机械振动定理

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1、 振动是日常生活和工程实际中常见的现象。例如：钟摆的往复摆动,汽车行驶时的颠簸，电动机、机床等工作时的振动，以及地震时引起的建筑物的振动等。利利：振动给料机 弊弊：磨损，减少寿命，影响强度 振动筛 引起噪声，影响劳动条件 振动沉拔桩机等 消耗能量，降低精度等。3.研究振动的目的研究振动的目的：消除或减小有害的振动，充分利用振动 为人类服务。2.振动的利弊振动的利弊：1.所谓振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。所谓振动就是系统在平衡位置附近作往复运动。4.振动的分类振动的分类：单自由度系统的振动 按振动系统的自由度分类按振动系统的自由度分类 多自由度系统的振动 弹性体的振动 按振动产生的原因分

2、类按振动产生的原因分类：自由振动：无阻尼的自由振动 有阻尼的自由振动，衰减振动 强迫振动：无阻尼的强迫振动 有阻尼的强迫振动 自激振动本章重点讨论单自由度系统的自由振动和强迫振动。181 单自由度系统无阻尼自由振动单自由度系统无阻尼自由振动 182 求系统固有频率的方法求系统固有频率的方法 183 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动 184 单自由度系统的无阻尼强迫振动单自由度系统的无阻尼强迫振动 185 单自由度系统的有阻尼强迫振动单自由度系统的有阻尼强迫振动 186 临界转速临界转速 减振与隔振的概念减振与隔振的概念第十八章第十八章 机械振动基础机械振动基础 18-1

3、单自由度系统无阻尼自由振动单自由度系统无阻尼自由振动 一、自由振动的概念一、自由振动的概念：运动过程中，总指向物体平衡位置的力称为恢复力恢复力。物体受到初干扰后，仅在系统的恢复力作用下在其平衡位置附近的振动称为无阻尼自由振动无阻尼自由振动。)/(0 ,)/(0 ,)/(0 ,2222222ImgamgaIlgmglmlmkxxkxxmnnnnnn 质量质量弹簧系统：弹簧系统：单摆：单摆：复摆：复摆：二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解二、单自由度系统无阻尼自由振动微分方程及其解 对于任何一个单自由度系统，以q 为广义坐标（从平衡位置开始量取），则自由振动的运动微分方程必将是：0cqqa

4、 a,c是与系统的物理参数有关的常数。令acn/2则自由振动的微分方程的标准形式：则自由振动的微分方程的标准形式：02qqn 解解为：)sin(tAqn 0022020arctg ,qqqqAnn设 t=0 时，则可求得：00 ,qqqq 或：tCtCqnnsincos21C1，C2由初始条件决定为nq CqC/,02 01tqtqqnnnsincos 00 三、自由振动的特点三、自由振动的特点：A物块离开平衡位置的最大位移，称为振幅。n t+相位，决定振体在某瞬时 t 的位置 初相位，决定振体运动的起始位置。T 周期，每振动一次所经历的时间。f 频率，每秒钟振动的次数，f=1/T。固有频率，

5、振体在2秒内振动的次数。反映振动系统的动力学特性，只与系统本身的固有参数有关。nT2n 无阻尼自由振动的特点是无阻尼自由振动的特点是：(2)振幅A和初相位 取决于运动的初始条件(初位移和初速度)；(1)振动规律为简谐振动；(3)周期T 和固有频率 仅决定于系统本身的固有参数(m,k,I)。n四、其它四、其它 1.如果系统在振动方向上受到某个常力的作用，该常力只影响静平衡点O的位置，而不影响系统的振动规律，如振动频率、振幅和相位等。2.弹簧并联系统和弹簧串联系统的等效刚度212121212211 ,)(,kkkkkmgkkmgFFmgkFkFeqststst并联2121eq21212121k )

6、11()11(kkkkkkmgkmgkkmgkmgkmgeqstststst串联并联串联1.由系统的振动微分方程的标准形式由系统的振动微分方程的标准形式2.静变形法：静变形法：3.能量法能量法：18-2 求系统固有频率的方法求系统固有频率的方法02qqn stngst：集中质量在全部重力 作用下的静变形n由Tmax=Umax,求出 无阻尼自由振动系统为保守系统，机械能守恒。当振体运动到距静平衡位置最远时，速度为零，即系统动能等于零，势能达到最大值（取系统的静平衡位置为零势能点）。当振体运动到静平衡位置时，系统的势能为零，动能达到最大值。mgAAkUstst)(2122max2max21 kAU

7、mgkst222max2121nmAxmT如：mkkAmAUTnn 2121 222maxmax由 能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振能量法是从机械能守恒定律出发，对于计算较复杂的振动系统的固有频率来得更为简便的一种方法。动系统的固有频率来得更为简便的一种方法。例例1 图示系统。设轮子无侧向摆动，且轮子与绳子间无滑动，不计绳子和弹簧的质量，轮子是均质的，半径为R，质量为M，重物质量 m，试列出系统微幅振动微分方程，求出其固有频率。解解：以 x 为广义坐标（静平衡位置为 坐标原点）RkgRmMst2)(gkmMst2则任意位置x 时：kxgmMxkFst22)2(静平衡时：应用动量

