高等数学基础形成性考核册及答案

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1、高等数学基础第一次作业第1章 函数第2章 极限与连续（一）单项选择题 下列各函数对中，（ C ）中的两个函数相等 A. ， B. ， C. ， D. ， 设函数的定义域为，则函数的图形关于（C）对称 A. 坐标原点 B. 轴 C. 轴 D. 下列函数中为奇函数是（ B ） A. B. C. D. 下列函数中为基本初等函数是（C） A. B. C. D. 下列极限存计算不正确的是（ D ） A. B. C. D. 当时，变量（ C ）是无穷小量 A. B. C. D. 若函数在点满足（ A ），则在点连续。 A. B. 在点的某个邻域内有定义 C. D. （二）填空题 函数的定义域是（3， +)

2、 已知函数，则 x2 - x e1/ 2 若函数，在处连续，则 e 函数的间断点是x=0 若，则当时，称为 无穷小量 （三）计算题 设函数 求：解：f(-2) = - 2，f(0) = 0， f(1) = e 求函数的定义域 解：由解得x1/2，函数定义域为(-，0)(1/2，+) 在半径为的半圆内内接一梯形，梯形的一个底边与半圆的直径重合，另一底边的两个端点在半圆上，试将梯形的面积表示成其高的函数 解：如图梯形面积A=(R+b)h，其中求 求求求 求求 设函数讨论的连续性，并写出其连续区间解： 函数在x=1处连续不存在，函数在x=-1处不连续高等数学基础第二次作业第3章 导数与微分（一）单项

3、选择题 设且极限存在，则（ B ） A. B. C. D. 设在可导，则（D） A. B. C. D. 设，则（A） A. B. C. D. 设，则（D） A. B. C. D. 下列结论中正确的是（ C ） A. 若在点有极限，则在点可导B. 若在点连续，则在点可导 C. 若在点可导，则在点有极限 D. 若在点有极限，则在点连续 （二）填空题 设函数，则0 设，则 (2/x)lnx+5/x 曲线在处的切线斜率是1/2 曲线在处的切线方程是y=1 设，则2x2x(lnx+1) 设，则 1/x （三）计算题 求下列函数的导数： y=(x3/2+3)ex，y=3/2x1/2ex+(x3/2+3)e

4、x=(3/2x1/2+x3/2+3)ex y=-csc2x + 2xlnx +x y=(2xlnx-x)/ln2x y=(-sinx+2xln2)x3-3x2(cosx+2x)/x6= y=4x3-cosxlnx-sinx/x y=(cosx+2x)3x-(sinx+x2)3xln3/32x=cosx+2x-(sinx+x2)ln3/3x y=extanx+exsec2x+1/x = ex(tanx+sec2x)+1/x求下列函数的导数： y=x7/8 y=(7/8)x -1/8 y=nsinn-1xcosxcosnx - nsinnxsin nx在下列方程中，是由方程确定的函数，求： 方程对

5、x求导：ycosx-ysinx=2 ye2yy=ysinx / (cosx-2e2y) 方程对x求导：y = y (-siny)lnx +(1/x)cosyy=(1/x)cosy / (1+sinylnx) 方程对x求导：2siny + y2xcosy=(2xy-x2 y)/y2y=2(xy y2siny) /(x2+2xy2cosy) 方程对x求导：y=1+ y/y， y=y /(y-1) 方程对x求导：1/x+ yey=2y y， y=1/x(2y-ey) 方程对x求导：2y y=exsiny + y excosyy= exsiny/(2y- excosy) 方程对x求导：yey =ex

6、-3y2 y， y=ex/ey+3y2 方程对x求导：y=5xln5 + y2yln2， y=5xln5 /(1-2yln2)求下列函数的微分： 求下列函数的二阶导数：（四）证明题 设是可导的奇函数，试证是偶函数证明：由 f(x)= - f(-x) 求导f(x)= - f(-x)(-x)f(x)= f(-x)， f(x)是偶函数高等数学基础第三次作业第4章 导数的应用（一）单项选择题 若函数满足条件（D），则存在，使得 A. 在内连续B. 在内可导 C. 在内连续且可导D. 在内连续，在内可导 函数的单调增加区间是（D） A. B. C. D. 函数在区间内满足（A） A. 先单调下降再单调上

