《线性规划对偶理论》PPT课件

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1、1运筹学Operations Research王慧王慧东南大学经济管理学院电子商务系暨管理工程研究所2线性规划对偶理论p线性规划对偶理论概述p线性规划对偶问题提出p线性规划对偶问题规范形式p线性规划对偶问题一般形式p线性规划对偶问题基本性质p线性规划对偶问题的经济解释3线性规划对偶理论概述 p线性规划对偶理论自1947年提出以来，已经有了很大发展，已成为线性规划的必不可少的重要基础理论。p对偶理论是线性规划中的一个最重要的最有趣的概念。支持对偶理论的基本思想是，每一个线性规划问题都存在一个与其对偶的问题。在求出一个问题解的时候，也同时给出了另一问题的解。p线性规划对偶问题以及对偶理论中对偶定理

2、的运用是线性规划中主要考点。4对偶问题的提出 5对偶问题的提出6对偶问题的提出pLP1与与LP2 两个线性规划问题的两个线性规划问题的表现形式和系数之间存在许多对表现形式和系数之间存在许多对应关系。应关系。并且并且p我们称前者为原问题，后者是前我们称前者为原问题，后者是前者的对偶问题。者的对偶问题。wzminmax7规范形式下对偶关系的一般形式 8规范形式下对偶关系的一般形式 9规范形式原问题与对偶问题变换规则 10线性规划问题对偶问题举例 例例3.1 写出下列线性规划问题的对偶问题写出下列线性规划问题的对偶问题11非规范形式的对偶关系 12如何直接写出非对称形式的对偶问题13如何直接写出非对

3、称形式的对偶问题14原问题（或对偶问题）原问题（或对偶问题）对偶问题（或原问题）对偶问题（或原问题）目标函数目标函数max目标函数系数（资源限量）目标函数系数（资源限量）约束条件系数矩阵约束条件系数矩阵A(AT)目标函数目标函数min资源限量（目标函数系数）资源限量（目标函数系数）约束条件系数矩阵约束条件系数矩阵AT(A)变变量量n个变量个变量第第j个变量个变量0第第j 个变量个变量0第第j个变量无约束个变量无约束约约束束 n个约束个约束第第j个约束为个约束为第第j个约束为个约束为第第j个约束为个约束为=约约束束m个约束个约束第第i个约束个约束第第i个约束个约束第第i个约束为个约束为=变变量量

4、m个变量个变量第第i个变量个变量0第第i个变量个变量0第第i个变量无约束个变量无约束 表表3-115如何直接写出非对称形式的对偶问题只要记住规范形式下的对偶关系以及上述规则，就可以准确只要记住规范形式下的对偶关系以及上述规则，就可以准确无误并很快写出其对偶问题。无误并很快写出其对偶问题。16【例【例3.3】写出下列线性规划的对偶问题】写出下列线性规划的对偶问题 0,0,1482105618827945min43213214243214321xxxxxxxxxxxxxxxxxZ无约束【解】目标函数求最小值，应将【解】目标函数求最小值，应将表表31的右边看作原问题，左边的右边看作原问题，左边是对偶

5、问题，原问题有是对偶问题，原问题有3个约束个约束4个变量，则对偶问题有个变量，则对偶问题有3 个变量个变量4个约束，对偶问题为：个约束，对偶问题为：123131231312max1810147226885wyyyyyyyyyyyy=1549y10，y20，y3无约束17线性规划对偶问题的基本性质 下面下面介绍介绍对偶基本性质时，一般假定是如下规范对偶关系。对偶基本性质时，一般假定是如下规范对偶关系。0maxXbAXCXZ对偶问题是（记为对偶问题是（记为DP）：）：0minYCYAYbw这里这里A是是mn矩阵矩阵X是是n1列向量，列向量，Y是是1m行向量。假设行向量。假设Xs与与Ys分别是（分别

6、是（LP）与（）与（DP）的松驰变量。）的松驰变量。设原问题是（记为设原问题是（记为LP）：）：18【性质【性质1】对称性对称性 对偶问题的对偶是原问题。对偶问题的对偶是原问题。【证】设原问题是【证】设原问题是0,maxXbAXCXZ0,minYCYAYbw它与下列线性规划问题是等价的：它与下列线性规划问题是等价的：0,)max(YCYAYbw再写出它的对偶问题。再写出它的对偶问题。0,)min(XbAXCXw它与下列线性规划问题是等价的它与下列线性规划问题是等价的0,maxXbAXCXZ即是原问题。即是原问题。可知，它的对偶问题是可知，它的对偶问题是19【证】因为【证】因为X、Y是可行解，故

7、有是可行解，故有AXb,X0及及YAC，Y0,将不等式将不等式 AXb【性质【性质2】弱对偶性弱对偶性 设设X、Y分别为分别为LP(max)与与DP(min)的可行解，则的可行解，则 bYCX00两边左乘两边左乘Y，得，得Y0AXY0b再将不等式再将不等式YAC两边右乘两边右乘X，得，得C XYAX故故 C XYAXYb这一性质说明了两个线性规划互为对偶时，求最大值的线性这一性质说明了两个线性规划互为对偶时，求最大值的线性规划的任意目标值都不会大于求最小值的线性规划的任一目规划的任意目标值都不会大于求最小值的线性规划的任一目标值，标值，不能理解为原问题的目标值不超过对偶问题的目标值不能理解为原

