线性代数第一章行列式第一节

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1、 电子课件电子课件 线线 性性 代代 数数线性线性代数代数行列式行列式矩矩 阵阵向量向量空间空间线性方程组线性方程组相似变换及其二次型相似变换及其二次型 n n阶行列式的定义阶行列式的定义 行列式的性质行列式的性质 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开 克莱姆法则克莱姆法则第一节、行列式的概念行列式的概念 二阶和三阶行列式二阶和三阶行列式 n n阶行列式的定义阶行列式的定义 几种特殊的行列式几种特殊的行列式2211aa.2112aa 二阶行列式二阶行列式一、二阶和三阶行列式二阶和三阶行列式22211211aaaa11 112 2121 122 22a xa xba xa xb1 222 1

2、211 221 11211 2212 2111 2212 21,babaa ba bxxa aa aa aa a设二元线性方程组 用消元法解得 令 称为二阶行列式二阶行列式222112112211112222112112221211,aaaababaxaaaaababx则333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa.322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 同理引进三阶行列式同理引进三阶行列式三元线性方程组 111122133121122223323113223333a xa xa xba xa xa xba

3、 xa xa xbDbaabaabaaxDabaabaabaxDaabaabaabx332312222111211333331232211311123332323222131211,的解为：D=把把n个不同元素排成一列称为这个不同元素排成一列称为这n个元素个元素 的的全排列全排列。(简称排列）简称排列）用用Pn表示所有排列的种数。表示所有排列的种数。定义定义称在称在 n!种排列中从小到大次序的那个排列为种排列中从小到大次序的那个排列为自然排列自然排列（或标准排列）（或标准排列）.注意注意：不失一般性，我们将不失一般性，我们将 n n 个元素看成个元素看成 n n 个自然数，个自然数，为为自自然

4、然排排列列即即n12一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数。一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数。表表示示以以后后用用).(21njjj的的逆逆序序数数排排列列njjj.21在一个排列中在一个排列中,如果一个大的数排在小的如果一个大的数排在小的 数之前数之前,就称这两个数构成一个就称这两个数构成一个逆序逆序。例如例如 排列排列312有有2个逆序，即个逆序，即31；322)312(所所以以定义定义 分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总

5、和即为所求排列的逆序数数之总和即为所求排列的逆序数.方法方法例如例如 求排列求排列32514的逆序数的逆序数.解解 在排列在排列32514中中,3排在首位排在首位,逆序数为逆序数为0;2的前面比的前面比2大的数只有一个大的数只有一个3,故逆序数为故逆序数为1;5的前面没有比的前面没有比5大的数大的数,其逆序数为其逆序数为0;1的前面比的前面比1大的数有大的数有3个个,故逆序数为故逆序数为3;4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个,故逆序数为故逆序数为1;3 2 5 1 40 1 0 3 1于是排列于是排列32514的逆序数为的逆序数为13010 t.5 逆序数为奇数的排列称为奇排列逆序数为

6、奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列。逆序数为偶数的排列称为偶排列。定义定义例如例如 ：排列排列312的逆序数为的逆序数为2，故它是偶排列。，故它是偶排列。3）当每项第一个下标按自然排列时，该项）当每项第一个下标按自然排列时，该项 前面正负号取决于第二个下标排列的奇偶性。前面正负号取决于第二个下标排列的奇偶性。1）二阶行列式有）二阶行列式有2！=2项，项，三阶行列式有三阶行列式有3！=6项。项。2）每项都是分别来自不同的行，不同的）每项都是分别来自不同的行，不同的 列之元素的乘积。列之元素的乘积。特特 点点：列列的的数数表表行行个个数数，排排成成设设有有nnn2nnnnnnaaa

7、aaaaaa212222111211作出表中位于不同的行不同列的作出表中位于不同的行不同列的n个数的乘积，个数的乘积，并冠以符号并冠以符号,)1(t 得到形如得到形如的项，的项，nnjjjtaaa.)1(2121 二、n阶行列式的定义阶行列式的定义定义定义的某一个排列，的某一个排列，为为其中其中njjjn.12.21这样的排列共有这样的排列共有n!个，因而形如上式共有个，因而形如上式共有n!项，项，所有这所有这n!项的代数和项的代数和nnjjjtaaa.12121 ）（为该排列的逆序数。为该排列的逆序数。t称为称为n阶行列式阶行列式记为：记为：nnnnnnaaaaaaaaaD212222111

8、211 简记为简记为).det(ija的的元元素素，称称为为行行列列式式数数)det(ijijaa特别：特别：当当n=1时，一阶行列式时，一阶行列式aa 不要与绝对值符号相混淆。不要与绝对值符号相混淆。当当n=2、3时，与前面定义的二、三阶行列时，与前面定义的二、三阶行列式一致。式一致。行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的的;注注 意意：n阶行列式还可以定义为阶行列式还可以定义为 nniiiniiitaaaD212121)1(),(21niiit 其其中中nii

9、i21是自然数是自然数1，2，3n 的一个排列，的一个排列，式中把列标排成一个式中把列标排成一个自然排列自然排列n 00000021n 21 证：证：iiia 记记三、几种特殊的行列式三、几种特殊的行列式1）主对角行列式主对角行列式nnjjjtaaa.12121 ）（n 00000021则则nnaaa000000221111111110 jjaja即即时时，当当,nnjjnaa 222同同理理：012345tnt的的逆逆序序数数，所所以以为为排排列列.证证：1 iniia，记记 依行列式的定义依行列式的定义000000021n nnjjjtaaa.12121）（nt 211）（2)1()1(2

10、1021)1(nnntnnt所所以以的的逆逆序序数数，为为排排列列000000021n 2)1()1(nnn 212）副对角行列式副对角行列式nnnnaaaaaaD21222111000 nnaaa2211 证证：,0 ijaij时时，由由于于当当故故D D中可能不为中可能不为0 0的元素的元素.,2,1,21npppipni 即即,iipa在所有排列在所有排列中，中，nppp21其下标应有其下标应有能满足上述关系的能满足上述关系的3）下三角行列式下三角行列式排列只有一个自然排列排列只有一个自然排列12n,所以所以D不可能为不可能为零的项只有一项零的项只有一项nntaaa22111）（此时此时

11、t=0nnaaaD2211 所以所以分析：分析：展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是.2121nnpppaaa,npn,11 npn,1,2,3123 ppnpn所以不为零的项只有所以不为零的项只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211 nnntaaa2211121 .2211nnaaa nnnnaaaaaaD00022211211 nnaaa2211 4）上三角行列式上三角行列式行列式的定义行列式的定义 几个特殊的行列式几个特殊的行列式nnnjjjtjjjaaaD.)1(212121主对角行列式主对角行列式下三角行列式下三角行列式上三角行列式上三角行列式)1inj(0aij nniiiniiitaaaD212121)1()ji(0aij 副对角行列式副对角行列式)ij(0aij )ij(0aij 小小 结结