高等数学下册试题及答案解析

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1、 高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 =的定义域为D= 。2、二重积分的符号为 。3、由曲线及直线，所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。4、设曲线L的参数方程表示为则弧长元素 。5、设曲面为介于及间的部分的外侧，则 。6、微分方程的通解为 。7、方程的通解为 。8、级数的和为 。二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数在处可微的充分条件是（ ） （A）在处连续；（B），在的某邻域内存在；（C） 当时，是无穷小；（D）。2、设其中具有二阶连续导数，则等于（ ）（A）； （B）； (C)； (D)0 。3、设：则三重积分等于（ ）（A）4；（B）；（

2、C）；（D）。4、球面与柱面所围成的立体体积V=（ ） （A）； （B）； （C）； （D）。5、设有界闭区域D由分段光滑曲线L所围成，L取正向，函数在D上具有一阶连续偏导数，则 （A）； （B）； （C）； （D）。6、下列说法中错误的是（ ）（A） 方程是三阶微分方程；（B） 方程是一阶微分方程；（C） 方程是全微分方程；（D） 方程是伯努利方程。7、已知曲线经过原点，且在原点处的切线与直线平行，而 满足微分方程，则曲线的方程为（ ） （A）； （B）； （C）； （D）。8、设 , 则（ ） （A）收敛； （B）发散； （C）不一定； （D）绝对收敛。三、求解下列问题（共计15分）1、（

3、7分）设均为连续可微函数。，求。2、（8分）设，求。四、求解下列问题（共计15分）。1、计算。（7分）2、 计算，其中是由所围成的空间闭区域（8分）。5、 （13分）计算，其中L是面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点的封闭曲线的逆时针方向。 6、 （9分）设对任意满足方程，且存在，求。七、（8分）求级数的收敛区间。 高等数学（下册）试卷（二）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、设，则 。2、 。3、设，交换积分次序后， 。4、设为可微函数，且则 。 5、设L为取正向的圆周，则曲线积分 。6、设，则 。7、通解为的微分方程是 。8、设，则它的Fourier展开式中的 。二、选择题（每小题2

4、分，共计16分）。1、设函数 ,则在点（0，0）处（ ） （A）连续且偏导数存在； （B）连续但偏导数不存在； （C）不连续但偏导数存在； （D）不连续且偏导数不存在。2、设在平面有界区域D上具有二阶连续偏导数，且满足 及 ，则（ ） （A）最大值点和最小值点必定都在D的内部； （B）最大值点和最小值点必定都在D的边界上； （C）最大值点在D的内部，最小值点在D的边界上； （D）最小值点在D的内部，最大值点在D的边界上。3、设平面区域D：，若，则有（ ） （A）； （B） ； （C）； （D）不能比较。4、设是由曲面及 所围成的空间区域，则 =（ ） （A）； （B）； （C） ； （D）。5

5、、设在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为 ，其中在上具有一阶连续导数，且， 则曲线积分（ ）(A) ； (B) ；(C) ； (D)。6、设是取外侧的单位球面， 则曲面积分 =（ ）(A) 0 ； (B) ； (C) ； (D)。7、下列方程中，设是它的解，可以推知也是它的解的方程是（ ） (A) ； (B) ；(C) ； (D) 。8、设级数为一交错级数，则（ ） (A)该级数必收敛； (B)该级数必发散；(C)该级数可能收敛也可能发散； (D)若，则必收敛。三、求解下列问题（共计15分） 1、（8分）求函数在点A（0，1，0）沿A指向点B（3，-2，2）的方向的方向导数。 2、（7分）

6、求函数在由直线所围成的闭区域D上的最大值和最小值。四、求解下列问题（共计15分） 1、（7分）计算，其中是由及 所围成的立体域。 2、（8分）设为连续函数，定义，其中，求。五、求解下列问题（15分） 1、（8分）求，其中L是从A（a，0）经到O（0，0）的弧。 2、（7分）计算，其中是 的外侧。六、（15分）设函数具有连续的二阶导数，并使曲线积分与路径无关，求函数。 高等数学（下册）试卷（三）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、设， 则 。 2、函数在点（0，0）处沿的方向导数= 。 3、设为曲面所围成的立体，如果将三重积分化为先对再对最后对三次积分，则I= 。 4、设为连续函数，则 ，其

