MATLAB7.0及其在高等数学中的应用.ppt

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1、 目 录 第一章 Matlab 简介 第二章 Matlab 基础知识 第三章 Matlab 绘图 第四章 拟合 第五章 微积分 第六章 线性代数 第一章 Matlab 简介 1.1 Matlab 概述 1.2 Matlab 启动与关闭 1.3 Matlab 界面 1.1 Matlab 概述 MATLAB是 Matrix Laboratory的缩写； MATLAB是一种功能十分强大、运算效率很高 的数学软件； MATLAB除具备卓越的数值计算能力外，它还 提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化 建模仿真和实时控制等功能； MATLAB是国际公认的最优秀的数学软件之一。 1.2 Matlab

2、启动与关闭 启动： 用鼠标双击桌面上的图标； 执行 “开始 程序 Matlab”命令； 关闭： 命令窗口键入“ quit”或 按 “ Ctrl+Q”键； 鼠标选择菜单 file Exit MATLAB ； 1.3 Matlab界面 Command window 命令窗口 Command History 命令历史窗口 Current Directoy 当前目录浏览器 Workspace 工作间浏览器 Start 开始菜单 File 文件 Edit 编辑 Debug 调试 Desktop 桌面 Window 窗口 Help 帮助 清除命令窗口： editclear command window 清

3、除命令历史窗口： editclear command history 清除工作空间： editclear workspace 使用默认的窗口布局： Desktop Desktop layoutdefanlt 第二章 Matlab 基础知识 2.1 Matlab 中经常使用的常量 2.2 运算符号 2.3 注释和标点 2.4 常用函数 2.5 编程及其运行方法 2.1 Matlab 中经常使用的常量 变量名 表示的含义 变量名 表示的含义 pi 圆周率 inf 正无穷大 eps 容差变量 ans 结果的缺省变量名 i， j 虚数单位 NaN 不定量，如 0/0 2.2 运算符号 加号 + 减号

4、- 乘号 * 除号 / 乘方 数组算法的四则运算 数组算法的格式 算法意义 a.*b A与 b的对应元素相乘 a.n A中各元素的 n次方 a./s， s.a A中的各元素被 s除 2.3 注释和标点 百分号后的所有文字为注释，不参与运算。 例： syms x y %定义符号变量 x,y 多条命令可以放在同一行，用逗号或分号分隔， 逗号表示要显示运行的结果，分号表示不显示运 行的结果。 例： x=1;y=3;x1=x+y,x2=x-y 一条语句也可以写在多行，用三个点（ ）表示 该语句未完成，续在下一行。 2.4 常用函数： abs(x) 绝对值 sqrt(x) 开平方 conj(z) 共轭复

5、数 round(x) 四舍五入 floor(x) 舍去正小数 rat(x) 化为分数表示 gcd(x,y) 最大公因数 exp(x) 自然指数 log(x) e为底的对数 Log10(x) 10为底的对数 angle(z) 复数 z的相角 real(z) 复数 z的实部 imag(z) 复数 z的虚部 fix(x) 舍去小数取整 ceil(x) 加入正小数取整 sign(x) 符号函数 rem(x,y) 求 x除以 y的余数 lcm(x,y) 最小公倍数 pow2(x) 以 2为底的指数 log2(x) 以 2为底的对数 三角函数与双曲函数 sin 正弦函数 asin 反正弦函数 cos 余弦

6、函数 acos 反余弦函数 tan 正切函数 atan 反正切函数 cot 余切函数 acot 反余切函数 sec 正割函数 asec 反正割函数 csc 余割函数 acsc 反余割函数 sinh 双曲正弦函数 asinh 反双曲正弦函数 cosh 双曲余弦函数 acosh 反双曲余弦函数 tanh 双曲正切函数 atanh 反双曲正切函数 sech 双曲正割函数 asech 反双曲正割函数 csch 双曲余割函数 acsch 反双曲余割函数 coth 双曲余切函数 acoth 反双曲余切函数 2.5 编程及其运行方法 直接在 Command window （命令窗口）输入， 然后按 ente

