1.2应用举例公开课

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1、1.2.1.2.应用举例应用举例 解三角形问题是三角学的基本问题之一。解三角形问题是三角学的基本问题之一。什么是三角学？三角学来自希腊文什么是三角学？三角学来自希腊文“三角形三角形”和和“测量测量”。最初的理解是解三角形的计算，。最初的理解是解三角形的计算，后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角后来，三角学才被看作包括三角函数和解三角形两部分内容的一门数学分学科。形两部分内容的一门数学分学科。解三角形的方法在度量工件、测量距离和解三角形的方法在度量工件、测量距离和高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，高度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用，在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角在物理

2、学中，有关向量的计算也要用到解三角形的方法。形的方法。我国古代很早就有测量方面的知识，公元我国古代很早就有测量方面的知识，公元一世纪的一世纪的周髀算经周髀算经里，已有关于平面测量里，已有关于平面测量的记载，公元三世纪，的记载，公元三世纪，我国数学家刘徽在计我国数学家刘徽在计算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就已经取得了某些特殊角的正弦已经取得了某些特殊角的正弦解三角形理论解三角形理论在实际问题中的应用在实际问题中的应用ABABC在B的同一侧选定一点CABCABC55简解简解:由正弦定理可得由正弦定理可得AB/sin=BC/sinA 55若BC=55,

3、=510,=750,求AB的长.ABDABDCABDCa公里公里分析：在四边形分析：在四边形ABCDABCD中欲求中欲求ABAB长，只能去解三长，只能去解三角形，与角形，与ABAB联系的三角形有联系的三角形有ABCABC和和ABDABD，利，利用其一可求用其一可求ABAB。0sin(sin(sin180()sin()aaADCAC）在中，0sinsinsin180()sin()aaBDCC在中，B222cos.ABCACBCACBC在中，AB=一艘船以一艘船以32.2n mile/h32.2n mile/h的速度向的速度向正北航行。在正北航行。在A A处看灯塔处看灯塔S S在船的北偏东在船的北

4、偏东2020o o的方向，的方向，30min30min后航行到后航行到B B处，在处，在B B处看灯塔处看灯塔在船的北偏东在船的北偏东6565o o的方向，已知距离此灯塔的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？这艘船可以继续沿正北方向航行吗？11545sin2016.1sin207.787()sin45sin45,sin657.06()6.5ASBSBASABBSnmileSABhhBSnmilehnmile Q解：在中，由正弦定理得设点 到直线的距离为 则此船可以继续沿正北方向航行答：此

5、船可以继续沿正北方向航行 如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算如图，自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆油泵顶杆BC的长度（如图）已知车厢的最大仰角为的长度（如图）已知车厢的最大仰角为60，油，油泵顶点泵顶点B与车厢支点与车厢支点A之间的距离为之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的与水平线之间的夹角为夹角为 ，AC长为长为1.40m，计算，计算BC的长（保留三个有效数的长（保留三个有效数字）字）6 20（1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）例题中涉及一个怎样的三角）例题中涉及一个怎样的三

6、角形？形？在在ABC中已知什么，要求什么？中已知什么，要求什么？0600260.,0266,40.1,95.10求第三边的长夹角的两边已知AACABABC抽象数学模型m95.1m40.1CAB:已知已知ABC的两边的两边AB1.95m，AC1.40m，夹角，夹角A6620，求，求BC解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得751.30266cos40.195.1240.195.1cos222222 AACABACABBC)(89.1m BC答：顶杆答：顶杆BCBC约长约长1.89m。B(B0)CA(A0)图图1CBAB0A0图图2c练习练习3 3：下图是曲柄连杆机构的示意图。当曲柄下图是曲柄连杆机

7、构的示意图。当曲柄CBCB绕绕C C点旋点旋转时，通过连杆转时，通过连杆ABAB的传递，活塞作直线往复运动。当曲柄的传递，活塞作直线往复运动。当曲柄在在 位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点端点A A在在 处。设连杆处。设连杆ABAB长为长为 cm,cm,曲柄曲柄CBCB长为长为60cm,60cm,曲柄自曲柄自 按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转6060，求活塞移动的距离。，求活塞移动的距离。60 3CBCBo0A解：解：2136060sin60sinsin0ABCBCAABC中由正弦定理可得在009030BAAABBC为锐角cmBCAC12030sin0

8、ACCAAA00。）（答：活塞移动的距离为cm60360A0AB0BC6036060)(60360)(cmACBCAB总结总结实际问题实际问题抽象概括抽象概括示意图示意图数学模型数学模型推理推理演算演算数学模型的解数学模型的解实际问题的解实际问题的解还原说明还原说明3,.ABBAAB例、是底部 不可到达的一个建筑物为建筑物的最高点设计一种测量建筑物高度的方法,HGH G B解：选择一条水平基线使三点在同一条直线上。,H GCDa由在两点用测角仪测得A的仰角分别是，测角仪器的高是h.sinACDAC,sin()a在中，=AB=AE+h =ACsin+hsinsin =.sin()ah).1(,3