8、问题的目标值不超过对偶问题的目标值。20【性质【性质3】无界性无界性 若原问题（对偶问题）有无界若原问题（对偶问题）有无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。解，则其对偶问题（原问题）无可行解。可理解为：在互为对偶的两个问题中，若一个问题可行且具有无可理解为：在互为对偶的两个问题中，若一个问题可行且具有无界解，则另一个问题无可行解界解，则另一个问题无可行解证：假定原问题有无界解，对偶问题有可行解证：假定原问题有无界解，对偶问题有可行解 Y，Yb。原问题有无界解，即存在。原问题有无界解，即存在C X，根据若，根据若对偶性有，对偶性有，Yb C X ，显然矛盾，故命题成立。，显然矛盾，故命题成立。

9、注意注意：（：（1）这个定理的逆定理不成立，即若一个问题无可这个定理的逆定理不成立，即若一个问题无可行解，另一问题不一定有无界解，也可能无可行解；行解，另一问题不一定有无界解，也可能无可行解；（2）若原问题可行且另一个问题不可行，则原问题具）若原问题可行且另一个问题不可行，则原问题具有无界解有无界解21例如：例如：0,22212min21212121xxxxxxxxz无可行解，而对偶问题无可行解，而对偶问题0,221122max21212121yyyyyyyyw有可行解，由性质（有可行解，由性质（3）知必有无界解。）知必有无界解。22【性质【性质4】最优性定理】最优性定理 设设X0与与Y0分别

10、是（分别是（LP）与（）与（DP）的可）的可行解，则当行解，则当C X0=Y0b 时，时，X0、Y0是（是（LP）与（）与（DP）的最优解）的最优解【证】若【证】若C X0=Y0b，由性质，由性质2，对偶问题的所有可行解，对偶问题的所有可行解Y都都存在存在 Y b CX。因为。因为C X0=Y0b，所以，所以Y b Y0b，可见，可见Y0是使目标函数取值最小的可行解，因而是使目标函数取值最小的可行解，因而Y0是最优解。同理可是最优解。同理可证，证，X0是最优解是最优解23【性质【性质5】弱对偶性若互为对偶的两个问题其中一个有弱对偶性若互为对偶的两个问题其中一个有最优解，则另一个也有最优解，且最

11、优值相同。最优解，则另一个也有最优解，且最优值相同。【证】设（【证】设（LP）有最优解）有最优解X0,那么对于最优基那么对于最优基B必有必有C-CBB-1A0与与CBB-10，即有，即有YAC与与Y0，这里，这里Y=CBB-1，从而，从而Y是是可行解，对目标函数有可行解，对目标函数有bYbBCXCCXBBB010由性质由性质4知知Y是最优解。是最优解。由性质由性质 5 还可推出还可推出另一结论另一结论：若（：若（LP）与（）与（DP）都有可行解，）都有可行解，则两者都有最优解，若一个问题无最优解，则另一问题也无最优则两者都有最优解，若一个问题无最优解，则另一问题也无最优解。解。24【例【例3.

12、4】证明下列线性规划无最优解：证明下列线性规划无最优解：3,2,1,0324min32131321jxxxxxxxxxZj【证】容易看出【证】容易看出X=（4，0，0）是一可行解，故问题可行。对）是一可行解，故问题可行。对偶问题偶问题0,0121134max212122121yyyyyyyyyw将三个约束的两端分别相加得将三个约束的两端分别相加得而第二个约束有而第二个约束有y21，矛盾，故对偶问，矛盾，故对偶问题无可行解，题无可行解，因而原问题具有无界因而原问题具有无界解，即无最优解。解，即无最优解。212y25【性质【性质6】互补松弛定理】互补松弛定理 设设X0、Y0分别为（分别为（LP）与

13、（）与（DP）的可）的可行解，行解，XS和和YS是它的松弛变量的可行解，则是它的松弛变量的可行解，则X0和和Y0是最优解当且是最优解当且仅当仅当YSX0=0和和Y0XS=0【证】设【证】设X和和Y是最优解是最优解,由性质由性质4，C X0=Y0b，由于，由于XS和和YS是松弛变量，则有是松弛变量，则有A X0XSbY0AYS=C将第一式左乘将第一式左乘Y0，第二式右乘，第二式右乘X0得得Y0A X0Y0XSY0bY0A X0YS X0=C X026显然有显然有 Y0XS=YS X0又因为又因为Y、Xs、Ys、X0，所以有，所以有YXS=0和和YS X=0成立。成立。反之，反之，当当YXS=0和