7、r键运行程序； 在编辑器中编辑，然后选定程序段，按 F9键，再 回到工作空间看运行结果。 注意：在 Command window （命令窗口）中的 程序不能修改，而在 M文件中的程序 则可以随意 的修改。 例：假定存 10000元，利率为 2.25%,一年复 利一次 ,25年后的结存是多少 ? 问题假设： 25年后的结存是 y元 建立模型： matlab求解： y=10000*(1+0.0225)25 求解结果 : 1.7441e+004 问题作答： 25年后的结存是 17441元 251 0 0 0 0 (1 2 . 2 5 % )y 练习： 1、 多项式函数 反映了每 100000名女姓的

8、乳腺癌发病率 y，它是年 龄 x的函数问： 4岁的女性的乳腺癌发病率是多 少？ 2、多项式函数 反映的是听力障碍的人数 y（百万）与年龄 x的关系， 问：分别求出年龄为 20、 40、 60和 80的有听力障 碍的大致人数？ 4 3 20 . 0 0 0 0 5 5 4 0 . 0 0 6 7 0 . 0 9 9 7 0 . 8 4 0 . 2 5y x x x x 320 . 0 0 0 0 6 0 . 0 0 6 0 . 1 1 . 9y x x x 3、当 时，计算 的函数值 ； 4、计算 的值，其中 为小于等于 100 的正整数； 3 5 3 70 , , , , , , , , 2

9、4 2 4 4 2 4x sinyx yx x 第三章 matlab绘图 人们很难从一大堆原始的数据中感受到它们的 含义，数据图形恰能使人们直接感受到数据的许多 内在本质。数据的可视化是人们研究科学、认识世 界不可缺少的手段。 Matlab提供了强大的绘图工具， 可以给出数据和函数的二维、三维、乃至四维的图 形表现。 3.1绘制二维图形 3.1.1常见的绘图函数 3.1.2常用绘图选项 3.1.3 图形标注 xlabel(Input Value); % x轴注解 ylabel(Function Value); % y轴注解 title(Two Trigonometric Functions);

10、 % 图 形标题 legend(y = sin(x),y = cos(x); % 图形注 解 grid on（ off） ; % 显示格线 (去掉 ) 3.1.4 利用函数作图 plot使用方法： 命令： x=初值：步长：终止； y=函数； plot(x,y, 颜色 +线型 +点型） 0,2 x 例：作出 的图像 命令： x=0:0.1:2*pi; y=sin(x); plot(x,y,r-) 运行结果如右图： s i n ( ) 0 , 2 y x x 练习： 作出 的图像 要求：步长分别取： 0.1， 0.5， 1， 2；然后观察 所得图形；你得到什么结论？ c o s ( ) 0 , 2

11、 y x x 结论：步长越小，所得曲线越光滑；因此我们在 作图的时候步长应该取较小的值。 plot的第二种使用方法： 命令： x=linspace( 初值，终止，点的个数 )； y=函数； plot(x,y,颜色 +线型 + 点型 ) 例：作出 的图像 命令： x=linspace(0,2*pi,80); y=sin(x); plot(x,y,r-) 运行结果如右图： s i n ( ) 0 , 2 y x x 练习： 作出 的图像 要求：点的个数分别取： 6， 10， 20， 60；然后观 察所得图形；你得到什么结论？ c o s ( ) 0 , 2 y x x 结论：点的个数越多，所得曲线

12、越光滑；因此我 们在作图的时候应该多取些点。 fplot的使用方法： 命令： fplot(函数， 定义域 ，选项 ) 例：作出 的图像 命令： fplot(x2,-2,2,b) 2 2 , 2 y x x 问题： （ 1）作出下面函数的图像 s in ( ) 0 , 1 1 , 0 ) xx y xx （ 2）在同一坐标系中作出下面函数的图像； c o s ( ) 0 , 2 y x x s i n ( ) 0 , 2 y x x 3.1.5 在同一个窗口绘制多个图形： plot(x1,y1,x2,y2,) 使用 hold on命令，在画完一张图后，用 hold on命 令保持住，然后在画其他

