体积微积分下课堂PPT

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1、1一、旋转体的体积一、旋转体的体积三、平行截面面积为已知的三、平行截面面积为已知的立体的体积立体的体积7.3 体体 积积二、柱壳法二、柱壳法2旋转体旋转体:就是由一个平面图形绕就是由一个平面图形绕这平面内一条直这平面内一条直线线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台一、旋转体的体积一、旋转体的体积3)(xfy ba,bax dxyVx2d xxd 旋转体的体积旋转体的体积xxfVxd)(2 采用微元法采用微元法如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线),(xfy 直线直线bxax ,及及 x 轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕x

2、轴旋转一周而成的立体轴旋转一周而成的立体,体积为多少体积为多少?取积分变量为取积分变量为x,上任取小区间上任取小区间在在,ba,d,xxx 对应的对应的小曲边梯形小曲边梯形绕绕 x 轴轴旋转而旋转而成的薄片近似为柱体，成的薄片近似为柱体，体积微元体积微元 2)(xfxdab(1)Oxyx4解解1,0 x.1,02轴轴旋旋转转形形成成的的体体积积上上绕绕在在求求xxy xyVdd2 体积微元体积微元xx d4 dxxVx4 xxfVxd)(d2 例例取积分变量为取积分变量为x,.5 01oxy12xy 5yyVyd)(2 )(yx 如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线),(yx dycy

3、 ,及及 y 轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体轴旋转一周而成的立体,体积为多少体积为多少?(2)直线直线dyxVy2d 体积微元体积微元 2)(y yd旋转体的体积旋转体的体积cdOxycd,dcy 取积分变量为取积分变量为y,d,yyy 小曲边梯形小曲边梯形绕绕 y 轴轴旋转而旋转而成的薄片的成的薄片的6解解 体积微元体积微元 Vd yV 2yx d2 0a2xyd求星形线求星形线绕绕y轴旋转轴旋转例例构成旋转体的体积构成旋转体的体积.,aay 对称性对称性a aaa Oxy)0(323232 aayx利用参数方程利用参数方程 taytax33sincosyx

4、Vayd202 ,sin3tay 变换变换tdttadycossin32 ta62cos2 2 tttadcossin32 07yxVayd202 ta62cos2 2 20973dcoscos6 ttta）（）（9736IIa .105323a tttadcossin32 0）（132547698132547663 a 8星形线星形线taytax33sin,cos 大圆半径大圆半径 Ra小圆半径小圆半径4ar (当小圆在圆内沿圆周滚动时当小圆在圆内沿圆周滚动时,小圆上的小圆上的定点定点的轨迹为的轨迹为星形线星形线)aOyxt)0(323232 aayx)20(t9Oxya 2解解 xV 20

5、323d)coscos3cos31(tttta.532a 求摆线求摆线的一拱的一拱与与y=0所围成的图形绕所围成的图形绕x,y轴旋转而成的旋转体的体积轴旋转而成的旋转体的体积.绕绕 x轴轴旋转的旋转体体积旋转的旋转体体积 xy d2 0a 2)sin(ttax 变量代换变量代换0 20a 2ttad)cos1(22)cos1(ta)cos1(),sin(tayttax )cos1(tay 10oyxa 2ABCa2)(2yxx )(1yxx )cos1()sin(tayttax dyyxVay)(2202 dyyxa)(2201 022sin)sin(tdtatta 2023sin)sin(t

6、dttta.633a 2 22)sin(tta tdtasin)(2yxx ay20:t 2可可看看作作平平面面图图 OABCO 与与 OBCO 分分别别绕绕y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积之之差差.11abf(x)yx0-求旋转体体积求旋转体体积求由求由y=f(x),x=a,x=b,y=0围成围成曲边梯形绕曲边梯形绕 y 轴旋转轴旋转xdx二、柱壳法二、柱壳法一周生成旋转体的体积一周生成旋转体的体积.,bax 选取积分变量为选取积分变量为x,dxx 12xabyx0.dxy=f(x)-求旋转体体积求旋转体体积求由求由y=f(x),x=a,x=b,y=0围成围成曲边梯形绕曲边梯形

7、绕 y 轴旋转轴旋转二、柱壳法二、柱壳法一周生成旋转体的体积一周生成旋转体的体积.dxxfxdV|)(|2 x2)(xfdxdxx 13byx0af(x)-求旋转体体积求旋转体体积求由求由y=f(x),x=a,x=b,y=0围成围成曲边梯形绕曲边梯形绕 y 轴旋转轴旋转二、柱壳法二、柱壳法一周生成旋转体的体积一周生成旋转体的体积.,bax 选取积分变量为选取积分变量为x,dxxfxVbay|)(|2 dxxfxdV|)(|2 14利用利用柱壳法柱壳法公式，可知上例中公式，可知上例中dxxfxVay|)(|220 20)sin()cos1()sin(2ttadtatta 2023)cos1)(s

8、in(2dtttta.633a 求摆线求摆线的一拱的一拱与与y=0所围成的图形绕所围成的图形绕x,y轴旋转而成的旋转体的体积轴旋转而成的旋转体的体积.)cos1(),sin(tayttax Oxya 2xdxx 15解解4,0 y体积微元为体积微元为dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQM柱壳法柱壳法dxyxV 22)3(2.64 dxxx 222)4)(3(2 xdxx 24xy 0 y3 x例例 求由曲线求由曲线及及所围成的图形绕直线所围成的图形绕直线旋转构成旋转体的体积旋转构成旋转体的体积.16解解取坐标如图所示取坐标如

