函数的间断点及其分类

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1、件件：处处连连续续，包包含含着着三三个个条条在在点点 axf)(有有定定义义；在在点点 axf)()1(存存在在；)(lim)2(xfax；)()(lim)3(afxfax 称称为为间间断断点点。或或间间断断，不不连连续续在在点点，则则称称若若上上述述三三条条之之一一不不成成立立aaxf)(2.3.4 函数的间断点函数的间断点间断点的分类：间断点的分类：第一类：左右极限第一类：左右极限都存在都存在的间断点。的间断点。第二类：左右极限第二类：左右极限至少一个不存在至少一个不存在的间断点。的间断点。不不相相等等。处处左左右右极极限限都都存存在在，但但在在点点 axf)(.1属属于于第第一一类类间间

2、断断点点）。的的跳跳跃跃间间断断点点是是称称()(xfa例例1 讨论符号函数在讨论符号函数在x=0处的连续性。处的连续性。0,10,00,1)(sgn)(xxxxxf解解：的的跳跳跃跃间间断断点点为为)sgn()(0 xxfx 0y1x1处间断有三种情况：处间断有三种情况：在点在点axf)()0()0()0()0(afafafaf都存在，但都存在，但与与即即1)00(1)00(ff由由于于为可去间断点。为可去间断点。称称无定义无定义在在或或，但但存在，存在，即即左右极限存在且相等，左右极限存在且相等，aaxxfafxfxfaxax,)()()(lim)(lim.2 处的连续性。处的连续性。在在

3、讨论讨论例例01sin)(.2 xxxxf,01sinlim0 xxx解解：无无定定义义，在在但但0)(xxf的的可可去去间间断断点点。是是)(0 xfx )0)()(,0)(lim)0(101 xxfxfxffx令令补补充充定定义义：0001sin)(1xxxxxf，即即处处连连续续。在在则则0)(1 xxf的的第第二二类类间间断断点点。为为至至少少有有一一个个不不存存在在，称称与与存存在在，即即左左右右极极限限至至少少有有一一个个不不)()0()0(.3xfaafaf 的间断点类型。的间断点类型。讨论讨论例例xxf1)(.3 0 xyxxf1)(为函数的间断点为函数的间断点无定义，无定义，

4、在在解：解：001)(xxxxf为第二类间断点为第二类间断点极限不存在）极限不存在）0()(lim0 xxfx无无穷穷间间断断点点。为为并并称称)(0 xfx 的的类类型型。的的间间断断点点讨讨论论函函数数例例01sin)(.4 xxxfxy的的振振荡荡间间断断点点。为为第第二二类类间间断断点点，称称的的为为不不存存在在，来来回回振振荡荡之之间间与与的的值值在在时时，当当解解：)(0)(0)(lim,111sin)(00 xfxxfxxfxxfxx 连连续续。改改定定义义使使函函数数在在若若为为可可去去间间断断点点，则则修修处处的的连连续续性性，在在，讨讨论论例例2221224)(.52 xx

5、xxxxxf1)2(424lim)(lim222 fxxxfxx解解：24224)(21xxxxxf，修修改改定定义义，令令连连续续。在在则则2)(1 xxf的的可可去去间间断断点点。是是)(2xfx 的的间间断断点点。讨讨论论例例)6(|2)(622 xxxxxxf解：无定义无定义，在点在点显然，显然，230)(xxxxf)00(f)6(|)2(lim20 xxxxxx，31)00(f)6(|)2(lim20 xxxxxx，31 ，)00()00(ff是跳跃间断点；是跳跃间断点；0 x)03(f)2)(3(|)2(lim3 xxxxxx，断断点点；是是第第二二类类（或或无无穷穷）间间3 x)

6、2)(3(|)2(lim2 xxxxxx31lim2 xx，51 无定义，无定义，在在2)(xxf是是可可去去间间断断点点2 xA.最值定理与有界性定理最值定理与有界性定理都都有有对对于于，使使得得上上有有定定义义，如如果果有有在在区区间间定定义义：设设IxIxIxf 0)()()(0 xfxf)()(0 xfxf 或者或者上上的的最最大大值值在在区区间间是是函函数数则则称称Ixfxf)()(02.3.5 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质（或最小值）。（或最小值）。最值。最值。最大值、最小值统称为最大值、最小值统称为最大值点或最小值点。最大值点或最小值点。上的上的在区间在区间是函数

