《高等数学》PPT课件

《《高等数学》PPT课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《高等数学》PPT课件（26页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、3、泰勒公式、泰勒公式 多项式是一类很重要的函数，其明显特点是结构多项式是一类很重要的函数，其明显特点是结构简单，因此无论是数值计算还是理论分析都比较简单，因此无论是数值计算还是理论分析都比较方便。方便。从计算的角度看，只须加、减、乘三种运算，连除法从计算的角度看，只须加、减、乘三种运算，连除法都不需要，这是其它函数所不具备的优点都不需要，这是其它函数所不具备的优点。用多项式近似地表示给定函数的问题不仅具有实用多项式近似地表示给定函数的问题不仅具有实用价值，而且更具有理论价值用价值，而且更具有理论价值。一般一般的函数不好的函数不好处理，先处理，先用较好处理的多项式近似用较好处理的多项式近似替代

2、，然后通过某种极限手续再过渡到一般的替代，然后通过某种极限手续再过渡到一般的函数，函数，这是研究函数的常用方法。这是研究函数的常用方法。泰勒公式正是研究用多项式近似代替函数的方法泰勒公式正是研究用多项式近似代替函数的方法一、问题的提出一、问题的提出1 1.设设)(xf在在0 x处处连连续续,则则有有2 2.设设)(xf在在0 x处处可可导导,则则有有)()()(000 xxxfxfxf )0()0)(0()0()(xxoxxxfxfxf忽略掉（忽略掉（x-x0)的高阶无穷小，则有的高阶无穷小，则有（1）（2）显然，显然，(2)的精确程度比的精确程度比(1)要高要高以上两个近似等式都是用一个多项

3、式近似代替函以上两个近似等式都是用一个多项式近似代替函数数f(x)，它们有共同的不足，它们有共同的不足:1、精确度不、精确度不高高2、误差不能、误差不能估计估计 第一个近似是用常数（零次多项式）近似第一个近似是用常数（零次多项式）近似代替函数代替函数f(x)；第二个近似是用线性函数（一次多项式）第二个近似是用线性函数（一次多项式）近似代替近似代替f(x)；两种近似的多项式的次数都太低两种近似的多项式的次数都太低 第一个近似的误差第一个近似的误差 是是一个无穷小量；一个无穷小量；第二个近似的误差第二个近似的误差 是一个高是一个高阶无穷小量阶无穷小量 两个近似的误差都无法定量化两个近似的误差都无法

4、定量化)0()()(xfxfxR)0()(xxoxR问题问题:nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010 问题的具体提法问题的具体提法)()(xnPxf使得：?)()(10 xnRaaaxPnn如何求？、的系数 为了使为了使Pn(x)能更精确地表示能更精确地表示f(x)，我们要求它，我们要求它们有尽可能多的共同之处。们有尽可能多的共同之处。为此要求它们在为此要求它们在x0点有相同的函数值、有相同点有相同的函数值、有相同的的1阶阶,2阶，阶，n阶导数值：阶导数值：)0()()0()(xknPxkf),2,1,0(nk)()0()0(00 xfaxnPxf带入，得：将)(!010

5、)0(xf)()()(0100 xfaxnPxf带入，得：将)(!110)1(xf)(!2)()(0200 xfaxnPxf带入，得：将)(!210)2(2xfa)(!10)(xfkakk一般地可得：),2,1,0(nknnnxxnxfxxxfxxxfxfxP)(!)()(!2)()()()(00)(200000 （*）定义：定义：n次多项式次多项式（*）称为函数称为函数f(x)在在x=x0点的点的n阶泰勒多项式阶泰勒多项式xexf)(1、设例),1,0()()(kxexkf则),1,0()()(00kexkfx),1,0(!)(00)(nkkekxfaxkk次泰勒多项式为点的在nxxexf0

6、)(nxxnexxexxeexnPxxxx)0(!2)0(!2)0()(0000次泰勒多项式为点的在特别地，nxxexf00)(nxnxxxnP!1!211)(2定义：函数定义：函数f(x)在在x0=0点的点的n次泰勒多项式次泰勒多项式nxnnfxfxffxnP!)0()(2!2)0()0()0()(称为函数称为函数f(x)的的n阶马克劳林多项式阶马克劳林多项式三、三、泰勒定理（泰勒公式）泰勒定理（泰勒公式）关于f(x)与其泰勒多项式关系，我们有的 p140141称为称为拉格朗日拉格朗日形式的余项形式的余项 )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxRnnn )()(!)(