13、图。 plot(x,y1;y2;) ， x1是横坐标向量，而 y1;y2; 是由几个纵坐标拼成的矩阵。 使用 plotyy命令，用于绘制不同尺度的函数；例： plotyy(x,y1,x,y2) 例：作出下列函数的图像 加网格线； 给图形添加标题； 用不同曲线选择不同的颜色； 给图形添加注释； 设置横轴的注释为“自变量 x”; 2 0 , 1 2 1 2 , 0 ) x x y xx 练习： 作出下列函数的图像； 2l o g 1 , 4 y x x ta n 0 , 4 () ( , 9 4 xx fx xx 3.1.6 其他绘图函数 3.1.7 图形窗口的分割 subplot(m,n,p)

14、该函数将当前图形窗口分成 m行 n列个 绘图区，区号按行优先编号，且选定第 p个 区为当前活动区。 例： t=(0:10:360)*pi/180; y=sin(t); subplot(2,1,1),plot(t,y) subplot(2,2,3),stem(t,y) subplot(2,2,4),polar(t,y) 3.2 绘制三维曲面图 3.2.1 常见的绘制三维图形的函数： plot3(x,y,z) 建立三维线条图 fill3(x,y,z) 填空三维多边形 mesh(x,y,z) 在三维空间中绘制出由（ x,y,z）表示的曲面， (彩色线 )。 meshz(x,y,z) 除了具有 mes

15、h功能外，还画出上下高度线。 meshc(x,y,z) 除了具有 mesh功能外，还在曲面的下方画出 c=f(x,y)的等 值线图。 surf(x,y,z) 绘制三维图，（彩色面）。 3.2.2 三维绘图函数的应用 例：绘制下列二元函数的图像； 命令： x,y=meshgrid(-8:0.5:8,-10:0.5:10); R=sqrt(x.2+y.2)+eps; z=sin(R)./R; mesh(x,y,z) 练习： 用其他函数做出该图形，顺便观察他们的区别。 22 22 s in xyz xy 3.2.3 其他的三维绘图函数 bar3(x,y,z) 条形图 pic3 绘制饼图 stem3/

16、stairs 绘制类似楼梯形状的步进图形 waterfall 瀑布图 pic3 例：某学生语文、数学、外语和政治四科的 成绩依次为 80、 95、 70、 40； 命令： cj=80,95,70,40; pie(cj,0， 0， 1， 0,语文 28%,数学 33%,外 语 25%,政治 14%) waterfall Waterfall它和函数 mesh基本相同。 例：三维高斯分布的瀑布图： 命令： Waterfall(peaks) 练习： 试绘制出下列函数的三维曲面图； 在同一画面上画出，心形线 和双纽线 2 2 2 2 11( , ) ( 1 ) ( 1 ) z f x y x y x y

17、 22()xyz x e 3 c os 3 si n 3 xt yt zt 22 0 4 xy z x y 2 2 2 2 1 / 2()x y x x y 2 2 2 2()x y x y 第四章 拟合曲线 4.1多项式拟合 命令： P=polyfit(x,y,m) 输入的参数 x， y维数必须相同； 输入 m代表拟合代数式的次数，原则上 m小 于 x的维数； 输出 P为拟合多项式的系数； 例：商业：迪斯尼乐园的门票 右表列出了一组数据，显示 了从 1993年以来的若干年里， 一个成年人当日进入迪斯尼乐园 的门票价格 P； 问题： 做出该组数据的散点图； 求一曲线与该组数据拟合； 用该模型预