9、.27.150,4054,400mDCmBCACAB精确到求出山高部分的高为塔已知铁角处的俯处测得在塔底的俯角面上一点处测得地铁塔上在山顶、如图例00C,90,.ABCBAD解：在 AB 中，BCA=90+-,BAC=0sin()cos.sin()sin()BCBC90+根据正弦定理，AB=Rtcossin.sin()BC解ABD,得BD=ABsin BADcossin.sin()BCBCCD=BD-BC=150).m把测量数据代人，CD（150.答：山的高度约为米000,7567.5,3254.0.,(0.1,0.01).AnmileBBnmileCACnmile例6、如图 一艘海轮从 出发

10、 沿北偏东的方向航行后到达海岛然后从 出发 沿北偏东的方向航行后到达海岛如果下次航行直接从 出发到达此船应该沿怎样的方向航行 需要航行多少距离 角度精确到距离精确到例例5:我海军舰艇在我海军舰艇在A A处获悉某渔船发出的求救信号后处获悉某渔船发出的求救信号后,立立即测出该渔船在方位角即测出该渔船在方位角(指由正北方向顺时针旋转到目标指由正北方向顺时针旋转到目标方向的水平角方向的水平角)为为 ,距离距离A A为为1010海里的海里的C C处处,并测得渔船并测得渔船正沿方位角正沿方位角 的方向以的方向以9 9海里海里/时速度向某岛时速度向某岛P P靠拢靠拢,我我海军舰艇立即以海军舰艇立即以2121

11、海里海里/时的速度前去营救时的速度前去营救,试问舰艇应试问舰艇应按照怎样的航向前进按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用时间。并求出靠近渔船所用时间。0450105北北北北BCA045010510X21X9解：解：。则小时，处靠近渔船所用的时间设舰艇从10,9,21ACxBCxABxA0000120)105180(45ACB010936120cos9102)9(1021120cos2202220222xxxxxBCACBCACAB即）则（由余弦定理可得)(125,3221舍去解得xx10142610142cos69,1421222222ACABBCACABBACxBCxAB再由余弦定理可得92

12、86.0078.21BAC00078.6678.2145小时。近渔船需要的方位角方向航行，靠答：舰艇应以3278.660练习：练习：解：如图，在解：如图，在ABC中由余弦定理得：中由余弦定理得：784)21(201221220cos222222 BACACABABACBCA 1 我舰在敌岛我舰在敌岛A南偏西南偏西50相距相距12海里的海里的B处，发现敌舰正处，发现敌舰正由岛沿北偏西由岛沿北偏西10的方向以的方向以10海里海里/小时的速度航行问我舰需小时的速度航行问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？小时追上敌舰？CB405010 我舰的追击速度

13、为我舰的追击速度为14n mile/h28 BC 又在又在ABC中由正弦定理得：中由正弦定理得：sinsinACBCBA1435arcsin B 故我舰行的方向为北偏东故我舰行的方向为北偏东.1435arcsin50）（sin5 3 sin14ACABBC故练习练习2：如下图，已知半圆的直径如下图，已知半圆的直径AB=2，点，点C在在AB的延长线上，的延长线上，BC=1，点，点P为半圆上的动为半圆上的动点。以点。以PC为边作等边为边作等边PCD，且点，且点D与圆心与圆心O分别在分别在PC的两侧，求四边形的两侧，求四边形OPDC的面积的的面积的最大值。最大值。CPDOAB解：解：。，四边形的面积

14、为设yPOBcos2222OCOPOCOPPCPOC中，由余弦定理得则在cos45PCDOPCSSy435cos3sin)cos45(3sin21sin2121435)3sin(2435)cos23sin21(243526523maxy时，即当:三角形面积公式CabSsin21Bacsin21Abcsin212,(0.1).ABCScm例7、在中 根据下列条件 求三角形的面积精确到;5.148,5.23,8.14)1(0Bcmccma已知;16.3,8.65,7.62)2(00cmbCB已知.7.38,3.27,4.41)3(cmccmbcma已知,:ABC例9、在中 求证222(2)2(co

15、scoscos).abcbcAcaBabC.,:系或者全部转化为角的关化为边的关系全部转系恒等式证明三角形中的边角关222222sinsin(1);sinabABcC1、解决应用题的思想方法是什么？解决应用题的思想方法是什么？2、解决应用题的步骤是什么？、解决应用题的步骤是什么？实际问题实际问题数学问题（画出图形）数学问题（画出图形）解三角形问题解三角形问题数学结论数学结论分析转化分析转化检验检验小结：小结：把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想。把实际问题转化为数学问题，即数学建模思想。1 1、审题（分析题意，弄清已知和所求，、审题（分析题意，弄清已知和所求，根据提意，画出示意图；根据提意，画出示意图；2.2.建模（将实际问题转化为解斜三角形建模（将实际问题转化为解斜三角形的数学问题）的数学问题）3.3.求模（正确运用正、余弦定理求解）求模（正确运用正、余弦定理求解）4 4，还原。，还原。小结：求解三角形应用题的一般步骤：小结：求解三角形应用题的一般步骤：