.需分别求向量的数量积和向量的模需分别求向量的数量积和向量的模.（2 2）利用数量积求向量的模，可考虑以下方法）利用数量积求向量的模，可考虑以下方法.|a a|2 2=a a2 2=a aa a;|a ab b|2 2=a a2 22 2a ab b+b b2 2;若若a a=(=(x x,y y)，则，则|a a|=.|=.|baba22yx 【典例4】已知a，b是两个非零向量，同时满足|a|b|ab|，求a与ab的夹角山东水浒书业有限公司山东水浒

21、书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考 (2009年高考江苏卷年高考江苏卷)设向量设向量a(4cos，sin)，b(sin，4cos)，c(cos，4sin)(1)若若a与与b2c垂直，求垂直，求tan()的值；的值；(2)求求|bc|的最大值；的最大值；(3)若若tantan16，求证：，求证：ab.【思路点拨思路点拨】利用两向量垂直时数量积为利用两向量垂直时数量积为0的坐标运算的坐标运算公式可以解第一问，第二问中模的最值可以转化为三角公式可以解第

22、一问，第二问中模的最值可以转化为三角函数的有界性求解，第三问中利用两向量平行的充要条函数的有界性求解，第三问中利用两向量平行的充要条件进行转化即可得证件进行转化即可得证山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考【名师点

23、评名师点评】求解求解|bc|时注意到向量时注意到向量b与向与向量量c的模都不是定值，因而利用坐标法先求和再的模都不是定值，因而利用坐标法先求和再求模，此方法较求模，此方法较|bc|2b2c22bc要快捷得要快捷得多证明两向量平行时，可以利用两向量平行的多证明两向量平行时，可以利用两向量平行的充要条件公式充要条件公式山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与

24、复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的考查知识的“交汇处交汇处”的命题要求，又加强了对双的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示

25、的运算，利用解决平行、垂直、成角和距离等问题的算，利用解决平行、垂直、成角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题题平面向量的应用平面向量的应用山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考【思路点拨思路点拨】(1)根据向量加、减法的几何意义根据向量加、减法的几何意义求解；求解；(2)根据向量数量积的坐标运算，列方程求解根据向量数量积的坐标运算，列方程求解山东水浒书业有限公司

26、山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考【名师点评名师点评】利用向量解平面几何、解析几何利用向量解平面几何、解析几何问题要注意向量线性运算的几何意义及数量积的问题要注意向量线性运算的几何意义及数量积的坐标表示的应用坐标表示的应用山东水浒

27、书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考

28、向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考方法技巧方法技巧1要熟练类似要熟练类似(ab)(satb)sa2(ts)abtb2的运算律的运算律(、s、tR)(如例如例1(1)2解决向量模的问题的关键是利用解决向量模的问题的关键是利用|a|2a2，将，将模的问题转化为数量积的问题，通过数的精确计模的问题转化为数量积的问题，通过数的精确计算来解决问题算来解决问题(如例如例2)方法感悟方法感悟山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考3平面向量的数

29、量积的运算法则把平面向量与平面向量的数量积的运算法则把平面向量与实数紧密地联系在一起，使它们之间的相互转化实数紧密地联系在一起，使它们之间的相互转化得以实施因此，一方面我们要善于把向量的有得以实施因此，一方面我们要善于把向量的有关问题通过数量积转化为实数问题，利用实数的关问题通过数量积转化为实数问题，利用实数的有关知识来解决问题；另一方面，也要善于把实有关知识来解决问题；另一方面，也要善于把实数问题转化为向量问题，利用向量作工具来解决数问题转化为向量问题，利用向量作工具来解决相关问题相关问题(如例如例3)山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向

30、量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考1零向量：零向量：(1)0与实数与实数0的区别，不可写错；的区别，不可写错；0a00，a(a)00，a000；(2)0的方向的方向是任意的，并非没有方向，是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系我们只定义了非零向量的垂直关系2ab0不能推出不能推出a0或或b0，因为，因为ab0ab.失误防范失误防范山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习

31、习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考规范解答规范解答山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的

32、引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考【解解】(1)法一：法一：bc(cos1，sin)，则，则|bc|2(cos1)2sin22(1cos).3分分1cos1，0|bc|24，即，即0|bc|2.当当cos1时，有时，有|bc|2，向量向量bc的长度的最大值为分的长度的最大值为分法二：法二：|b|1，|c|1，|bc|b|c|分分当当cos1时，有时，有bc(2,0)，即，即|bc|2，所以向量所以向量bc的长度的最大值为分的长度的最大值为分山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向

33、量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考【名师点评名师点评】

34、(1)本题易失误的是：对向量的本题易失误的是：对向量的加法、数量积的坐标运算公式掌握不清，不会运加法、数量积的坐标运算公式掌握不清，不会运算，导致无从下手；知道相关知识，知道解决算，导致无从下手；知道相关知识，知道解决思路，但运算出现错误，结果不准确；书写过思路，但运算出现错误，结果不准确；书写过程不详细，逻辑性不强，语句不流畅，卷面不整程不详细，逻辑性不强，语句不流畅，卷面不整洁，对而不全；出现洁，对而不全；出现|bc|b|c|这种错这种错误误山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考

35、考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考(2)本题主要考查平面向量、三角函数的概念、三本题主要考查平面向量、三角函数的概念、三角变换和向量运算等基本知识，考查基本运算能角变换和向量运算等基本知识，考查基本运算能力此题将平面向量、三角函数、三角变换三部力此题将平面向量、三角函数、三角变换三部分知识进行有机的融合，综合性强学科内知识分知识进行有机的融合，综合性强学科内知识融合的问题是近年来高考考查的热点，因为这类融合的问题是近年来高考考查的热点，因为这类题能很全面地考查考生综合运用知识，分析问题、题能很全面地考查考生综合运用知识，分析问题、解决问题的能力解决问题的能力山东水浒

36、书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考(3)一般来说向量与三角融合时，都会给出向量的一般来说向量与三角融合时，都会给出向量的坐标，都会进行向量的坐标运算，因此向量的坐坐标，都会进行向量的坐标运算，因此向量的坐标运算公式是必须要记住且要会使用涉及向量标运算公式是必须要记住且要会使用涉及向量平行或垂直，两个坐标关系式也要会熟练地应平行或垂直，两个坐标关系式也要会熟练地应用用此题第此题第(1)问，就是要先通过向量的加法运算求向问，就是要

37、先通过向量的加法运算求向量量bc的坐标，第的坐标，第(2)问涉及问涉及a(bc)，要利用，要利用两个向量垂直的坐标关系式，再结合三角知识就两个向量垂直的坐标关系式，再结合三角知识就可以使问题得到很好的解决可以使问题得到很好的解决山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考(4)向量的数量积的坐标运算经常会与其他数学问向量的数量积的坐标运算经常会与其他数学问题联系起来，特别是与三角函数问题相联系，解题联系起来，特别是与三角函数问题

38、相联系，解答这类问题的关键是要熟练地运用向量的数量积答这类问题的关键是要熟练地运用向量的数量积的坐标运算公式，通过公式，将向量问题转化为的坐标运算公式，通过公式，将向量问题转化为一般的三角函数问题求解一般的三角函数问题求解山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考名师预测名师预测山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考山东水浒书业有限公司山东水浒书业有限公司 第第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入章平面向量、数系的扩充与复数的引入双双基基研研习习面面对对高高考考考考点点探探究究挑挑战战高高考考考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考