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1、动量矩定理12-1 质量为m的点在平面Oxy内运动，其运动方程为：式中a、b和为常量。求质点对原点O的动量矩。解：由运动方程对时间的一阶导数得原点的速度 质点对点O的动量矩为 12-3 如图所示，质量为m的偏心轮在水平面上作平面运动。轮子轴心为A，质心为C，AC = e；轮子半径为R，对轴心A的转动惯量为JA；C、A、B三点在同一铅直线上。（1）当轮子只滚不滑时，若vA已知，求轮子的动量和对地面上B点的动量矩。（2）当轮子又滚又滑时，若vA 、已知，求轮子的动量和对地面上B点的动量矩。解：（1）当轮子只滚不滑时B点为速度瞬心。轮子角速度 质心C的速度 轮子的动量（方向水平向右）对B点动量矩由于
2、故 （2）当轮子又滚又滑时由基点法求得C点速度。 轮子动量 （方向向右） 对B点动量矩12-13 如图所示，有一轮子，轴的直径为50 mm，无初速地沿倾角的轨道滚下，设只滚不滑，5秒内轮心滚动的距离为s = 3 m。试求轮子对轮心的惯性半径。解：取轮子为研究对象，轮子受力如图（a）所示，根据刚体平面运动微分方程有（1）JC = Fr（2） 因轮子只滚不滑，所以有aC =r （3）将式（3）代入式（1）、（2）消去F得到上式对时间两次积分，并注意到t = 0时，则 把r = 0.025 m及t = 5 s时，代入上式得12-17 图示均质杆AB长为l，放在铅直平面内，杆的一端A靠在光滑铅直墙上，
3、另一端B放在光滑的水平地板上，并与水平面成角。此后，令杆由静止状态倒下。求（1）杆在任意位置时的角加速度和角速度；（2）当杆脱离墙时，此杆与水平面所夹的角。解：（1）取均质杆为研究对象，受力分析及建立坐标系Oxy如图（a），杆AB作平面运动，质心在C点。 刚体平面运动微分方程为 由于 将其对间t求两次导数，且注意到，得到 将式（4）、（5）代入式（1）、（2）中，得 再将FNA，FNB的表达式代入式（3）中，得即把代入上式得而 分离变量并积分得 （2）当杆脱离墙时FNA = 0，设此时 则 将和表达式代入上式解得12-19 均质实心圆柱体A和薄铁环B的质量均为m，半径都等于r，两者用杆AB铰接
4、，无滑动地沿斜面滚下，斜面与水平面的夹角为，如图所示如杆的质量忽略不计，求杆AB的加速度和杆的内力。解：分别取圆柱A和薄铁环B为研究对象，其受力分析如图（a）、（b）所示，A和B均作平面运动，杆AB作平动，由题意知。 对圆柱A有 对薄铁环B有 联立求解式（1）、（2）、（3）、（4），并将，以及根据只滚不滑条件得到的a = r代入，解得（压力）及 12-21 图示均质圆柱体的质量为m，半径为r，放在倾角为的斜面上。一细绳缠绕在圆柱体上，其一端固定于点A，此绳与A相连部分与斜面平行。若圆柱体与斜面间的摩擦系数为，试求其中心沿斜面落下的加速度aC。解：取均质圆柱为研究对象，其受力如图（a）所示，圆
5、柱作平面运动，则其平面运动微分方程为而F = fFN （4） 圆柱沿斜面向下滑动，可看作沿AD绳向下滚动，且只滚不滑，所以有aC=r 把上式及代入式（3）、（4）解方程（1）至（4），得aC = 0.355g（方向沿斜面向下）12-23 均质圆柱体A和B的质量均为m，半径为r，一绳缠在绕固定轴O转动的圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，如图所示。摩擦不计。求：（1）圆柱体B下落时质心的加速度；（2）若在圆柱体A上作用一逆时针转向，矩为M的力偶，试问在什么条件下圆柱体B的质心加速度将向上。解：（1）分别取轮A和B研究，其受力如图（a）、（b）所示，轮A定轴转动，轮B作平面运动。对轮A运用刚体绕定轴
6、转动微分方程 （1） 对轮B运用刚体平面运动微分方程有 (2) （3） 再以C为基点分析B点加速度，有 （4）联立求解式（1）、（2）、（3）、（4），并将及代入，解得 2）若在A轮上作用一逆时针转矩M，则轮A将作逆时针转动，对A运用刚体绕定轴转动微分方程有 （5） 以C点为基点分析B点加速度，根据题意，在临界状态有 （6）联立求解式（5）、（6）和（2）、（3）并将及代入，得故当转矩时轮B的质心将上升。习题98图98 图示圆柱体A的质量为m，在其中部绕以细绳，绳的一端B固定。圆柱体沿绳子解开的而降落，其初速为零。求当圆柱体的轴降落了高度h时圆柱体中心A的速度和绳子的拉力FT。 解：法1：图（
7、a） （1） （2） （3） 解得 （拉） （常量）（4）由运动学 （）法2：由于动瞬心与轮的质心距离保持不变，故可对瞬心C用动量矩定理： （5） 又 （同式（4）再由 得 （拉） （）910 图示重物A的质量为m，当其下降时，借无重且不可伸长的绳使滚子C沿水平轨道滚动而不滑动。绳子跨过不计质量的定滑轮D并绕在滑轮B上。滑轮B与滚子C固结为一体。已知滑轮B的半径为R，滚子C的半径为r，二者总质量为m，其对与图面垂直的轴O的回转半径为。求：重物A的加速度。 解：法1：对轮： （1） （2）aAFNEmg对A： （3）又：以O为基点： （） （）（4）由上四式联立，得（注意到）OH(b)法2：对瞬心E用动量矩定理（本题质心瞬心之距离为常数）又可解得：911 图示匀质圆柱体质量为m，半径为r，在力偶作用下沿水平面作纯滚动。若力偶的力偶矩M为常数，滚动阻碍系数为，求圆柱中心O的加速度及其与地面的静滑动摩擦力。 解： （1）代入（1），得又：912 跨过定滑轮D的细绳，一端缠绕在均质圆柱体A上，另一端系在光滑水平面上的物体B上，如图所示。已知圆柱A的半径为r，质量为m1；物块B的质量为m2。试求物块B和圆柱质心C的加速度以及绳索的拉力。滑轮D和细绳的质量以及轴承摩擦忽略不计。ABC题9-12解图m1gm2gFTTFTTFNTa 解：对轮C： 对物块B：且：；解得： ；
梁坤京理论力学第十二章动量矩定理课后答案
