比和比例应用题

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1、课题五比和比例应用题比和比例在统计、测量、绘图、实验、建造、计算等等方面有着广泛的应用。反映在考试当中，工程问题， 行程问题，按比例分配，解比例，比例尺，正比例和反比例的其他应用都可能对本部分知识有所涉及。比和比例 的知识是初中数学中一次函数、反比例函数、相似图形等课题的知识基础，属于重点知识。作为小学数学最后一 个知识模块，同学们接触不久便将其应用于解决实际问题存在一定的困难，同学们更熟悉的是分率计算、算术法 解题。但正如上面所讲，很多实际问题中用到了比例的思想，建议同学们在学习时，将分数与比的思想多比照， 多联系；在应考之前，再次把六年级数学书上册的“比和比的应用”及下册的“正比例和反比例

2、的意义、”“比例的应用” 等内容贯通在一起复习一遍（包括思考课后习题），将人教版课本和北师大版课本互相参照地复习，着重从课本 上简单而熟悉的例子中体悟比和比例的思想，以更好地应用于解决问题。做练习时需要注意以下三个方面：一、学会运用比和分率的联系解题及将比看成“份数”解题。另外，填空题或应用题求比是多少时，一定要 化成最简整数比（比的前项和后项化成互质的整数），要理解最简比（比是两个数量之间的一种关系）和比值（比 值是一个数）之间的区别。二、能够根据题意找出成比例的量，并建立比例式，解比例得到答案。注意理解成比例的量是变化的量。三、通过成比例将一种量的比转化成另一种量的比，这是解决问题的关键思

3、想。如匀速行驶的两辆汽车同时 出发，其速度比等于路程比（成正比例）；如工程总量一定，工作时间与工作效率成反比，如在一个题目中，知 道甲工作 3 天完成的任务等于乙工作两天完成的任务，则二者的工作效率比是2：3（自己推导一下），如果再有 二者的总工作量都相同，工作的总时间比是 3：2；侧面积相等的两个方柱，其底边长与高成反比，底边长乘高 等于（侧面积三4）,从而结合其他已知条件计算两方柱体积比；再如一类典型的按比例分配的题目，一个零件的 两道工序，专做第一道工序的每人每小时可完成 4 个，专做第二道工序的每人每小时可完成 5 个，现工厂里有 36 名工人，如何分配，我们可以用以下思路解题：每道工

4、序所占用的工时比等于每道工序所分配的人数比（成1 11 1正比），第一道工序占用每人丄小时，第二道工序占用每人 丄小时，丄：丄=5: 4,从而人数的分配也是5：454 54。知识纲要如下（看完书再看以下内容）：1、比、分数和除法之间的联系与区别：例。比号（:）意义形式2、比和比例分子除法被除数除号5L比b比表示两个数相除的关系；比例表示两个后项（HD）分母（HD）除数（工。）表不两个数相除性质N；t4 = 0. 25前比后比项号项值 1： q也可以写成占 比的前项除以后项所得的商叫做比値，比值是一个数，可以写成分数或小数的形式，当可以化成整数时，要化感整数组成比例的四个数叫做比例的项m,比的前

5、项和后项都乘以或除以相同的数5除外）比值不变,即:a:b= （a汎m） : （b 汎m）应用比的基本性质,可以化简比在比例中，两个外项的积等干两个内项的积。即:如果a：b=c：d（a、!b、c、d四个数均不为0）,那么b:a=d:c；25,，则5： 3=25：15； a t3：15=5： 25；15：3=25：5，同学们开动脑筋:或缩小了若干倍得到的，自然也就有了比例的基本性质 ad二a Xb Xm=a Xm Xb, 以上推论也，同学们要注意前后知识点的联系，重视思考过程，懂得活学活用。3、化简比的方法：（1）根据比的基本性质，把比的前项和后项都乘以或除以同一个数（0 除外）进行化简。（2）把

