《量纲齐次补充》PPT课件

《《量纲齐次补充》PPT课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《量纲齐次补充》PPT课件（25页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、一、一、齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构1 解的性质解的性质性质性质1 （1）的两个解的和还是的两个解的和还是（1）的解的解.性质性质2 （1）的一个解的倍数还是的一个解的倍数还是（1）的解的解.性质性质3 （1）的解的任一线性组合还是的解的任一线性组合还是（1）的解的解.111122121122221122000nnnnsssnna xa xa xa xa xaxa xa xa x （1）2 解空间解空间所成集合，则所成集合，则12121),WW 、2),kPWkW 空间，称之为齐次线性方程组（空间，称之为齐次线性方程组（1）的）的解空间解空间设设 为齐次线性方程组为齐次线性方程

2、组（1）的全体解向量的全体解向量W即即关于解的线性关于解的线性运算封闭，所以运算封闭，所以 是一个向量是一个向量WW定义定义齐次线性方程组齐次线性方程组(1)一组解向量一组解向量 ，12,r 若满足若满足 ii）(1)的任一解向量可由的任一解向量可由 线性表出线性表出.12,r i）线性无关；线性无关；12,r 则称则称 为为(1)的一个的一个基础解系基础解系 12,r 3基础解系基础解系 定义定义4 基础解系的存在性基础解系的存在性 定理定理7 在齐次线性方程组有非零解的情况下，在齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，并且基础解系所含解向量的个数它有基础解系，并且基础解系所含解向量的

3、个数等于等于 ，其中，其中n是未知量的个数，是未知量的个数，nr().rR A 证：证：则（则（1）可改写成）可改写成若若 ，()R Arn 112110,raaaaaaaaa 121r121r222r222rr2rrr2rr 不妨设不妨设11112211,11121122222,1121122,11rrrrnnrrrrnnrrrrrr rrrnna xa xa xaxa xa xa xa xaxa xa xa xa xaxa x （2）代入自由未知量代入自由未知量 ，11(,)rrnxxx 也即（也即（1）的）的 个解个解 nr 111121221222-,1-,2-,(,1,0,0)(,0

4、,1,0)(,0,0,1)rrn rn rn rn r rccccccccc nr 用用 组数组数(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)就得到（就得到（2）的）的 解，解，nr 且且 满足：满足：12,n-r 线性无关线性无关.,12n-r,事实上，若事实上，若1122-0,n rn rkkk 12(,)n rk kk (0,0,0)120n rkkk ，任取（任取（1）的一个解）的一个解 12(,),nc cc 即即 1122n rn rkkk 线性无关线性无关 12n r ,故故 线性表出线性表出12,，n r 可由可由事实上，由事实上，由是（是（1）的解，得）的解，得12,n r

5、 也为（也为（1）的解，即）的解，即 11rnn rcc 1 11(,)rnn rrncccc 为（为（1）的解）的解.它与它与 的最后的最后 个分量相同，个分量相同，nr 即自由未知量的值相同，所以它们为同一个解即自由未知量的值相同，所以它们为同一个解11rnn rcc.故故由知，由知，12,n-r 为（为（1）的一个基础解系）的一个基础解系推论推论1 任一线性无关组的与（任一线性无关组的与（1）的某一基础解系）的某一基础解系等价的向量组都是（等价的向量组都是（1）的基础解系）的基础解系 设设 为（为（1）的一个基础解系，）的一个基础解系，12,t 线性无关，且与线性无关，且与 等价，等价，

6、12,s 12,t 且且 可由可由 线性表出，线性表出，i 12,t 所以也所以也为（为（1）的解向量）的解向量i 证：证：,st 则则(1,2,).it 任取（任取（1）的一个解向量）的一个解向量 ，则则 可由可由 12，t 从而从而 可由可由 线性表出线性表出.12,t 线性表出，线性表出，也是（也是（1）的基础解系）的基础解系.12,t ,推论推论2 若齐次线性方程组若齐次线性方程组(1)的系数矩阵的秩为的系数矩阵的秩为r,则则(1)的任意的任意nr个线性无关的解向量都是个线性无关的解向量都是(1)的的基础解系基础解系 设设 为为(1)的一个基础解系，的一个基础解系，12,n r 证：证

7、：12,n r 为为(1)的的nr个线性无关的解向量，个线性无关的解向量，考察向量组考察向量组12112,()nn r 知的秩为知的秩为nr.()1212,n rn r ,与与都是向量组都是向量组 的极大无关组的极大无关组.()1212,n rn r 故故,与等价与等价.推论推论1得证得证.5 齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组解的结构 若若 为齐次线性方程组（为齐次线性方程组（1）的一个）的一个12t ,1112,tttkkkkkP ,基础解系，则（基础解系，则（1）的）的一般解一般解（或通解）为（或通解）为 11|,1,ttiWkkkP it 令令则则 就是齐次线性方程组（就是齐次线性方

8、程组（1）的）的解空间解空间W例例1求齐次线性方程组的基础解系求齐次线性方程组的基础解系 1234123412340253207730 xxxxxxxxxxxx 解：解：对方程组的系数矩阵作初等行变换化阶梯阵对方程组的系数矩阵作初等行变换化阶梯阵111125327731A 11110754014 108 111107540000327754771 00 10 000令令 得得340,1,xx 令令 得得341,0,xx 原方程组的解为原方程组的解为 13423423775477xxxxxx 52177(,1,0)原方程的基础解系为原方程的基础解系为12,.34177(,1,0)附：附：求基础解

