向量组的线性相关性(IV)

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1、Henan Agricultural University 一、解的判定定理 二、方程组的求解 结束回回 顾顾Henan Agricultural University 一、一、n 维向量的定义及线性运算维向量的定义及线性运算 二、向量组的线性相关性的定义二、向量组的线性相关性的定义 三、向量组的线性相关性的判定三、向量组的线性相关性的判定 四、向量组的线性相关性的系列性质四、向量组的线性相关性的系列性质第二节 向量组的线性相关性Henan Agricultural University一、一、n 维向量的定义及线性运算维向量的定义及线性运算1.一维、二维、三维向量，推广到一维、二维、三维向量

2、，推广到 n 维向量维向量v n维向量维向量 n个有次序的数a1 a2 an所组成的数组 (a1 a2 an)或 (a1 a2 an)T分别称为n维行向量行向量或或列向量列向量。向量通常用黑体小写希腊字母、等表示。显然，行向量即为行矩阵，列向量为列矩阵。这n个数称为向量的n个分量 第i个数ai称为第i个分量 分量全为实数的向量称为实向量分量全为实数的向量称为实向量 分量为复数的向量称为复向量分量为复数的向量称为复向量 Henan Agricultural University 行向量与列向量都按矩阵的运算规则进行运算 特别地，向量的加法，向量的数乘，称为向量的特别地，向量的加法，向量的数乘，称

3、为向量的线性运算线性运算。向量的线性运算满足向量的线性运算满足8 8个规则个规则：全体的n维向量的集合关于线性运算是封闭的，我们将该集合称为n维向量空间（或线性空间）。例如，全体3维向量的集合；闭区间上的连续函数的集合；一元n次多项式的集合；实数域上可导函数的集合等，皆为向量空间。2.2.向量的线性运算向量的线性运算Henan Agricultural University 一个mn矩阵对应一个m维列向量组 也对应一个n维行向量组 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 12111maaa 22212maaa mnnnaaa21 )()()(212222111211mnmmnn

4、aaaaaaaaa 线性方程AmnX0的全体解当R(A)n时是一个含无限多个n维列向量的向量组 v向量组 若干个同维数的列向量若干个同维数的列向量(或同维数的行向量或同维数的行向量)所组成的集所组成的集合叫做向量组合叫做向量组 Henan Agricultural University 1.线性组合与线性表示线性组合与线性表示 设 A a1 a2 am是一向量组 表达式 k1a1k2a2 kmam称为向量组A的一个线性组合线性组合 其中k1 k2 km是一组实数 称为这个线性组合的系数 如果向量b是向量组A的线性组合b 1a12a2 mam则称向量向量b能由向量组能由向量组A线性表示线性表示

5、二、向量组的线性相关性的定义二、向量组的线性相关性的定义例如，任一n维向量，都可以由n维基向量线性表示。Henan Agricultural University 例例1 判断向量b1(4 3 1 11)T是否为向量组a1(1 2 1 5)T a2(2 1 1 1)T的线性组合 若是 写出表示式 考虑x1a1x2a2b1 解解 所以R(a1 a2 b1)R(a1 2)从而方程组有解 即b1可由a1 a2线性表示 且存在x12 x21 使2a1a2b1 1113111312421),(121TTTbaa000000110201 000000110421 990330550421 rrr因为111

6、3111312421),(121TTTbaa000000110201 000000110421 990330550421 rrr1113111312421),(121TTTbaa000000110201 000000110421 990330550421 rrr1113111312421),(121TTTbaa000000110201 000000110421 990330550421 rrr v定理定理1 向量b能由向量组A a1 a2 am线性表示的充分必要条件是矩阵A(a1 a2 am)与矩阵B(a1 a2 am b)的秩相等 即R(A)R(B)此为非齐次线性方程组，Henan Agri

7、cultural University2.2.向量组线性相关的定义向量组线性相关的定义 定义定义1 1 向量组A a1 a2 am(m2)线性相关在向量组A中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示 定义定义2 2 给定向量组A a1 a2 am k个数k1 k2 km 构造 k1a1 k2a2 kmam 0 （*）如果存在不全为零的数k1 k2 km 使（*）式成立，称向量组A是线性相关的 否则称它线性无关 这两个定义是等价的：Henan Agricultural University 如果向量组A中有某个向量(不妨设am)能由其余m1个向量线性表示 即有1 2 m1 使am1a12a2 m

8、1am1于是 1a12a2 m1am1(1)am0因为1 2 m1 1不全为0 所以向量组A线性相关 如果向量组A线性相关 则有k1a1k2a2 kmam0其中k1 k2 km不全为0 不妨设k10 于是 a1(1/k1)(k2a2 kmam)即a1能由a2 am线性表示 Henan Agricultural University 例2 设a1(1 2 3)T a2(0 2 5)T a3(2 0 4)T 讨论向量组a1 a2 a3的线性相关性 解 000402520321321 因为 000210201 1050420201 453022201 rr000210201 1050420201 4

9、53022201 rr000210201 1050420201 453022201 rr 考察线性方程组1a12a23a3 0 即 即方程组有非零解 所以向量组a1 a2 a2线性相关 即R(A)n nHenan Agricultural University研究这个例子：因为 000210201 1050420201 453022201 rr(a1 a2 a3)R(A)n n方程组有非零解 向量组a1 a2 a2线性相关 R(A)n n方程组有唯一解 向量组a1 a2 a2线性无关 Henan Agricultural Universityv定理2 向量组a1 a2 am线性相关的充分必要条

