MATLAB多项式与符号运算.ppt

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1、 MATLAB的数值计算 matlab 具有出色的数值计 算能力，占据世界上数值计算软 件的主导地位 matlab语言把多项式表达成一个行量， 该向量中的元素是按多项式 降幂 排的。 f(x)=anxn+an-1xn-1+ +loa0 可用行向量 p=an an-1 a1 +a0表示 如： a(x)=2x3+4x2+6x+8; 对应 a=2,4,6,8; b(x)= 2x3+6x+8; b=? 多项式运算 函数 1： ploy2str() 作用：生成多项式表达式的字符串 p =1.00,-6.00,-72.00,-27.00; p是多项式 p(x)=x3-6x2-72x-27的 matlab描

2、述方法，我们可用： a=poly2str(p,x)显示数学多项式的形式 a=x3 - 6 x2 - 72 x 27 并将表达式的结果以字符串的形式赋值给变量 a 函数 2： roots（） 作用： 求多项式的根 a=1,-3,2; %对应多项式 x2-3x+2 %若求 方程 x2-3x+2=0的根 x=roots(a) 则 x = 2 1 matlab规定多项式系数向量用行向量表示， 一组根用列向量表示。 多项式加减运算 计算 a(x)+b(x) 如： 2x3+4x2+6x+8 3x2+6x+9 则： a=2,4,6,8; b=3,6,9 b=0,3,6,9 c=a+b =2,7,12,17

3、2x 3+7x2+612x+17 编写子程序文件自动完成两多项式加减运算 函数文件： function y=polyadd(x1,x2) n1=length(x1); n2=length(x2); if n1n2 x2=zeros(1,n1-n2),x2; elseif n1n时，此方程成为 “ 超定 ” 方程 当 mn时此时不存在唯一解。 方法 1： 方程解 (a a)x=a b x=(a a)-1 a b 求逆法 思考为什么不能 x=inv(a)*b? 方法 2： x=ab matlab用最小二乘 法找一个准确地基本解。 例 : x1+2x2=1 2x1+3x2=2 3x1+4x2=3 a

4、=1 2;2 3;3 4;b=1;2;3; 解 1 x=ab 解 2 x=inv(aa) a b x = x = 1.00 1.00 0 0.00 2 1 x x 3 2 1 = 43 32 21 a x = b 3.欠定方程组的解 当方程数少于未知量个数时 ,即不定 情况 ,有无穷多个解存在。 matlab可用两种方法求解： 方法 1：用除法求的解 x是具有最多零元素 的解 x=ab 方法 2：是具有最小长度或范数的解，这个 解是基于伪逆 pinv求得的。 x=pinv(a)b x1+2x2+3x3=1 2x1+3x2+4x3=2 a=1 2 3;2 3 4;b=1;2; x=ab x=pi

5、nv(a)b x = x = 1.00 0.83 0 0.33 0 -0.17 432 321 3 2 1 x x x 2 1= a x = b 多项式拟合 原理 ： MATLAB通过给定的离散点，找一 个 n次多项式，使所有离散点到多项式 曲线的距离的平方和最小。 准则 ：最小二乘法 拟合函数 ： p=polyfit(x,y,n) 其中 x、 y为离散数据点的坐标向量， n为拟 合次数，即用 n次多项式拟合， p为 n次 多项式的系数 拟合程序例 1： 将下列离散点用直线拟合，并绘制： (0,11.2)、 (0.2,16.5)、 (0.4,20.4)、 (0.6,26.3)、 (0.8,30

6、.5)、 (1,28.7) 编程： x=0:0.2:1; y=11.2,16.5,20.4,26.3,30.5,28.7; a=polyfit(x,y,1); %即用 a1x+a2的直线表达式拟合 %下面开始绘制已经求出的直线 a1x+a2 xi=linspace(0,1,50); yi=polyval(a,xi); %将 xi的每一个元素作为横坐标带入 a1x+a2的表达式中，得出 xi对应的纵坐标 并赋给 yi plot(x,y, o,xi,yi,b); 注意：当拟合次数过高时，会造成曲线的振荡 拟合的次数不允许超过点数，即此例中 n=5 插值拟合 （ 1）插值的定义 是在给定的原始数据点