7、中。 5、 ，其中。 6、设是一空间有界区域，其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数，在上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式： ， 该关系式称为 公式。 7、微分方程的特解可设为 。 8、若级数发散，则 。二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、设存在，则=（ ） （A）；（B）0；（C）2；（D）。 2、设，结论正确的是（ ）（A）； （B）；（C）； （D）。3、若为关于的奇函数，积分域D关于轴对称，对称部分记为，在D上连续，则（ ） （A）0；（B）2；（C）4； (D)2。 4、设：，则=（ ） （A）； （B）； （C）； （D）。5、设在面内有

8、一分布着质量的曲线L，在点处的线密度为，则曲线弧的重心的坐标为（ ）（）=； （B）=； （C）=； （D）=, 其中M为曲线弧的质量。、设为柱面和在第一卦限所围成部分的外侧，则 曲面积分（ ）（A）0； （B）； （C）； （D）。、方程的特解可设为（ ）（A），若； （B），若；（C），若；（D），若。、设，则它的Fourier展开式中的等于（）（A）； （B）0； （C）； （D）。3、 （分）设为由方程 确定的的函数，其中具有一阶连续偏导数，求。4、 （分）在椭圆上求一点，使其到直线的距离最短。5、 （分）求圆柱面被锥面和平面割下部分的面积。六、（分）计算，其中为球面 的部分的外侧。7

9、、 （10分）设，求。八、（10分）将函数展开成的幂级数。 高等数学（下册）试卷（四）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、由方程所确定的隐函数在点（1，0，-1）处的全微分 。2、椭球面在点（1，1，1 ）处的切平面方程是 。3、设D是由曲线所围成，则二重积分 。4、设是由所围成的立体域，则三重积分= 。5、设是曲面介于之间的部分，则曲面积分 。 6、 。7、已知曲线上点M(0,4)处的切线垂直于直线，且满足微分方程，则此曲线的方程是 。8、设是周期T=的函数，则的Fourier系数为 。二、选择题（每小题2分，共计16分）1、函数的定义域是（ ）（A）； （B）； （C）； （D） 。2

10、、已知曲面在点P处的切平面平行于平面，则点P的坐标是（ ）（A）（1，-1，2）； （B）（-1，1，2）；（C）（1，1，2）； （D）（-1，-1，2）。 3、若积分域D是由曲线及所围成，则=（ ）（A） ； （B） ；（C） ； （D）。4、设 ， 则有（ ）（A）； （B）； （C）； （D）。5、设为由曲面及平面所围成的立体的表面，则曲面积分=（ ）（A）； （B）； （C）； （D）0 。、设是球面表面外侧，则曲面积分（ ）（A）； （B）； （C）； （D）。、一曲线过点(e,1)，且在此曲线上任一点的法线斜率，则此曲线方程为（ ）（A）； （B）； （C）； （D）。、幂级数的

11、收敛区间为（）（A）（-1，1）； （B）； （C）（-1，1）； （D）-1，1。三、（分）已知函数，其中具有二阶连续导数，求 的值。四、（分）证明：曲面上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的体积为一定值。五、（分）求抛物面的切平面，使得与该抛物面间并介于柱面内部的部分的体积为最小。六、（分）计算，其中为由（，）至（，）的那一弧段。七、（分）求解微分方程=0 。八、（分）求幂级数的和函数。 高等数学（下册）试卷（五）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、设是由方程所确定的二元函数，则 。、曲线在点（，）处的切线方程是 。、设是由，则三重积分 。、设为连续函数，是常数且，将二次积分化为定积