9、系的一般方法求基础解系的一般方法 对方程组对方程组(1)的系数矩阵的系数矩阵A作初等行变换，作初等行变换，化化A为行最简形为行最简形 不妨设不妨设1,112,12,11000100010000000000rnrnr rrnccccAcc 初等行变换初等行变换第一步：第一步：写出方程组写出方程组(1)的一般解：的一般解：第二步：第二步：11,11122,112,11rrnnrrnnrr rrrnnxcxc xxcxcxxcxc x 第三步：第三步：为自由未知量为自由未知量.11,rrnxxx 代入自由未知量代入自由未知量 ，11(,)rrnxxx nr 用用 组数组数(1,0,0),(0,1,0

10、),(0,0,1)得出方程组得出方程组(1)的的 解：解：nr 11,12,1,121,22,2,2-12(,1,0,0)(,0,1,0)(,0,0,1)rrr rrrr rn rnnrnccccccccc 向量组即为方程组向量组即为方程组(1)的一个基础解系的一个基础解系.12n r ,练习练习求齐次线性方程组的基础解系求齐次线性方程组的基础解系 123412341234030230 xxxxxxxxxxxx 二、一般线性方程组解的结构二、一般线性方程组解的结构设线性方程组设线性方程组 则齐次线性方程组则齐次线性方程组（3）11112211211222221122nnnnsssnnsa xa

11、 xa xba xa xaxba xa xa xb （4）111122121122221122000nnnnsssnna xa xa xa xa xaxa xa xa x 称为（称为（3）的）的导出组导出组 1解的性质解的性质 性质性质1 非齐次线性方程组（非齐次线性方程组（3）的两个解的差）的两个解的差12、为其导出组（为其导出组（4）的解）的解12-性质性质2 非齐次线性方程组（非齐次线性方程组（3）的一个解与其导出）的一个解与其导出 组（组（4）的一个解）的一个解 的和的和 仍为（仍为（3）的解）的解 注注非齐次线性方程组的两个解的和及一个解的非齐次线性方程组的两个解的和及一个解的倍数一

12、般不再是该非齐次线性方程组的解倍数一般不再是该非齐次线性方程组的解.2非齐次线性方程组非齐次线性方程组解的结构解的结构 定理定理8 如果如果 是非齐次线性方程组（是非齐次线性方程组（3）的一个）的一个0 0 为其导出组为其导出组（4）的一个解）的一个解 从而，方程组（从而，方程组（3）的一般解为）的一般解为 011n rn rkk 12,n r 为导出组为导出组（4）的一个基础解系）的一个基础解系特解，那么方程组（特解，那么方程组（3）的任一个解）的任一个解 都可以表成都可以表成 推论推论 非齐次线性方程组（非齐次线性方程组（3）在有解的条件下，）在有解的条件下，解是唯一的充要条件是它的导出（

13、解是唯一的充要条件是它的导出（4）只有零解）只有零解.证：证：“”“”设（设（3）有唯一解）有唯一解 0 若其导出组（若其导出组（4）有非零解）有非零解 ，则有则有 也为（也为（4）的解）的解 ，k()kP 从而从而 皆为（皆为（3）的解）的解.0()kkP 矛盾矛盾.“”“”假若（假若（3）有两个不同的解）有两个不同的解 ，则，则12 、12(0)为（为（4）的一个非零解）的一个非零解.矛盾矛盾.求出求出(3)的导出组的导出组(4)的一个基础解系的一个基础解系12,t 3求一般线性方程组求一般线性方程组(3)的一般解的步骤的一般解的步骤第二步：第二步：第三步：第三步：写出写出(3)的一般解的

14、一般解(通解通解)若有无穷多个解，先写出若有无穷多个解，先写出(3)的一个特解的一个特解0.01112,.tttkkkkkP ，对对(3)的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵的增广矩阵作初等行变换化阶梯阵,第一步：第一步：根据阶梯阵判断根据阶梯阵判断(3)是否有解是否有解1224122411224203123xxxxxxxxxxxx 例例2求解方程组求解方程组 解：解：111 1011 131112 31 2A 对方程组的增广矩阵作初等行变换对方程组的增广矩阵作初等行变换1213111 100 02410 01 21 2rrrr 11 01 1 20 0 12 1 20 0 000()由由(),()

15、()24,R AR A 1243412122xxxxx 令令240,xx 011(,0,0)22 即得原方程组的一个特解即得原方程组的一个特解得得1312xx 由由 ，原方程组的导出组与下方程组同解，原方程组的导出组与下方程组同解()124342xxxxx 原方程组有解，并有原方程组有解，并有令令 ，得，得241,0 xx1(1,1,0,0)即为导出组的一个基础解系即为导出组的一个基础解系 12,令令 ，得，得240,1xx 2(1,0,2,1)故原方程组的通解为故原方程组的通解为0112212,()kkkkP 、.11221121223411010,().02001xxkkkkPxx 即即、