7、之间用某些 特定的数学算法插入一些数据点，当原始数据点和插入数 据点连线后得到穿过原始数据点的光滑曲线。 （ 2）当不能很快地求出所需中间点的函数时，插值是一 个非常有价值的工具。 （ 3） Matlab提供了线性插值、三次插值和三次样条插值 3 种选择。 直线插值：在原始数据点之间用直线拟合 三次插值及三次样条插值：在原始数据点之间用三 次多项式曲线分段连接 三次插值和三次样条插值的区别 样条插值得到的曲线一阶、二阶导数连 续，而一般的三次插值可能会有一阶和 二阶导数的间断，在有些问题如高速飞 机的机翼外形、内燃机进排气门的凸轮 曲线上不允许出现这样的情况，必须用 样条插值。 插值函数 ：

8、interp1 调用格式 ： interp1(x,y,xi,method) 其中： (1)x、 y为离散数据的坐标向量，要求长度 必须相同 (2)xi为插入点的数据向量 (3)Method为插值方法，为字符串变量 有三种方法供选择： linear、 cubic、 spline 分别表示线性插值、三次插值和三次样条插值 曲线拟合例题 2： 将下列离散点用三次样条插值拟合，并绘制： (0,11.2)、 (0.2,16.5)、 (0.4,20.4)、 (0.6,26.3)、 (0.8,30.5)、 (1,28.7) 程序： x=0:0.2:1; y=11.2,16.5,20.4,26.3,30.5,

9、28.7; xi=linspace(0,1,20); yi=interp1(x,y,xi,spline); %yi=interp1(x,y,xi,linear); %表示线性插值 %yi=interp1(x,y,xi,cubic); %表示三次插值 plot(x,y,o,xi,yi,b); MATLAB在积分求导运算中的应用 （ 1）求单重积分 调用格式： q1=quad(被积函数表达式 ,积分下限 ,积分上限 ) 注意：函数表达式中运算符前面加 “ .” 例：求积分 q1=quad(4*cos(2*t).2+sin(t).2,0,3*pi); 30 22 )(s in)2(c o s4 dt

10、tt (2)双重积分 调用格式： q2=dblquad(被积函数表达式 ,xmin,xmax,ymin,ymax); 注意：函数表达式中运算符前面加 “ .” 例：求 q2=dblquad(y.*sin(x)+x.*cos(y),3*pi,4*pi,pi,2*pi) 2 43 )s ins in( d x d yyxxy 用符号变量运算求积分 (1)用符号变量求不定积分 调用格式： int(被积函数表达式，被积变量 ) 例： syms x y z; %表示声明 3个符号变量 x、 y、 z %注意：变量用空格隔开 int(sin(x*y+z),x) 因为是符号变量运算，所以运算符前不用加 “

11、.” （ 2）用符号变量求定积分 调用格式： int(被积函数表达式，被积变量，积分下限，积分上限 ) 例： syms x; a=int(cos(x),0,pi/6) 例： syms x y; b=int(xy,y,0,pi/6) pretty(b) 注： pretty()可以使结果更加整齐 (3)用符号变量求广义积分 当积分限某一具体数值变为正负无穷时定积分转变为广 义积分，在 MATLAB中也只需将积分限变为 inf或 -inf即可。 例：求函数 g(x)=1/(1+x2)在 1到正无穷的广义积分 程序： syms x; g=1/(1+x2); int(g,1,inf) 例：求函数 f(x

12、)=1/(x2+2x+3)在负无穷到正无穷的广义积分 程序： syms x; f=1/(x2+2*x+3); int(f,-inf,inf) 函数的求导 1、求一次导数 函数的导数可有 diff命令来完成 格式为 diff(f) 例： syms x %表示将 x声明为符号变量，对 x进行符号运算，也就是把 x作为函数的自变量 f=log(x); %将 x的函数表达式赋值给 f变量 result=diff(f) 注意：因为是符号变量运算，所以运算符前不用 加 “ .” 如： f=2*x2 多项式求导与符号运算求导的区别 (1)多项式求导例子 a=1,2,3; % x2+2x+3 polyder(

13、a) 结果： ans = 2 2 %代表 2x+2 (2) syms x; f=x2+2*x+3; diff(f) 结果： ans=2*x+2 例：求 f(x)=(x+exsinx)1/2的导数 程序 syms x; f=(x+exp(x)*sin(x) )(1/2) diff(f) pretty(ans) 2、求高阶导数 格式： diff(f,n) 其中 n为求导的阶数 例：求 y=e-2xcos(3x1/2)的 4阶导数 程序： syms x; y=exp(-2*x)*cos(3*(x)(1/2) diff(y,4) pretty(ans) 3、多元函数求导 调用格式： diff(函数表达式，被求导变量， n) 例： syms x y z; %注意：变量用空格隔 开 f=x*sin(exp(y)/z; diff(f,y,2) pretty(ans)