6、前项除以后项所得的比值，改写成最简整数比。 注意：有单位名称的同类量的比化简时，要先化成相同的单位，然后再计算。4、解比例的方法：已知比例中的任意三项，根据比例的基本性质，可求出其余的一项（未知项，）注意写成 以下形式时，用交叉相乘法：5兀心是两个内项相乘不355是两个外项相乘，4x=5X5。5、判断两个比是否可以组成比例的方法：（1）分别求出两个比的比值，如果比值相等，就可以组成比例；（2）将两个比都化简成最简整数比，如果得到的最简整数比相同，则可以组成比例；（3）假设两个比能组成比例，那么两个内项的积和两个外项的积一定相等。如果积不相等，则说明假设不 成立，也就不能组成比例。6、正比例和反

7、比例：正比例反比例意义相同点两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化不同点两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定两种量相对应的两个数的积一定关系式判断正、反比例时=k（k 定），先分析数量关系，确定哪两种量是;xy=k （k 定）相关联的量。根据两种相关联的量与那出数量关系式。两种相关联的量之间的关系若是商一定，则成正比例关系，若是积一定，则成反比例关系，若商 和积都不是定量，则不成比例。一些常用的正比例和反比例：图形问题中，例如三角形，面积一定，底和高成反比例；底一定，面积和高成正比例（注意：面积=1底高2边长） ；高一定，面积和底成正比例。又如圆锥的体积一定，高和底面积成反比例

8、；底面积一定，体积和高成 正比例（注意体积=1底面积）；高一定，体积和底面积成正比例。咼 3在工程问题中，工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。工作效率一定，工作总量和工作时间成正 比例；工作时间一定，工作总量和工作效率成正比例。例：（1）加工一批零件，若单独做，甲可比规定的时间提前 2 天完成，乙则要超过规定时间 3 天完成。如果甲乙两人合作 2 天后，剩下的由乙单独做，那么刚好在规定时间完成。规定完成的时间是多少天？解题思路：根据条件可知，甲工作两天完成的零件数是乙工作三天完成的零件数，也就是说工作量一定时，甲乙的工作时间比是 2：3。单独做，甲、乙各自所需的天数的比与2：3 成比例，

9、若设规定时x 一 2 2间是x天，则甲的工作天数是（x-2）天，乙的工作天数是（X+3 ）天，则有： 二 =，解得规定完成的x + 33天数 x=12（2） 小张单独加工一批零件会比规定时间晚三天完成任务，王师傅帮小张做了两天，恰好在规定时间 完成，现在若有 150 个零件需要加工，让小张和王师傅同时开始做同时完工，应如何分配？解题思路：根据已知条件，王师傅工作两天完成的零件数是小张工作三天完成的零件数，即加工相 同个数的零件，王师傅与小张所需的时间比是 2： 3，也就是说，工作量相同时，王师傅所需时间是小张2 3 2所需时间的一，工作量一定，工作效率与工作时间成反比，则王师傅的工作效率是小张

10、工作效率的 2（x3 2 333x - y=k,k为相同的工作量，x为工作天数，y为工作效率），两人工作效率比为 3: 2 （1：）如此可22按两人的工作效率比将工作总量“ 150个零件”进行分配，应分配给小张零件数：150三（2+3 ） X 2=60（个）, 应分配给王师傅零件数： 150-60=90 （个）解题过程：由题意知：加工相同个数的零件，王师傅与小张所需的时间比是2： 3，则王师傅与小张的工作效率比是3： 2。150 三（2+3 ） X 2=60 （个）；150-60=90 （个）答：应分配给小张 60 个零件，应分配给王师傅 90 个零件。在行程问题中：路程一定，速度和时间成反比

11、例；速度一定，路程和时间成正比例；时间一定，路程和速 度成正比例。例：上午8时8分，小明骑自行车从家里出发。8分钟后，爸爸骑摩托车去追他。在离家4千M的地方追 上了小明，然后爸爸立即回家。到家后，爸爸又立即回头去追小明。再追上他的时候，离家恰好是8千M ,这 时是几点几分？解法：下图中实线是爸爸从第一次追上小明到第二次追上小明所走的路线，虚线是同时间小明走的路线。从线段1图中我们可以看出爸爸走了 3个4千M的时间，小明只走了 1个4千M,小明所行路程是爸爸所行路程的丄，相31同时间内，路程与速度成正比，则小明的速度是爸爸速度的-o34千M4千M才一一一一一一一一一一一一一、严亠.一一一一一一一

