第五章 常态分配

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1、第五章 常態曲線 (The Normal Curve)壹、本單元的目標1、定義並明常態曲線(the normal curve )的概02、 學習將資原得到的直轉換成Z 分( z scores ) ，以 及運用Z分及常態曲線表(Appendix A)找出在曲線上某一點之上、之下或某點之間的面積。3、以機的方式表達前述之面積。貳、前言常態曲線(The Normal Curve)及常態分配的觀，在統計中十 分重要，它們是推統計的基礎。常態曲線及分配是一種模式，但透過這模式，配合平 均及標準差，我們可以對實證研究所得之資分配，做相當確 之描述及推。能做到這一點是因常態曲線本身有些重要且已知的 特性。常

2、態曲線最重要的特性是其形為左右對稱鐘形之曲線。 此曲線只有一個眾，並與中位及平均是三合一的。其區線的 尾是向端無限延伸。因此，雖然實際調查得到的資，可能 是這種完美的模式，但許多實際得到之變項的資分配是相當 接近這種模式，因此可以假定它們的分配是常態的，進而使我們得 以運用常態曲線的特性。配合平均及標準差之觀 ，我們可以得到常態分配一個重要的 特性：在常態曲線下，以平均 T為中心，任何一個在左邊的點與玄 之間在常態曲線下之面積是和另-相對在右邊同距之點與 X之間 的面積相等。常態分配另一非常重要特性是，任何點與玄間在常態曲線下之 面積是一定且已知的。圖一從圖一可知在常態曲線下，平均與標準差之間

3、的所佔的面 積比是有一定的關係。您要熟記這個關係。如果一個變項的分配 是接近常態曲線，那這個面積的比也代表所佔的樣本比。如， 如果全部樣本是 1000 人，則平均加減一個標準差 （平均 1S） 就有約683 人 （1000 x 68.26%）。所以，就常態分配而言，只有少 的樣本是在平均加減三個標準差以外（也就是只有極少個 案的分是比平均加三個標準差的大，或比平均減三個標準 差的小）。、標準化：求 Z scores 在我們解以上常態分配之特性後，可以進一步將實際之分配 加以標準化成為標準常態分配己（standard normal distribut）o。這 種分配之特性是其T= 0，s = 1

4、。（探有點要注意：1、實際分配 應是接近常態分配，標準化才有意義。但如果實際分配是接近常 態分配時，常態分配之觀仍然有用，容以後再述。 2、常態分配如 前所言是一種模式，也就是一種用解現實況的標準）。資標準化方法是將原資中的分變成Z scores（Z 分），一種標準常態分配之分。原的分可以是任何單位測到的， 如元、歲或分。在轉變成 Z 分後，這些單位就消失 ，而原的平均會成為0，原的標準差則成為 1。如，在經過智測驗後，志明的 IQ分是 120分，而此分是比整個樣本的平均多一個標準差，也就是 10 分。當整個樣本的 IQ 的分轉換 成 Z 分後，整個樣本的平均是 0，而志明的 IQ 分也就成轉

5、換原始分成為 Z 分的公式為Z = Xi - X由此公式可知，當Xj= X時，Z = 0，也就是X在標準常態分配下的Z分等於 0。此外，一個原分等於原的X加上一個S 時, 經由公式（1）之轉換，即成Z= 1，即Xi= X + is時，G + 1S) XS這也和剛才提及在標準常態分配中 s = 1 之。同可知，當一個原 始分轉成 Z 分是 1 時，那此原始分就是比平均高一個標準 差的分。標準化之觀即將原之分化成一種標準分，如同將英尺 化成公尺般。如此一，同之樣本分配經標準化後就可比較。而 原的分所構成的常態分配也就成標準常態分配。當然，標準 常態分配也有前述常態分配所有的特性，如下圖：肆、常態曲

6、線表任何分經標準化成Z分後 ，此 Z分與灭（ = 0）之間在常態曲線下之面積，可用書中 Appendix A 之常態曲線表查出。此表有三，其中一部分如下表：TABLE 5.1 AN ILLUSTRATION OF HOW TO FIND AREAS UNDER THENORMAL CURVE USING APPENDIX A(a) Z(b)Area Between Mean and Z(c) Area Beyond Z0.000.00000.50000.010.00400,49600.020.00800.49200.030.01200.48801.000.34130.15871.010.343

7、80.15621.020.34610.15391,030,34850,15151500,43320.06681.510.43450.06551.520.43570.06431.530.43700.0630Q 2005 Wadsworth - Thomson用此表，我們可知道： 1、任何Z分和 X之間的面積；2、某 Z分以上或以下之面積（也就是找大於或小於 Z分之部分的面 積）； 3 、 個 Z 分間之面積。在常態曲線下，尋找某Z分以上或以下之面積的方法，如下表：表一、尋找某 Z 分以上或以下之面積的方法（對照Appendix A）當Z分為尋找面積正負在Z分以上（比Z將b所呈現的面積分大的部分）

8、看C加.5000 或 50%在Z分以上（比Z將b所呈現的面積分小的部分）加.5000 或 50%看c在常態曲線下，尋找個 Z 分之間面積的方法如下表：表二、尋找個 Z 分之間面積的方法（對照 Appendix A）況尋找步驟個Z分在平土均的同一邊由b找到每一個 Z分與平均 之間的面積，然後將大的面積 減去小的面積個 Z分是分在平均的邊由b找到每一個 Z分與平均 之間的面積，然後將個面積 相加伍、用常態曲線推估機（probability）有已知特性的常態曲線也可看成是機的分配。透過我們對常態分配之特性的解，我們可以進而解資中任何一件個案或分，在一定條件下被選出或抽中之機。找到機的方上述找面積的方

9、法相同。所謂機，簡言之，即從長期之觀點看，某一事件發生或成功（success）與全部事件間之比關係。比如，j從 52張撲克牌中抽 取紅心 Q 之比，即機應是 152。當然您要是只做一次抽牌實 驗，抽出的極可能是紅心 Q，但是要是做一百次或一千次，則平 均下，抽到紅心 Q之比應是接近 1/52，這也就是所謂的從 長期之觀點看 （over the long run）的意思。機一定是在 0與1 之間。機是 0時，就表示某一事件毫無發生的可能，而機為 1 時，則表示此事件必然會發生。當一個變項的分配是常態分配時，我們就可用常態分配的特 性估計抽中某些樣本是有某些分的機為何。如，如果男性 的 IQ 分是

10、常態分配，則我們可以很容知道抽中男性的 IQ 分 是在95分與平均 100分間的機為何。其作法就如先前將原始分（95分與100 分）先轉換成Z分後，再尋找此二分間的面積。 因為，所謂68%左右之面積是在玄1S之間的意義，即為有68%左 右之個案件或分是在 袤1S之間。也因此，從機的觀點看， 當我們隨由一有常態分配性質之母體抽一件個案時，非常可能的 是此件之分是在 玄1S之間，由此可推，任何-件超過袤3S之 分並抽到的可能性極低應只有 0.0028 之概 （10.9972） 。、分配之偏態 （Skewness）與峰（Kurtosis）X）工i 二 S 2 X SZ 3二 Z 3NS 3NKurtosisNZ4常態分配之 Skewness 為 0，Kurtosis 為 0。