18、测 2005年一个成 年人当日进入迪斯尼乐园的门票 价格； 年数 x 一个成人当日进迪 斯尼乐园的门票价 格 P； 0（ 1993） 34.00 1（ 1994） 36.00 2（ 1995） 37.00 3（ 1996） 40.81 4（ 1997） 42.14 5（ 1998） 44.52 散点图： 命令： x=0,1,2,3,4,5; y=34,36,37,40.81,42.14,44.52; plot(x,y,.) 拟合成一条直线： 命令： x=0,1,2,3,4,5; y=34,36,37,40.81,42.14,44.52; polyfit(x,y,1) 得到多项式函数为： 200

19、5年时 x=12;函数值为： 59.39 ( ) 2 .1 3 8 3 3 .7 3 3p x x 例：睡眠时间与死亡率 在耶鲁大学 HaroldJ.Morowitz 博士的研究报告中，从所收集到 的数据推测，男人的死亡率与他 们平均每天的睡眠时间呈现一定 的关系，这些数据如右图 问题： 做出该组数据的散点图； 求一曲线与该组数据拟合； 利用模型分别求出睡眠时间为 2， 8， 10小时的男人死亡率； 平均的睡眠时 间 x（小时） 每 100000名 男人的死亡 率 y 5 1121 6 805 7 626 8 813 9 967 散点图： 拟合成一条抛物线： 命令： x=5,6,7,8,9;

20、y=1121,805,626,813,967; polyfit(x,y,2) 得到多项式函数为： x=2;P(x)=3162 x=8;P(x)=744; x=10;P(x)=1431 2( ) 9 3 1 3 3 6 5 4 6 1P x x x 4.2 最小二乘拟合 定义 编写 M文件 在 matlab中的实现 已知 n个数据点 ，用最小 二乘法构造多项式拟合曲线 ( , ) ( 1 , 2 , , )iix y i n 01 mmP c c x c x 例：商业：戏剧利润 Valley Community学院上演一场戏剧，演出 x天后获利 P(美元 )，其相关数据如下： 天数 利润 0 -

21、100 90 560 180 872 270 870 360 548 450 -100 用最小二乘拟合一条二次曲线； 在同一个窗口中做出散点图与多 项式函数的图像； 用所求函数计算 225天后的利润； 对这个函数的定义域做个估计， 并说明这样限定的理由； 编写程序： x=0 90 180 270 360 450; y=-100 560 872 870 548 -100 lspoly(x,y,2) 运行结果： ans = -0.0200 8.9919 -95.8571 4.3 多项式转换命令 poly2str(p,x) p：为多项式系数向量； x：是多项式变量； 例：在命令窗口中输入： p=5,

22、6,7,8,9; y=poly2str(p,x) 运行结果： y = 5 x4 + 6 x3 + 7 x2 + 8 x + 9 4.4 多项式运算 多项式相乘： 命令： conv(p1,p2) 多项式相除： 命令： q,r =decov(p1,p2) 多项式求导： 命令： polyder(p) 多项式求值： 命令： polyval(p,x0) 例：求多项式 和 的乘积、商和导数； 命令： p=1 2 0 -5 6; s=0 0 0 1 2 3; conv(p,s) q,r=deconv(p,s) polyder(p) 432 5 6p x x x 2 23s x x 插值 一维插值 命令格式：

23、 interp1(x,y,cx,metheod） x,y分别表示的是已知数据点的横、纵坐标的向量， x必须是单调的。 cx维需要插值的横坐标数据（或者数组）， cx必不 能超过 x的范围。 metheod是可选的参数：这里提供 linear 线条值； spline三次样条插值； cubic三次插值； nearest最近 临点插值 某观测站测得某日 6:00时至 18:00时之间每隔 2小时 的室内外温度 () ，用 3次样条插值分别求得该日室 内外 6:30至 17:30时之间每隔 2小时各点的近似温度 () 。 设时间变量 h为一行向量，温度变量 t为一个两列矩 阵，其中第一列存放室内温度，