10、件是它所构成的矩阵A(a1 a2 am)的秩小于向量个数m 向量组线性无关的充分必要条件是R(A)m 这是因为 向量组A a1 a2 am线性相关 x1a1x2a2 xmam0即Ax0有非零解 R(A)m 判定具体向量组的相关性可以用定义判定具体向量组的相关性可以用定义2 2和定理和定理2 2；判定抽象向量组的相关性用定义判定抽象向量组的相关性用定义2.2.Henan Agricultural University n维单位坐标向量组构成的矩阵为E(e1 e2 en)是n阶单位矩阵 由|E|10 知R(E)n 即R(E)等于向量组中向量个数 所以此向量组是线性无关的 例3 试讨论n维单位坐标向

11、量组的线性相关性 解 向量组a1 a2 am线性无关R(a1 a2 am)m Henan Agricultural University 例4 已知a1(1 1 1)T a2(0 2 5)T a3(2 4 7)T试讨论向量组a1 a2 a3及向量组a1 a2的线性相关性 解 n维单位坐标向量组e1 e2 en是线性无关的 对矩阵(a1 a2 a3)施行初等行变换变成行阶梯形矩阵000220201 550220201 751421201),(321rraaa000220201 550220201 751421201),(321rraaa000220201 550220201 751421201)

12、,(321rraaa 向量组a1 a2 am线性无关R(a1 a2 am)m 可见R(a1 a2 a3)2 R(a1 a2)2 故向量组a1 a2 a3线性相关 向量组a1 a2线性无关 Henan Agricultural University 设有x1 x2 x3使 x1b1x2b2x3b30即 x1(a1a2)x2(a2a3)x3(a3a1)0亦即(x1x3)a1(x1x2)a2(x2x3)a30 因为a1 a2 a3线性无关 故有 例5 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 证法一 000322131xxxxx

13、x 由于此方程组的系数行列式02110011101 故方程组只有零解x1x2x30 所以向量组b1 b2 b3线性无关Henan Agricultural University 把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式 例5 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 证法二 110011101),(),(321321aaabbb 因为矩阵A的列向量组线性无关 所以可推知Kx0 又因|K|20 知方程Kx0只有零解x0 所以矩阵B的列向量组b1 b2 b3线性无关 记作BAK 设Bx0 以BAK代入得A(Kx)0 Henan A

14、gricultural University 例5 已知向量组a1 a2 a3线性无关 b1a1a2 b2a2a3 b3a3a1 试证向量组b1 b2 b3线性无关 证法三 因为A的列向量组线性无关 所以R(A)3 从而R(B)3 因此b1 b2 b3线性无关因为|K|20 知K可逆 所以R(B)R(A)把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式 110011101),(),(321321aaabbb 记作BAK Henan Agricultural University (1)含零向量的向量组必线性相关 (2)一个向量a线性相关 a0 (3)两个非零向量a1 a2线性相关 a1ka2三、向量组的线

15、性相关性的系列性质三、向量组的线性相关性的系列性质(4)若向量组A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am1也线性相关 反之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关 这个结论可叙述为这个结论可叙述为 一个向量组若有线性相关的部分组一个向量组若有线性相关的部分组 则该则该向量组线性相关向量组线性相关 一个向量组若线性无关一个向量组若线性无关 则它的任何部分组都则它的任何部分组都线性无关线性无关 特别地 含零向量的向量组必线性相关Henan Agricultural University 这是因为 记A(a1 a2 am)B(a1 a2 am am1)有R(B)R(A)1

16、若向量组A线性相关 则有R(A)m 从而 R(B)R(A)1m1 因此向量组B线性相关 (4)若向量组A a1 a2 am线性相关 则向量组B a1 a2 am am1也线性相关 反之 若向量组B线性无关 则向量组A也线性无关 Henan Agricultural University (5)m个n维向量组成的向量组 当维数n小于向量个数m时一定线性相关 特别地 n1个n维向量一定线性相关 这是因为 m个n维向量a1 a2 am构成矩阵Anm(a1 a2 am)有R(A)n 若nm 则R(A)nm 故m个向量a1 a2 am线性相关Henan Agricultural University (

17、6)设向量组A a1 a2 am线性无关 而向量组B a1 a2 am b线性相关 则向量b必能由向量组A线性表示 且表示式是唯一的 这是因为 记A(a1 a2 am)B(a1 a2 am b)有即向量b能由向量组A线性表示 且表示式唯一有唯一解(a1 a2 am)xb因此方程组 即有R(B)R(A)m mR(A)R(B)m1 Henan Agricultural University (2)用反证法 假设a4能由a1 a2 a3线性表示 而由(1)知a1能由a2 a3线性表示 例例6 设向量组a1 a2 a3线性相关 向量组a2 a3 a4线性无关 证明 (1)a1能由a2 a3线性表示 (2)a4不能由a1 a2 a3线性表示 (1)因为a2 a3 a4线性无关 所以a2 a3也线性无关 证明证明 因此a4能由a2 a3线性表示 这与a2 a3 a4线性无关矛盾又a1 a2 a3线性相关 所以a1能由a2 a3线性表示 Henan Agricultural University小结相关性的定义相关性的判定方法相关性的性质