7、是函数Ixfx)(0；，最小值为，最小值为最大值为最大值为上，上，在在022,0sin1)(xxf ；，最小值为，最小值为最大值为最大值为上，上，在在11),()sgn()(xxf上，上，而在而在),0(，最最大大值值为为1；最小值也为最小值也为1上上无无最最值值。在在),()(baxxf 例如例如。一一定定有有最最大大值值与与最最小小值值上上连连续续，则则在在若若)(,)(xfbaxf。有有，即即)()()(,2121 fxffbaxba 注意：注意：（1）两个条件（闭区间、连续）缺一不可。）两个条件（闭区间、连续）缺一不可。没有最值。没有最值。在开区间在开区间例如：例如：)1,0()()(

8、xxfa xy01,115.0)1,0)()(不不连连续续在在，xxxxxfb1xy0定理定理 21（最值定理）（最值定理）没没有有最最值值。在在闭闭区区间间1,0)(xxf,)1,0)(连续连续在在即即xf闭区间上连续函数必有界。闭区间上连续函数必有界。（2）最大值与最小值是唯一的，但最值点不唯一。）最大值与最小值是唯一的，但最值点不唯一。上上最最值值点点不不唯唯一一。在在区区间间例例如如4,0sin)(xxf 为最小值点。为最小值点。为最大值点，为最大值点，27,2325,2 xx推论（有界性定理）推论（有界性定理）ab定理定理 22（介值定理）介值定理）几何意义：几何意义：曲线与直线曲线

9、与直线 y=c 至少有一个交点。至少有一个交点。x0y，最最小小值值为为，上上的的最最大大值值为为在在上上连连续续，在在若若mMbaxfbaxf,)(,)(。使使，则则cfbaMmc )(,mMc存在一点存在一点，则至少，则至少上连续，且上连续，且在在若若0)()(,)(bfafbaxf。，使得，使得0)(),(cfbac几何意义：几何意义：xy0ab曲线与曲线与 x 轴至少有一个交点。轴至少有一个交点。推论（零值定理）推论（零值定理）零值定理常被用来证明方程零值定理常被用来证明方程f(x)=0在某一区间在某一区间a,b内根的存在性。内根的存在性。c上上至至少少有有一一个个根根。在在证证明明方

10、方程程例例 ,2sin27xx解：解：，设设xxxfsin2)(上连续上连续在在显然显然 ,2)(xf，022)2(f，0)(f，由由零零值值定定理理 ,2，使使0sin2)(f上至少有一个根上至少有一个根在在即方程即方程 ,2sin2xx，证明：证明：。上连续，上连续，在在设设例例),0()()2()0(2,0)(8aafaffaxf 。使使)()(aff 解：解：，设设)()()(axfxfxg 上上连连续续在在显显然然,0)(axg，)()0()0(affg ，)2()()(afafag ，由由于于)2()0(aff，则则0)()0(agg ，由由零零值值定定理理a,0 ，使使0)()(

11、)(affg 使使即即)()(),0(affa C.用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解 二分法是利用零值定理不断缩小含根区间，二分法是利用零值定理不断缩小含根区间，最终求得达到某精度要求的方程的近似解。最终求得达到某精度要求的方程的近似解。(a(-)B(+)+(-(-)+之之间间与与在在证证明明方方程程210236423 xxx有根，并求出精确到小数有根，并求出精确到小数 3 位的根。位的根。解：解：设设2364)(23 xxxxf上连续，上连续，在在显然显然2,1)(xf，01)1(f，012)2(f由零值定理，由零值定理，至至少少有有一一根根在在方方程程2),1(0236423 xxx，05.2)5.1(f，01875.0)25.1(f，05234.0)125.1(f，02002.0)1875.1(f，00148.0)21875.1(f，008421.0)234375.1(f，00342.0)2265625.1(f 可可作作为为方方程程的的近近似似根根221.1 x例例9.