24、第二列储存室外温 度。 命令如下： h =6:2:18; t=18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30; XI=6.5:2:17.5 YI=interp1(h,t,XI,spline)% 用 3次样条插值计算 二维数据插值 命令格式： Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method) 其中 X,Y是两个向量，分别描述两个参数的采样点， Z是与参数采样点对应的函数值， X1,Y1是两个向 量或标量，描述欲插值的点。 Z1是根据相应的插 值方法得到的插值结果。 method的取值与一维插 值函数相同。 X,Y,Z也可以是矩阵形式。 同样， X1

25、,Y1的取值范围不能超出 X,Y的给定范围， 否则，会给出“ NaN” 错误。 某实验对一根长 10米的钢轨进行热源的温度传播 测试。用 x表示测量点 0:2.5:10(米 )，用 h表示测 量时间 0:30:60(秒 )，用 T表示测试所得各点的温 度 () 。试用线性插值求出在一分钟内每隔 20秒、 钢轨每隔 1米处的温度 TI。 命令如下： x=0:2.5:10; h=0:30:60; T=95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41; xi=0:10; hi=0:20:60; TI=interp2(x,h,T,xi,hi) 第五章 微积分 5.1 极

26、限运算： 命令 功能 limit(f,x,a) 计算 limit(f,x,inf) 计算 limit(f,x,a,right) 计算单侧极限 limit(f,x,a,left) 计算单侧极限 lim ( )x fx lim ( )xafx lim ( )xa fx lim ( )xa fx 例：求极限 命令： syms x y1=(1+4*x)(1/x); y2=sqrt(x)-2(-1/x); limit(y1,x,0) limit(y2,x,0,right) 1 0 li m (1 4 ) x x x 1 0 lim ( 2 )x x x 5.2 一元函数求导： 命令形式 1： diff(

27、f) 求函数 f的一阶导数； 命令形式 1： diff(f， n) 求函数 f的 n阶导数； 例：设 ： 求： 命令： syms x y1=3*x2-2*x+1; B=diff(y1),x=1; eval(B) 23 2 1y x x 1|xy 5.3 多元函数的偏导： 命令： diff(f,xi) 多元函数 f对变量 xi的一阶偏导； 命令： diff(f,xi,n) 多元函数 f对变量 xi的 n阶偏导； 5.4 一元函数的极值点 命令形式： fminbnd(fun,x1,x2) 在 x1,x2内求函数 fun的极小值点 例 求 在区间 内的 最小值 ； 2( ) 3 ( c o s )f

28、 x x x x 1,1 5.5 求多元函数的极值问题 fminsearch(fun,x0) 用单纯形法求多元函数 fun在 x0附近的极 值点 fminunc(fun,x0) 用拟牛顿法求多元函数 fun在 x0附近的极 值点 社会科学 ：记忆力 在某项记忆力测试中，某人在 t分钟后能记住 M个单 词，其中 求记住的单词数关于时间的变化率； 在前十分钟（ t=10）内可以记住多少个单词？ 在 t=10分时的记忆率是多少？ 220 .0 0 1 0 .1M t t 一元函数的不定积分： 命令 1： int(f) 求函数 f对默认变量的不定积分，用于函 湖、数中只含有一个变量的情况； 命令 2：

29、 int(f,xi) 求符号函数 f对变量 xi不定积分； 一元函数的定积分 命令 1： Int(f,a,b) 对 f关于符号变量从 a到 b求定积分； 命令 2： int(f,x,a,b) 对 f关于变量 x从 a到 b求定积分 ; 例：求 例：求概率积分 命令： syms x f=exp(-x2); int(f,x,-inf,inf) 21 x dx x 2xe d x 练习： s i n ( )x d x 22a x d x 2 0 ( sin )ln x d x 第六章 线性代数 6.1 数值矩阵 6.1.1数值矩阵的创建 直接输入法： 矩阵的所有元素都必须置于“ ”内； 元素之间用“