8、矩定理：kxRRFgRmMFmxRmMRxMRRxMRxmLAA42)()()23(212由 ，有)(FmdtdLAAkxRxRmM4)23(振动微分方程：固有频率：mMkxmMkxn2380238 解解2：用机械能守恒定律 以x为广义坐标（取静平衡位置为原点）22222)23(21 21)(22121xmMxmRxMRxMT 以平衡位置为计算势能的零位置，并注意轮心位移x时，弹簧伸长2xgxmMxkkxgxmMxkUststst)(22 )()2(2222因平衡时gxmMxkst)(222kxU 由 T+U=有：constconstkxxmM222)23(2104)23(kxxmM mMkx

9、mMkxn2380238 对时间 t 求导，再消去公因子 ，得x 例例2 鼓轮：质量M，对轮心回转半径，在水平面上只滚不滑，大轮半径R，小轮半径 r，弹簧刚度 ，重物质量为m,不计轮D和弹簧质量，且绳索不可伸长。求系统微振动的固有频率。21,kk 解解：取静平衡位置O为坐标原点，取C偏离平衡位置x为广义坐标。系统的最大动能为：)()()(21 )(21212max21max22max21maxRkkrRmgxkkxRrRmgxkkUststst2max22222max2max22maxmax 21 )(21 )(21)(21xr)m(R)RM(RxRrRmRxMxMT系统的最大势能为：设 则有

10、)sin(nAxnAxAxmaxmax ,)(21 2)()(221max222222maxAkkUARrRmRMTn根据Tmax=Umax,解得222221)()()(rRmRMRkkn 18-3 单自由度系统的有阻尼自由振动单自由度系统的有阻尼自由振动一、阻尼的概念一、阻尼的概念：阻尼阻尼：振动过程中，系统所受的阻力。粘性阻尼粘性阻尼：在很多情况下，振体速度不大时，由于介质粘性引起的阻尼认为阻力与速度的一次方成正比，这种阻尼称为粘性阻尼。vcR投影式：xcRx c 粘性阻尼系数，简称阻尼系数。二、有阻尼自由振动微分方程及其解二、有阻尼自由振动微分方程及其解：质量弹簧系统存在粘性阻尼：xck

11、xxm 02 2 ,22nxxnx mcnmkn 则令有阻尼自由振动微分方程的标准形式。其通解分三种情况讨论：1、小阻尼情形、小阻尼情形mkcnn2 )()sin(tAexdnt22nnd有阻尼自由振动的圆频率则时设 ,0 00 xxxxt0022012220020tg ;)(nxxnxnnxxxAnn 衰减振动的特点：(1)振动周期变大，振动周期变大，频率减小频率减小。mkcnnTnndd212 222222阻尼比有阻尼自由振动：当 时，可以认为nn1TTdnd 222111ndddffTT (2)振幅按几何级数衰减振幅按几何级数衰减 对数减缩率212lnln21dnTiinTeAAd2、临

12、界阻尼情形、临界阻尼情形 临界阻尼系数)1 ,(nnmkcc2)(000tnxxxexnt),0(00 xxxxt 时ddiinTTtnntiieAeeAAA)(1相邻两次振幅之比 可见，物体的运动随时间的增长而无限地趋向平衡位置，不再具备振动的特性。)(222221 tn tnntnneCeCex代入初始条件),0(00 xxxxt 时220022222022012)(;2)(nnnnnxxnnCnxnnxC)1 ,(nn)(ccc 3、过阻尼（大阻尼）情形、过阻尼（大阻尼）情形 所示规律已不是周期性的了，随时间的增长，x 0，不具备振动特性。例例3 质量弹簧系统，W=150N，st=1cm

13、,A1=0.8cm,A21=0.16cm。求阻尼系数c。2021203221211)(dnTeAAAAAAAA解：解：20)(16.08.0dnTe21220205lnnndnT由于 很小，405ln)s/cmN(122.0 98011502405ln2405ln22stWgWmkc 18-4 单自由度系统的无阻尼强迫振动单自由度系统的无阻尼强迫振动一、强迫振动的概念一、强迫振动的概念 强迫振动：在外加激振力作用下的振动。简谐激振力：H力幅；激振力的圆频率；激振力的初相位。)sin(tHS)sin(tHkxxm 则令 ,2mHhmkn)sin(2thxxn 无阻尼强迫振动微分方程的标准形式，二

14、阶常系数非齐次线性微分方程。二、无阻尼强迫振动微分方程及其解二、无阻尼强迫振动微分方程及其解 21xxx)sin()sin(21tbxtAxn为对应齐次方程的通解为特解)sin(,22222thxhbnn)sin()sin(22thtAxnn全解为：稳态强迫振动 3、强迫振动的振幅大小与运动初始条件无关，而与振动系统 的固有频率、激振力的频率及激振力的力幅有关。三、稳态强迫振动的主要特性三、稳态强迫振动的主要特性：1、在简谐激振力下，单自由度系统强迫振动亦为简谐振动。2、强迫振动的频率等于简谐激振力的频率，与振动系统的 质量及刚度系数无关。(1)=0时kHhbn20 (2)时，振幅b随 增大而