14、和YS X=0时，有时，有YA XYbYA X=C X显然有显然有Y0b=C X,由性质由性质4知知Y与与X是（是（LP）与（）与（DP）的最）的最优解。证毕。优解。证毕。27性质性质6告诉我们已知一个问题的最优解时求另一个问题的最优解告诉我们已知一个问题的最优解时求另一个问题的最优解的方法，即已知的方法，即已知Y*求求X*或已知或已知X*求求Y*。Y*XS=0和和YS X*=0两式称为互补松弛条件。将互补松弛条件写成下式两式称为互补松弛条件。将互补松弛条件写成下式*1*100ijmiSinSjjy xy x由于变量都非负，要使求和式等于零，则必定每一分量为零，由于变量都非负，要使求和式等于零

15、，则必定每一分量为零，因而有下列关系：因而有下列关系：28(1)当yi*0时，,反之当 时yi*=0；0iSx0iSx*(2)00,00jjSjjSyxxy时反之当时利用上述关系，建立对偶问题（或原问题）的约束线性方程组，利用上述关系，建立对偶问题（或原问题）的约束线性方程组，方程组的解即为最优解。方程组的解即为最优解。性质性质6的结论和证明都是假定（的结论和证明都是假定（P）与（）与（D）为对称形式，事实）为对称形式，事实上对于非对称形式，性质上对于非对称形式，性质6的结论仍然有效。的结论仍然有效。【例【例3.5】已知线性规划已知线性规划3,2,1,0162210243max32132132

16、1jxxxxxxxxxxzj的最优解是的最优解是 求对偶问题的最优解。求对偶问题的最优解。TX)0,2,6(29【解】对偶问题是【解】对偶问题是0,1422321610min2121212121yyyyyyyyyyw因为因为X10，X20，所以对偶问题的第一、，所以对偶问题的第一、二个约束的松弛变量等于零，即二个约束的松弛变量等于零，即422322121yyyy解此线性方程组得解此线性方程组得y1=1,y2=1,从而对偶问题的最优解为从而对偶问题的最优解为Y=（1，1），最优值），最优值w=26。30【例【例3.6】已知线性规划已知线性规划 无约束321321321321,0,06422min

17、xxxxxxxxxxxxz的对偶问题的最优解为的对偶问题的最优解为Y=（0，2），求原问题的最），求原问题的最优解。优解。【解】对偶问题是【解】对偶问题是021264max2121212121yyyyyyyyyyw无约，31解方程组得：解方程组得：x 1=5,x 3=1,所以原问题的最优解为所以原问题的最优解为X=（5，0，1），最优值），最优值Z=12。643131xxxx因为因为y20，所以原问题第二个松弛变量，所以原问题第二个松弛变量 =0，由，由y1=0、y2=-2知，松弛变量知，松弛变量 ，故，故x2=0，则原问题的约束条件为线性方程组：，则原问题的约束条件为线性方程组：0,1,03

18、21SSSyyy2Sx323334353637【性质【性质7】互补对偶性】互补对偶性LP(max)的检验数的相反的检验数的相反数对应于数对应于DP(min)的一组基本解的一组基本解.其中第其中第j个决策变量个决策变量xj的检验数的相反数对应于的检验数的相反数对应于（DP）中第）中第j个松弛变量个松弛变量 的解，第的解，第i个松弛变个松弛变量量 的检验数的相反数对应于第的检验数的相反数对应于第i个对偶变量个对偶变量yi的解。反之，（的解。反之，（DP）的检验数（注意：不乘负）的检验数（注意：不乘负号）对应于（号）对应于（LP）的一组基本解。）的一组基本解。互补的两个基解所对应的目标值相等。互补的

19、两个基解所对应的目标值相等。证明略。证明略。jSyiSx38【例【例3.9】线性规划线性规划0,442226max32131321321xxxxxxxxxxxz（1）用单纯形法求最优解；）用单纯形法求最优解；（2）写出每步迭代对应对偶问题的基本解；）写出每步迭代对应对偶问题的基本解；（3）从最优表中写出对偶问题的最优解；）从最优表中写出对偶问题的最优解；【解】（【解】（1）加入松弛变量）加入松弛变量x4、x5后，单纯形迭代如表后，单纯形迭代如表2-2所示。所示。39XBx1x2x3x4x5b表表（1）x4x5211024100124j62100表表（2）x1x5101/21/2131/21/2

20、0113j01530表表（3）x1x2100146011246j001122表表3-140最优解最优解X=（4，6，0），最优值），最优值Z=6426=12；（2）设对偶变量为）设对偶变量为y1、y2,松弛变量为松弛变量为y3、y4、y5,Y=（y1、y2、y3、y4、y5），由性质），由性质6得到对偶问题的基本解得到对偶问题的基本解 （y1、y2、y3、y4、y5）=（4，5，1，2，3），即），即 表表22（1）中）中=（6，2，1，0，0），），则则Y（1）=（0，0，-6，2，1）表表22（2）中）中=（0，1，5，3，0），），则则Y（2）=（3，0，0，1，5）表表22（3）中）中=（0，0，11，2，2），），则则Y（3）=（2，2，0，0，11）（3）因为表）因为表31（3）为最优解，故）为最优解，故 Y（3）=（2，2，0，0，11）为对偶问题最优解；）为对偶问题最优解；41对偶问题的基本性质应用举例42对偶问题的基本性质应用举例43对偶问题的经济解释-影子价格 44对影子价格的进一步讨论 45对影子价格的进一步讨论