9、图所示.圆的方程为圆的方程为222)(rRyx oxy R rrxxrRd)(222 xVxxrRrrd)(222 22xrRy 22xrRy r r求半径为求半径为r的圆绕同平面内圆外一条直线的圆绕同平面内圆外一条直线旋转成的圆环体的体积旋转成的圆环体的体积,设圆心到直线的设圆心到直线的).(rRR 距距离离为为xxrRrrd422 xxrRrd8022 482rR 222Rr 17轴轴所围成图形绕所围成图形绕和和求抛物线求抛物线yxyxy 2.旋旋转转所所得得旋旋转转体体的的体体积积解解 两曲线的交点为两曲线的交点为).1,1()0,0(和和绕绕y轴轴旋转旋转 yV 1022d)(yy 2

10、xy xy 1yyd)(102 103)1,1(xyO 104)(ydyy 柱壳法柱壳法dxxxxV 102)(2.103 xdxx 18xoab三、平行截面面积为已知的立体的体积三、平行截面面积为已知的立体的体积xdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于体上垂直于一一定轴定轴的各个截面面积，那么，这的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.,)(dxxAdV .)(badxxAV立体体积立体体积19RR xyo解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx x截面面积截面面积,tan

11、)(21tan21)(222 xRyxA 立体立体体积体积dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R y tany例例 一平面经过半径为一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角并与底面交成角,计算这平面截圆柱体所得计算这平面截圆柱体所得立体的体积立体的体积.baxxAVd)(20 作一下垂直于作一下垂直于y轴轴的截面是的截面是截面长为截面长为,2x宽为宽为.tan y矩形矩形截面面积截面面积 tan2)(yxyA tan222yRy yyAVd)(RyyRy022dtan2.tan323 R 可否选择可否选择y作积分变量作积分变量?此时截面面积函数

12、是什么此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积如何用定积分表示体积?R0R OxyR问题：问题：),(yx tany,2xyx21例例 求以半径为求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积的正劈锥体的体积.hRxoyR22解解取坐标系如图取坐标系如图,例例 求以半径为求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积的正劈锥体的体积.hRxoxA(x)RyyA(x)yh 22xRh V=RRxxAd )(RRxxRhd 22hR2 21 23旋转体

13、的体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积 绕绕 轴旋转一周轴旋转一周x绕绕 轴旋转一周轴旋转一周y绕非轴直线旋转一周绕非轴直线旋转一周小小 结结柱壳法柱壳法24已知曲线已知曲线xyln 的一条切线为的一条切线为y=ax，试确定，试确定a的值的值,并求上述曲线及切线与并求上述曲线及切线与x轴所围成图形轴所围成图形绕绕x轴轴旋旋转所得旋转体的体积转所得旋转体的体积.xyln O0 x)ln,(00 xxP1解解 设切点坐标为设切点坐标为)ln,(00 xx则切线斜率则切线斜率 )(0 xyk00lnxx 切点坐标为切点坐标为 (e,1)切线方程为切线方程为ex

14、 0,exy .1ea 01x25解解切点坐标为切点坐标为 (e,1)切线方程为切线方程为,exy 该图形绕该图形绕x轴旋转所得旋转轴旋转所得旋转体的体的体积体积为：为：V edxex022 exdx12ln).3(32e 已知曲线已知曲线xyln 的一条切线为的一条切线为y=ax，试确定，试确定a的值的值,并求上述曲线及切线与并求上述曲线及切线与x轴所围成图形绕轴所围成图形绕x轴旋轴旋转所得旋转体的体积转所得旋转体的体积.xyln O0 x)ln,(00 xxP126,222所确定所确定与与由由设平面图形设平面图形xyxyxA 旋转一周所得旋转体的旋转一周所得旋转体的绕直线绕直线求图形求图形

15、2 xA.体体积积解解xy 12 Vd21111)(yyxx yxd)2(21 yr d21 1r yr d22 2ryyVd122 yy d)1(22 .3222 0101AOxyyyxx )(22dyx22)2(dyyy)1(1222 xxxxxVd)-2)(2(2102 柱壳法柱壳法.3222 27解解xyo 14yxy交点交点),1,4(立体体积立体体积dyxVy 12dyy 1216 116y.16 1 y 求求曲曲线线4 xy，1 y，0 x所所围围成成的的图图形形绕绕y轴轴旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积.28及及和和直直线线是是由由抛抛物物线线设设2,221 xaxxy

16、D所围成的平面区域所围成的平面区域;和和是是由由抛抛物物线线222xyD axy ,0所围成的平面区域所围成的平面区域;其中其中.20 a(1)试求试求D1绕绕x轴轴旋转而成的旋转体体积旋转而成的旋转体体积V1;试求试求D2绕绕y轴轴旋转而成的旋转体体积旋转而成的旋转体体积V2;(2)问当问当a为何值时为何值时,V1+V2取得最大值取得最大值?试求此最大值试求此最大值.0 y直线直线22xy a21D2D解解(1)1V)32(545a 2V4a xxd)2(22 2a222aa yyd2 22a0(2)21VVV 45)32(54aa aV 0)1(43 aa)2,0(1 a(唯一驻点唯一驻点).5129 最大值最大值xyO29解解求交点求交点 cos1cosrr3 由对称性由对称性 A.3127 2 drA2)(21 d)cos1(212 03 dcos2122 3 cos1 r cos rxyO12 30作业作业P 2572.6.8.9.13.习题习题7-3