12、一一、 丫 爸爸；:小明家第一次追上时离家 4 千 M 第二次追上时离家 8 千 M1我们再来看第一次爸爸追上小明时的情况，由于小明的速度是爸爸速度的丄，从爸爸第一次开始追小明到追31上小明的这段时间内，爸爸行出4千M,小明行出4千M的丄（同样是根据相同时间内，路程与速度成正比），3小明必须先行出4千M的 =2，也就是说，小明用8分钟的时间先行出4X 2 = 8千M。3333小明先用 8 分钟时间走出4千M的小明3 I爸爸进而我们求出小明的速度是8三8=1千M/分钟，小明8点8分从家里出发，到爸爸二次追上小明时，小 331明共行8千M, 8三丄=24分钟，从而求得第二次追上的时间是 8点32分

13、。解题过程：34三（4+8）1=4 X（1-1）= 8（千 M）81三8=（千M/分钟）3333318三=243（分钟）8+24=32（分）答： 这时是8点32分。在价格问题中：总价一定，单价和数量成反比例；单价一定，总价和数量成正比例；数量一定，总价和单价 成正比例。7、比例尺：图上距离：实际距离=比例尺（图上距离=比例尺），为了计算简便，通常把地图上的比实际距离例尺的前项化简成“1”，精密零件的图纸， 实际距离很小， 一般是把比例尺的后项 （实际距离） 化成“1”。典型习题：1、用一条长108 厘 M 的铁丝，做成一个长方体模型，要求长宽高的比为2：3：4，如果每个面都用铁皮包 上做成铁盒

14、，这个铁盒的表面积和体积各是多少？2、学校篮球场的长是26M，宽是14M，用1 : 1000的比例尺画出这个篮球场的平面图，并求这个平面图 的面积。3、某种机器零件要经过三道工序，专做第一道工序的每人每小时可完成 10 个，专做第二道工序的每人每 小时可完成5个，专做第三道工序每人每小时可完成4个。现有88个人怎样分配才合适？4、有一种零件，每个主件上要配两个附件，而且每个主件要分两道工序，装附件只需要一道工序。专做主件第一道工序的每人每小时可完成3 个，专做主件第二道工序的每完成1 个需要一个人 2 小时的时间，专装配 件每人每小时可装4 个配件。工厂里有170个工人，每道工序应如何分工？5

15、、从甲地到乙地的路程分为上坡、平路、下坡三段，三段的路程之比依次为1：2：3，王强走这三段路所用时间比是4 : 5 : 6。已知他上坡时的速度是每小时 4千M ,路总长36千M。则王强走完全程 要多少小时？6、甲、乙、丙三人同时从A地向B地跑，当甲跑到B时，乙离B地还有35M，丙离B地还有68M ;当乙 跑到B时，丙离B地还有40M ,设甲、乙、丙的跑步速度都是匀速，则A、B两地相距多少千M?7、甲、乙两种糖的单价比是4 : 5，质量比是4: 1 ，把这两种糖混合成100千克的什锦塘，单价为8.4 元， 原来每种糖的总钱数各是多少元?8、制造一个零件，甲需要6 分钟，乙需要5 分钟，丙需要4.

16、5 分钟。现在有 1590 个零件的制造任务分配 给他们三个人，要求在相同的时间内完成，每个人应该分配到多少个零件?9、加工一个零件，甲、乙、丙所需的时间比为6 : 7: 8。现在有 3650 个零件要加工，如果规定3 人用同 样的时间完成任务，那么各应加工多少个零件?*附加课程：自行车中的数学（一）研究普通自行车的速度与内在结构的关系：通过车轮的周长乘以后齿轮转的圈数来计算蹬一圈车子走的距离。后齿轮转的圈数x后齿轮的齿数=前齿轮转的圈数x前齿轮的齿数，从而在已知前齿轮齿数与后齿轮齿数（或已知二者齿数比）的情况下，求出蹬一圈（前齿轮）转一圈，后齿轮转的圈数。 从而推倒出：蹬一圈自行车走的距离=车轮的周长x（前齿轮的齿数：后齿轮的齿数）（二）研究变速自行车的能变化出多少种速度： 研究有多少中组合方式（详见小学三年级上册数学广角，加法与乘法原理）