30、，”或空格分开； 行与行之间用“ ;”或回车换行 ； 创建特殊数值矩阵的命令输入法： 变换矩阵的命令： 一些特殊矩阵的创建： 等差数列型向量 t=a:h:b t=linspace(a,b,n); 等比数列型向量： Q=logspace(log10(a),log10(b),n) a为等比数列的初值， b为终值， n为元素 的个数 7.1.2 矩阵的运算 矩阵的加、减、乘和乘方 例：求 a+3； a*b； c3 3 7 2 4 8 1 a 52 69 13 b 3 5 4 8 4 7 269 c 矩阵的除法： A/B：矩阵的右除，计算 ， 必须为方阵 ； AB：矩阵的左除，计算 ， 必须为方阵 ；

31、 例：已知： 计算： AB； A/B 1AB A 1AB B 4 2 3 1 1 0 1 2 3 A 2 1 1 2 1 0 1 1 1 B 矩阵的其它命令： det(A)：求矩阵的行列式， A必须是方阵； inv(A)：求矩阵的逆； A：求矩阵的转制； rank(A)：求矩阵的秩； rref(A)：矩阵行变化化简，求矩阵阶梯形的 最简形式； 矩阵的 LU分解 将矩阵 A分解成一个单位下三角矩阵 L和一个 上三角矩阵 U,且 A=LU； 命令： L,U=lu(A) A：为要分解的矩阵； L：为单位下三角矩阵； U：为单位上三角矩阵 ； 矩阵的 QR分解 将矩阵 A分解成正交矩阵 Q和上三角矩阵

32、 R； 且 A=QR; 命令： Q,R=qr(A) A：为要分解的矩阵； Q：正交矩阵； R：为单位上三角矩阵 ； 例：求矩阵 的 LU分解和 QR分解； 命令： 1 2 3;2 5 2;3 1 5; L,U=lu(A) Q,R=qr(A) 1 2 3 2 5 2 3 1 5 A 8.1.3 线性方程组的数值解 1、齐次线性方程组的求解函数 null 当秩 R(A)=r=n,方程组只有 0解； 当秩 R(A)=rn,用 null求解 命令形式： 输入系数矩阵 A； format rat %指定有理格式输出 B=null(A,r) 例：求齐次线性方程组的解： A=1 -4 2;0 2 -1;-1

33、 2 -1; rank(A) format rat B=null(A,r) 写成通解： syms k X=k*B(:,1) 1 2 3 23 1 2 3 4 2 0 20 20 x x x xx x x x 求解方程组的通解： A=1 2 2 1;2 1 -2 -2;1 -1 -4 -3; format rat B=null(A,r) 写成通解： syms k1 k2 X=k1*(:,1)+k2*(:,2) 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 2 0 2 2 0 4 3 0 x x x x x x x x x x x x 2、求非齐次方程组的解： R(A)=R(B)=n 若 d

34、et(A) 0;则方程组有唯一解； x有以下几 种求法： 方法一： x=inv(A)*b; 方法二： x=Ab； 方法三： x=sym(A)sym(b); 求解方程组 : 解： A=2 3 5;3 6 8;6 5 4;b=12 34 43 Rank(A)=rank(A,b)=3 X=inv(A)*b 1 2 3 1 2 3 1 2 3 2 2 5 1 2 3 6 8 3 4 6 5 4 4 3 x x x x x x x x x R(A)=R(B)=rn； 这样的方程组称为不定方程组，方程组得解 由 Ax=0的通解和 Ax=b的特解构成。 命令： 求通解： null(sym(A) 求特解： sym(A)sym(b)， 求非齐次线性方程组的解： 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 31 3 3 4 4 5 9 8 0 x x x x x x x x x x x x 命令： A=1 1 -3 -1;3 -1 -3 4;1 5 -9 -8; B=1 4 0;Ar=rank(A),br=rank(A,b); 求通解： null(sym(A) 求特解： sym(A)sym(b) 方程组的解： 通解 + 特解 rank(A) rank(k) 方程组无解