量子力学物理课程论文

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1、对称性与守恒量的探究及其应用XX(61010XXX)（东南大学吴健雄学院，南京 211189）摘 要： 本文详细论述了量子力学中的守恒量和对称性的定义及相互之间的关系，并且与经典力学作了对比， 以课本知识为基础，对其做了深入的探讨，清晰地展示了守恒量与对称性的推导，并且对二者的应用做了详细的介 绍。关键词： 守恒量；对称性The discussion and applications of theconservation quantity and the symmetrytransformationXX(Chien-Shiung Wu College, Southeast University

2、, Nanjing, 211189)Abstract: The relati on ship betwee n con servati on qua ntity and symmetry tra nsformati on and the defi niti ons of them was discussed, and they were also compared with ones in classical mechanics. Based on the content of textbook, the derivation of them was shown. Besides, the a

3、pplications of them were also talked in the essay.key words: The conservation quantity; The symmetry transformation经典力学中守恒量与对称性之间存在的联系 在经典力学中，守恒定律与体系对称性之间有早在19世纪中叶就已被人们认识到，而守恒量与对 称,性的密切联系及广泛应用是在量子力学建立以 后才深入到物理学的日常语言中来的，找出了一个 体系的守恒量，往往可以使问题的处理大为简化。 因此，对守恒量和对称性的研究探讨是很有意义的。1.守恒量作者简介： XX密切联系。在一个体系中有的力学量

4、是不随时间改 变的，这种力学量称为守恒量。对于用Lagrange函数描述的体系，如果在空间 坐标平移具有不变性，则体系的动量守恒，若具有 空间旋转不变性，则角动量守恒。Lagrange函数时 间平移的不变性，将导致体系的能量守恒。在量子力学发展以后，守恒定律与对称性的关 系更为显著应用，这与态叠加原理有着密切的联 系。与经典力学相比，量子力学关于对称性的研究，大大丰富了对体系的认识。处理实际问题时，也能 因找到某些守恒量，使问题求解简化。1.1 守恒量的定义及判定量子力学体系的一个不显含时间t的物理量F,若与体系的哈密顿量H对易，即 F, H二0,贝I称F是体系的一个守恒量。守恒量在任意状态下

5、（指在定态或者非定态下）的平均值都不随时间变化，即dFdt1）所以守恒量的判定条件为：6Fi+ - H, F = 0(2)dt n但一般来说，力学量算符一般都不显含t,即等 式的第一项为零，所以在量子力学中，看力学量是否与哈密顿量对易，即是否满足F,H二0即可， 中, F没有确定的值。F守恒是指在状态中，它的平 均值不变，及取值的几率不变。如在中心立场中的 无自旋粒子，其轨道角动量守恒，但它的波函数并 不一定是角动量的本征态。（2）量子力学中各守恒量并不一定都可以同时 取确定的值。例如在中心立场中的无自旋粒子，轨 道角动量守恒，所以L的三个分量L ,L ,L都守 xyz 恒，但L ,L ,L之

6、间相互不对易，所以它们一般不 xyz 能同时取确定的值。之所以在量子力学中有所不同，实质上是因为 测不准原理。测不准原理是W.Heisenberg在1927年提出的， 后来根据波恩对波函数的统计诠释严格证明，并使 其表述和含义更准确。 海森堡测不准关系式Ax Ap 23)该关系式反映了波粒二象性，划分了经典粒子及力 学量的概念对微观粒子的适用度。在普朗克常数 hT0的情况下，量子效应可以忽略，就可以看成 经典力学中的现象。利用德布罗意关系式，可以把 波动性和粒子性联系起来。满足这个条件的即为守恒量。2.对称性1.2守恒量的特点及其与经典力学的比较守恒量作为体系中一种特殊的力学量，有别于 其他量

7、的特点是：（1）在体系的任何状态下（定态或非定态），它 的各种可能测值（本征值）的几率都不随时间变化。 只有在非定态且力学量为非守恒量时，力学量的几 率分布及平均值分布才随时间变化。（2 ）若在初始时刻体系出于守恒量F的某一个本 征态，贝将继续保持该本征态。由于守恒量的这一 特点，它的量子数称为好量子数。（3）若在初始时刻体系并不处于守恒量F的本征 态，贝I以后也不处于F的本征态，但测量F的取值几 率分布都不随时间变化。与经典力学的比较：（1） 与经典力学不同，量子力学的守恒量并不 意味着在任何状态屮下都有确定的值。这是因为一 个任意状态一般不是力学量F的本征态，在状态屮2.1对称性的定义对称

8、性概念总是和某种变换下的不变性相联 系。所谓的对称性,一般是指体系的Lagrange量或 哈密顿量在某种变换下具有不变性。这些对称性变 换, 包括连续变换（如时间平移等）、分力变换（如空 间反演等）和对内禀参量的变换 （如电荷共轭变换 等），而每一种变换下的不变性，都对应着一种守 恒率，也一定意味着存在着某种不可观测量或不可 分辨性，例如：时间平移不变性对应着能量守恒， 意味着时间原点不可观测；空间平移不变性对应着 动量守恒, 意味着空间的绝对位置不可观测；空间 转换不变性对应着角动量守恒，意味着空间的绝对 方向不可观测。2.2量子力学中对称性变换的条件一个量子体系的态屮随时间的演化，遵守薛定