7、升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升 函数满足的点，一定是的（C） A. 间断点 B. 极值点 C. 驻点 D. 拐点设在内有连续的二阶导数，若满足（C ），则在取到极小值 A. B. C. D. 设在内有连续的二阶导数，且，则在此区间内是（A） A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的 设函数在点处取得极大值，则（ ） A. B. C. D. （二）填空题 设在内可导，且当时，当时，则是的 极小值 点 若函数在点可导，且是的极值点，则 0 函数的单调减少区间是(-，0) 函数的单调增加区间是(0，+) 若函数在内

8、恒有，则在上的最大值是 f(a) 函数的拐点是 x=0 若点是函数的拐点，则 ， （三）计算题 求函数的单调区间和极值 解：y=(x-5)2+2(x+1)(x-5)=3(x-1)(x-5)由y=0求得驻点x=1，5.列表 x(-，1)1(1，5)5(5，+)y+0 0+y Ymax=32Ymin=0(-，1)和 (5，+)为单调增区间， (1，5)为单调减区间，极值为Ymax=32，Ymin=0。 求函数在区间内的极值点，并求最大值和最小值解：y=2x-2，驻点x=1是极小值点，在区间0，3上最大值为y(3)=6，最小值为y(1)=2。x0(0，1)1(1，3)3y-0+y326 试确定函数中

9、的，使函数图形过点和点，且是驻点，是拐点 求曲线上的点，使其到点的距离最短解：曲线y2=2x上的点(x，y)到点A(2，0)的距离 d 2=x2-2x+4，(d 2)=2x-2，由(d 2)=0求得x=1，由此得所求点有两个：圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解 右图为圆柱体的截面，由图可得R2=L2-H2圆柱体的体积V=R2H=(L2-H2)HV=(L2-3H2)，由V=0解得，此时，圆柱体的体积最大。一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解：圆柱体的表面积S=2R2+2RH由体积V=R2H解得H=V/R2 S=2R2+2V

10、/ RS=4R - 2V/ R2=2(2R3 - V) / R2由S=0解得，此时答：当高与底面直径相等时圆柱体表面积最小。欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设长方体底面边长为a高为h表面积S=a 2+4aha 2h =62.5，h =62.5/ a 2S=a 2+250/a， S=2a - 250/a 2=(2a 3 250)/a 2，由S=0解得a =5m，h =2.5m，此时S=75m2最小，即用料最省。从面积为的所有矩形中，求其周长最小者从周长为的所有矩形中，求其面积最大者（四）证明题当时，证明不等式证明：令f(x)=x-ln(1+x)，

11、f(x)=1-1/ (1+x)=x/ (1+x)当x0时有f(x)0，f(x)为增函数，又f(0)=0当x0时f (x)0，即xln(1+x)当时，证明不等式证明：令f(x)=ex/ (x+1)，f(x)= ex(x+1)- ex/ (x+1)2=x ex/ (x+1)2当x0时有f(x)0，f(x)为增函数，又f(0)=1当x0时f (x)1，即exx+1高等数学基础第四次作业第5章 不定积分第6章 定积分及其应用（一）单项选择题 若的一个原函数是，则（D） A. B. C. D. 下列等式成立的是（D） A. B. C. D. 若，则（B） A. B. C. D. （D） A. B. C. D. 若，则（B） A. B. C. D. 由区间上的两条光滑曲线和以及两条直线和所围成的平面区域的面积是（ ） A. B. C. D. 下列无穷限积分收敛的是（D） A. B. C. D. （二）填空题 函数的不定积分是 若函数与是同一函数的原函数，则与之间有关系式 F(x)=G(x)+c tanx+c 若，则 -9cos3x 3 若无穷积分收敛，则 1（三）计算题 （四）证明题证明：若在上可积并为奇函数，则证明：，在第一项中令x = - t，则，0证明：若在上可积并为偶函数，则证明：，在第一项中令x = - t，则，证明：