12、分为 。、曲线积分与积分路径无关的充要条件为 。、设为，则 。、方程的通解为 。、设级数收敛，发散，则级数必是 。二、选择题（每小题2分，共计16分）、设，在点（，）处，下列结论（ ）成立。（）有极限，且极限不为0； （）不连续；（）； （）可微。、设函数有，且，则=（ ）（）；（）；（）；（）。、设：，在D上连续，则在极坐标系中等于（ ）（）； （）；（）；（）。、设是由及所围成，则三重积分（） ；（） ；（） ；（） 。、设是由所围立体表面的外侧，则曲面积分 （）0； （）1； （）3； （）2。、以下四结论正确的是（ ）（） ；（） （） ；（） 以上三结论均错误。、设具有一阶连续导数，

13、。并设曲线积分与积分路径无关，则（）；（）；（）；（）。 、级数的和等于（ ）（）2/3；（）1/3；（）1；（）3/2。三、求解下列问题（共计分）、（分）设求。、 （分）设，具有连续偏导数，求。四、求解下列问题（共计分）、（分）计算，其中。、 （分）计算，其中。五、（分）确定常数，使得在右半平面上，与积分路径无关，并求其一个原函数。6、 （分）将函数展开为的幂级数。7、 （分）求解方程。 高等数学（下册）试卷（六）一、单选题（共15分，每小题3分）1设函数在的两个偏导， 都存在，则 ( )A在连续 B在可微 C 及 都存在 D存在2若，则等于（ ） 3设是圆柱面及平面所围成的区域，则） 4

14、4若在处收敛，则此级数在处（ ） A 条件收敛 B 绝对收敛 C 发散 D 敛散性不能确定5曲线在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）二、填空题（共15分，每小题3分） 1设，则 .2交 换的积分次序后，_3设，则在点处的梯度为 .4. 已知，则 .5. 函数的极小值点是 .三、解答题（共54分，每小题6-7分）1.（本小题满分6分）设, 求,.2.（本小题满分6分）求椭球面的平行于平面的切平面方程，并求切点处的法线方程3. （本小题满分7分）求函数在点处沿向量方向的方向导数。4. （本小题

15、满分7分）将展开成的幂级数，并求收敛域。5（本小题满分7分）求由方程所确定的隐函数的极值。6（本小题满分7分）计算二重积分及围成.7.（本小题满分7分）利用格林公式计算，其中是圆周（按逆时针方向）.8.（本小题满分7分）计算，其中是由柱面及平面所围成且在第一卦限内的区域.四、综合题（共16分，每小题8分）1（本小题满分8分）设级数都收敛，证明级数收敛。2（本小题满分8分）设函数在内具有一阶连续偏导数，且，证明曲线积分与路径无关若对任意的恒有，求的表达式高等数学（下册）试卷（一）参考答案一、1、当时，；当时，；2、负号； 3、； 4、；5、180； 6、；7、； 8、1；二、1、D； 2、D；

16、3、C； 4、B； 5、D； 6、B； 7、A； 8、C；三、1、；2、；四、1、；2、；五、令则，； 于是当L所围成的区域D中不含O（0，0）时，在D内连续。所以由Green公式得：I=0；当L所围成的区域D中含O（0，0）时，在D内除O（0，0）外都连续，此时作曲线为，逆时针方向，并假设为及所围成区域，则六、由所给条件易得： 又 = 即 即 又 即 七、令，考虑级数 当即时，亦即时所给级数绝对收敛；当即或时，原级数发散；当即时，级数收敛；当即时，级数收敛；级数的半径为R=1，收敛区间为1，3。高等数学（下册）试卷（二）参考答案一、1、1； 2、-1/6； 3、 ； 4、；5、； 6、； 7

17、、； 8、0；二、1、C； 2、B； 3、A； 4、D； 5、C； 6、D； 7、B； 8、C；三、1、函数在点A（1，0，1）处可微，且； 而所以,故在A点沿方向导数为： + 2、由得D内的驻点为且， 又 而当时， 令得 于是相应且 在D上的最大值为，最小值为四、1、的联立不等式组为所以 2、在柱面坐标系中 所以 五、1、连接，由公式得：2、作辅助曲面 ，上侧，则由Gauss公式得： += = = 六、由题意得：即特征方程，特征根对应齐次方程的通解为：又因为是特征根。故其特解可设为：代入方程并整理得：即 故所求函数为：高等数学（下册）试卷（三）参考答案一、1、； 2、； 3、；4、； 6、，