9、 谔方程：d八ih 屮二 H屮(4)dt设体系在某种线形变换Q (存在逆变换Q-1,不显 含 t )屮二 Q屮(或屮二 Q-1W )(5)体系在变换Q下的不变性表现为：屮与屮遵守相 同的动力学规律，即要求屮也遵守a入ih 屮二 H 屮(6)at即：aih Q屮二 HQ 屮(7)at用Q-1运算得：aih 屮二 Q-HQ屮(8)at用薛定谔方程(4)比较, 不变性要求表现为：八八八/Q-1HQ=H(9)即：八八八 八八八Q,H=0(Q H Q)(10)这就是体系哈密顿量在变换 Q 下不变性的数 学表达， 凡满足式(10)的变换， 称为体系的对称 性变换。而式(10)成立与否取决于体系哈密顿量 的

10、对称性。按式(10)要求，体系在Q变换下的不 变性Q,H =0就导致F,H=o， F就是体系的一 个守恒量。所以说, 利用对称性来处理物理问题的 一个很重要方面， 就是分析守恒量。2.3空间反射性和宇称守恒在空间反射变换I作用下，屮(x,y,z) TI屮 T 屮(-x,-y,-z)(11) 即I +=1。如果系统是空间反演对称的，那就要求 H,I=o，I本身就是一种守恒量的算符。I的本 征值i为+1或-1，当为+1时为偶宇称态，-1则为奇宇 称态。宇称守恒要求状态波函数的奇偶性不随时间变化。3.守恒与对称的应用3.1守恒量在求解本征值问题中的应用由定理：设体系有两个守恒量 F ， G ， 但

11、F,G丰o，则一般来说体系能级是简并的。我们 知道分析守恒量，能帮助我们判断能级简并。如果体系存在某守恒量F，但体系的某条能级E又无简并态，即对应能级E只有一个态屮，则可E以判定这个屮 态也是F的本征态。E实际解决问题时，如碰到能级不简并的，当能 量的本征值确定时，即确定了本征态。倘若遇到能 级简并的，且能找到一个守恒量F，则可以通过求 能量本征态和守恒量F的本征态，再用F的本征 值区分不同的本征态。3.2 动力方程的求解化简对称性可能导致一些物理量之间存在某种关 系， 从而使问题简化。另外， 对称性往往导致某种 守恒量， 利用它们可以使动力学方程的求解化简。很明显，I是线性算符，并且它是厄米

12、算符,dl dr=()x p+r x (dt dtdp )=v x p+r x (-W (r) dt如物体在中心力场V(r)中运动，相对于力心的 轨道角动量l=r x p是守恒量，因为1 dv=-( )()r x r=0(11)r dt即：l是一个运动积分，由初值决定。这样， 含时间二阶微商的牛顿方程就可化为含 时间一阶微商的方程。 所以说， 利用对称性来处理 物理问题的一个很重要方面就是分析守恒量。3.3空间各向同性体系的求解先考虑它的一种特殊情况， 即体系对于绕某一 轴(z轴)转动的不变性，这时，把体系整个地绕z轴 旋转时， 外界条件没有什么改变，因为并不存在什 么特殊的方向(角度)，所以

13、体系的哈密顿量是不改 变的。设把体系绕z轴转过角度Q的运算记为 R Q)。体系的一个状态，经过R Q)作用后，一 zz般将变成另外一个新的态， 但也可能存在这样一类 特殊的状态屮，它经过R (a)运算之后，得到的 z态与原来的屮态只差一个常数相因子，即R (a艸=e-i5(5为实常数) z类似地可以证明，5与a成比例。因此上式可以改 为R (a艸=e-ima (m为比例常数)z与转角a无关，只与体系所处状态的性质有关。假设体系具有绕z轴旋转的对称性，即 R (a ),HH=0，同时假设在初始时刻(t=0)体系处 z于上述特殊的状态， 即R (a )(0)=e-ima(0) z则以后任何时刻体系

14、所处状态屮(t)仍将具有这种 特性， 即R (a 艸(t)=e-ima(t) z比例常数m并不随时间改变，m是一个运动常数， m 代表体系所处状态的一个守恒量， 就是平常所 说的角动量的z分量。这种特殊的状态，即为角动 量的z分量的本征态。3.4守恒量在散射问题中的应用在散射问题中，入射波通常是用平面波描述。 把平面波按守恒量的本征态分解。使在中心立场中 的影响可以通过得到的分波，一个个处理，使问题 简化，这就是分波法。4.守恒与对称的关联与总结守恒量与对称性不论在经典力学中还是量子 力学中都相互联系，并有着广泛的应用。守恒量总是与体系的某种对称性相联系， 如果 一个体系存在一个守恒量, 则体

15、系一定具有相似的 某种对称性, 反之则不一定正确。这一点在经典力 学中和量子力学中是相同的， 但在量子力学中守恒 量的含义与在经典力学中的有所不同 ， 其根源在 于量子态的描述和经典力学态的描述不同， 这正是 微观粒子具有波动性的反映。量子力学中的守恒量， 有一些有经典对应。 例 如：能量、动量、角动量等， 它们是与连续对称性 变换相应的守恒量。 但有一些可观测量并无经典对 应， 因此， 当它们作为量子体系的守恒量时， 所相 应的对称性变换在经典力学中并不导致什么有意 义的守恒量(例如空间反射不变性)， 或者守恒量 消失(例如自旋)， 或者那种对称性变换在经典力 学中根本没有多大价值(例如全同粒子的置换对称 性)。一般而言，在一个体系中物理量总是要变的， 但守恒量作为一个特殊的力学量存在系统中，给解 决问题提供了简便的方法(如分波法)，或者说它 本身就简化了问题。各类主要文献的著录格式如下：1 陆果等. 基础物理学教程(下卷) 高等教育出版2 汪德新 量子力学(第三版) 科学出版社2 程守珠，江之永等 . 普通物理学. 高等教育出版社