7、)(0000)(nknkkxxoxxkxfxf 称为称为皮皮亚诺形式的余项亚诺形式的余项0)0()(0limnxxxnRxx从而.)()(0nnxxoxR 即即若若f f(n+1)(n+1)(x)(x)有界：有界：则，0)1()(Mxfn从而，泰勒公式又可以表示为从而，泰勒公式又可以表示为【注】)()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf称为带有皮亚诺余项的n阶泰勒公式1、泰勒公式有两种形式2、当x0=0时，对应的两种形式的马克劳林公式为nnkkxnfxnkkfxf)!1()0(0!)0()()1()(拉格朗日余项拉格朗日余项)()(!)()(0000)(nknkkxxoxxk

8、xfxf和：皮亚诺余项皮亚诺余项具体采用那种形式，要视题意或具体问题而定。四、求函数的泰勒公式四、求函数的泰勒公式 在以下的讨论中，总假设要求的是带有皮亚诺余项的泰勒公式。由于一般泰勒公式可以转化成马克劳林公式，所以我们重点讨论求函数的马克劳林公式的方法。1、直接法(1)求出f(x)的各阶导数f(k)(x)，求出 f(k)(0)(k=0,1,2,n)【步骤】(2)写出f(x)的马克劳林多项式 nkkknxkfxP0)(!)0()(nnxnfxfxff!)0(!2)0()0()0()(2(3)按要求写出余项 )()(nnxoxR1)1(1)1()!1()()!1()()(nnnnnxnxfxnf

9、xR或者：(4)完成公式)()()(xRxPxfnn解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()(nffffxnexf )()1(注意到注意到代入公式代入公式,得得).10()!1(!2112 nxnxxnenxxxe或)(!221nxonnxxxxe由公式可知由公式可知!212nxxxenx 估计误差估计误差!1!2111,1nex则特别地取：.)!1(3 n其误差其误差)!1(neRn).10(1)!1()!1()(nxnxenxexnR解解)2sin()()(kxxkf2sin)0()(kkf依次为0,1,0,-1循环出现),2,1,0(k121212)12(2

10、)!12(cos)!12()2sin()!12()()(nnnnnxnxxnxxnxfxR而121532)!12(1)1(!51!31)(nnnxnxxxxP1212153)!12(cos)!12(1)1(!51!31sinnnnxnxxnxxxx或)()!12(1)1(!51!31sin212153nnnxoxnxxxx同理可得)()!2(1)1(!31!211cos12232nnnxoxnxxx解解kkxkxf)1()1()()()1()1()0()(1)0(kkff，),2,1(k)(!)1()1(2!2)1(1)1(nxonxnkxxx特别地，当时1)()1(32111nxonxnxx

11、xx2、间接法)(321)(1111nxonxxxxxx解解类似地有)(11)1(331221)1ln(nxonxnnxxxx解解xxxxx11211)1(211)()1(21 21nxonxnxx)(2)1(2221nxonxnxx解解1)1(1xeexexe)1()1(!1)1(!21)1(121nnxxoxnxxe而)1()1(!)1(!2)1(2nnxxoxnexexeee五、泰勒公式的应用五、泰勒公式的应用解解)(!2114422xoxxex )(!4!21cos542xoxxx )()!412!21(3cos2442xoxxex 127)(127lim4440 xxoxx原式原式2

12、)(60lim03)(6sin0lim8xxfxxxxfxx，求、设例)(366)()6(!3166sin4343xoxxxoxxx解：3433)()(366)(6sinxxoxxfxxxxxfx342343)(36)(6)(36)(6 xxoxxfxxoxxfx知由03)(6sin0limxxxfxx0)(36)(60lim342xxoxxfx362)(60limxxfx例例9 设设f(x)在在0,1上二次上二次可导，可导，1)1(),1()0(fff证明证明2)()1,0(f，使，使证证将将 f(x)在在 x=1 处作一处作一阶泰勒公式展开阶泰勒公式展开，有，有2)1(!2)()1)(1(

13、)1()(xfxffxf 将将 x=0 代入上式，得代入上式，得2)10(!2)()10)(1()1()0(ffff由由1)1(),1()0(fff2)(f例例10证证xxfxfxxfx)(0)(1)(0lim。求证，且设10)0()(0lim)0()0(0)(0limxfxfxffxfx，且由已知由已知由马克劳林公式2)(!21)0()0()(fxfxffx2)(!21xfx0)(xfxxxfxxf0)(!21)(2证毕例例11）使得（证明至少存在阶连续导数，且上有在设1,1-;0)0(,1)1(,0)1(3 1,1)(fffxf3)()3(f 【授课内容授课内容】Ch3,3 【习习 题题】习题习题3-3，【下次讲授下次讲授】Ch3、4、5 （上合堂课）（上合堂课）