18、公式； 7、 8、。二、1、C； 2、B； 3、A ； 4、C ； 5、A ； 6、D ； 7、B ； 8、B 三、由于，由上两式消去，即得： 四、设为椭圆上任一点，则该点到直线的距离为 ；令，于是由： 得条件驻点： 依题意，椭圆到直线一定有最短距离存在，其中即为所求。五、曲线在面上的 投影为 于是所割下部分在面上的投影域为：， 由图形的对称性，所求面积为第一卦限部分的两倍。 六、将分为上半部分和下半部分， 在面上的投影域都为：于是： ； ， =七、因为，即 所以 八、 又 高等数学（下册）试卷（四）参考答案一、1、；2、； 3、； 4、； 5、；6、； 7、；8、； 二、1、C； 2、C；

19、3、A； 4、D； 5、A； 6、B； 7、A； 8、C三、 故四、设是曲面上的任意点，则， 在该点处的法向量为： 于是曲面在点处的切平面方程为：+=0即+=1因而该切平面与三坐标面所围成的立体的体积为：这是一个定值，故命题得证。 五、由于介于抛物面，柱面及平面之间的立体体积为定值，所以只要介于切平面，柱面及平面之间的立体体积为最大即可。 设与切于点，则的法向量为，且，切平面方程为： 即 于是 则由，得驻点（1，0） 且 由于实际问题有解，而驻点唯一，所以当切点为（1，0，5）时，题中所求体积为最小。此时的切平面为：六、联接，并设由L及所围成的区域为D，则 七、令，则，于是原方程可化为： 即，

20、其通解为 即故原方程通解为：八、易求得该幂级数的收敛区间为，令，则注意到，高等数学（下册）试卷（五）参考答案一、1、；2、；3、；4、； 5、对任意闭曲线，或或使得； 6、； 7、； 8、发散二、1、C； 2、B； 3、A； 4、C； 5、C； 6、B； 7、D； 8、A三、1、；2、 。四、1、因为积分域D关于对称，所以故 = ；2、+ 因为关于三个坐标轴都对称，而都（至少）关于某个变量为奇函数，故以这些项为被积函数的三重积分都等于0。于是： 。五、令 则 ， 由已知条件得，即有，所以 所求的一个原函数为 ： 六、易知 又 ， 其中七、方程的特征方程为：，其特征根为，故方程的通解为： 高等数

21、学（下册）试卷（六）参考答案一、单选题（共15分，每小题3分）：1.C 2 D 3 C 4B 5 A二、填空题（共15分，每小题3分）1.-1 2. 3. 4 5. (2,2)三、解答题（共54分，每小题6-7分）1解：; (3分) =+ ( 6分).2. 解：记切点 则切平面的法向量为满足： ，切点为：或 (3分)，切平面： ( 4分)， 法线方程分别为：或者 ( 6分)3. 解： ( 3分), ( 7分)4. 解：=, ( 2分)因为 ，,所以=,其中 ，即.( 5分)当时，级数为发散；当时，级数为发散,故=， ( 7分)5. 解：由, 得到与, ( 2分) 再代入，得到即。 由此可知隐函数的驻点为与。 ( 4分)由，可知在驻点与有。( 5分)在点，因此 ，所以为极小值点，极小值为；( 6分)在点，因此 ，所以为极大值点，极大值为， ( 7分)6. 解：记，则.（2分） 故 ( 4分) （7分）7. 解：所围区域：,由格林公式，可得= =.(7分)Oxyz11OOOOO装O订O线OOOO8. 解：如图，选取柱面坐标系计算方便,此时，所以 ( 4分)=. (7分)四、综合题（共16分，每小题8分）1证明：因为，（2分）故存在N，当时，因此收敛。（8分）2证明：因为，且，故曲线积分与路径无关（4分）因此设，从而，（5分），（6分）由此得对任意成立，于是，即（8分）