15、增大；当 时，n bn(3)时，振动相位与激振力相位反相，相差 。rad n22nhb b 随 增大而减小；0 ;,20bbbn时时 振幅比或称动力系数 频率比 曲线 幅频响应曲线 （幅频特性曲线）1 4、共振现象,时nb，这种现象称为共振。此时，)cos(2tBtxn)cos(2 2 ,2 2ttbxthbhBnnnn 18-5 单自由度系统的有阻尼强迫振动单自由度系统的有阻尼强迫振动一、有阻尼强迫振动微分方程及其解一、有阻尼强迫振动微分方程及其解tHQxcRkxFxxxsin ,tHxckxxmsin 将上式两端除以m，并令mHhmcnmkn ;2 ;2thxxnxnsin22 有阻尼强迫

16、振动微分方程的标准形式，二阶常系数非齐次微分方程。21xxx x1是齐次方程的通解)02(2xxnxn 小阻尼：)sin(221tAexnnt（A、积分常数，取决于初始条件）x2 是特解：)sin(2tbx代入标准形式方程并整理22222222tg4)(nnnnhb 强迫振动的振幅 强迫振动相位滞后激振力相位角振动微分方程的全解为)sin()sin(22tbtAexnnt 衰减振动 强迫振动 振动开始时，二者同时存在的过程瞬态过程。仅剩下强迫振动部分的过程稳态过程。需着重讨论部分。nnnbb ;,0令 频率比 振幅比 阻尼比因此：2222212 tg;4)1(1二、阻尼对强迫振动的影响二、阻尼

17、对强迫振动的影响1、振动规律 简谐振动。2、频率：有阻尼强迫振动的频率，等于激振力的频率。3、振幅)sin(2tbx (1),1,)(1时n可不计阻尼。,0bb(2),0,)(1时n阻尼也可忽略。时时0.70,)(1n(3)阻尼对振幅影响显著。一定时，阻尼增大，振幅显著下降。222212 ,0 nnnddb得由共振频率此时：20max22max12 2bbnnhbn或 2 ,10maxbbn 时当4、相位差有阻尼强迫振动相位总比激振力滞后一相位角，称为相位差。212tg(1)总在0至 区间内变化。(2)相频曲线（-曲线）是一条单调上升的曲线。随 增 大而增大。(3)共振时=1，曲线上升最快，阻

18、尼值不同的曲线，均交于这一点。(4)1时，随 增大而增大。当 1时 ，反相。2 例例1 已知P=3500N，k=20000N/m,H=100N,f=2.5Hz,c=1600Ns/m,求b,强迫振动方程。解解：rad/s 58.1035008.92000022Pkgmkeqnm 105.2200002100230kHkHbeq485.158.105.222 ;212.058.1024.2rad/s 24.28.9/3500216002nnnfnmcn mm 84.15.2736.0736.0485.1212.04)485.11(14)1(102222222bb)847.05sin(84.1)ra

19、d(847.0)522.0(arctg)1/(2arctg222tx 18-6 临界转速临界转速 减振与隔振的概念减振与隔振的概念 一、转子的临界转速一、转子的临界转速 引起转子剧烈振动的特定转速称为临界转速临界转速。这种现象是由共振引起的，在轴的设计中对高速轴应进行该项验算。单圆盘转子单圆盘转子：圆盘：质量m,质心C点；转轴过盘的几何中心A点，AC=e，盘和轴共同以匀角速度 转动。当 n（n为圆盘转轴所组成的系统横向振动的固有频率）时，OC=x+e(x为轴中点A的弯曲变形）。kxexm2)(（k为转轴相当刚度系数）11222nemkexxn ,时当临界角速度：临界角速度：临界转速：临界转速：

20、ccncnmk30 ,运转时当n质心C位于O、A之间 OC=x-e22)(11nemkexexxnn ,;,时当时当 当转速 非常高时，圆盘质心C与两支点的连线相接近，圆盘接近于绕质心C旋转，于是转动平稳。为确保安全，轴的工作转速一定要避开它的临界转速。二、减振与隔振的概念二、减振与隔振的概念 剧烈的振动不但影响机器本身的正常工作，还会影响周围的仪器设备的正常工作。减小振动的危害的根本措施是合理设计，尽量减小振动，避免在共振区内工作。许多引发振动的因素防不胜防，或难以避免，这时，可以采用减振或隔振的措施。减振减振：在振体上安装各种减振器，使振体的振动减弱。例如，利用各种阻尼减振器消耗能量达到减振目的。隔振：隔振：将需要隔离的仪器、设备安装在适当的隔振器（弹性 装置）上，使大部分振动被隔振器所吸收。隔振隔振 主动隔振：将振源与基础隔离开。被动隔振：将需防振动的仪器、设备单独与振源隔离开。