平面几何四大定理

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1、CR共点的充要条件是BP QA - AR =B平面几何四个重要定理四个重要定理：梅涅劳斯(Me nelaus)定理(梅氏线)ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R, 则P、Q、R共线的充要条件是Bp CQ AR = 1。PC QA RB塞瓦(Ceva)定理(塞瓦点)ABC 的三边 BC、CA、AB 上有点 P、Q、R,托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。-可修例题：1.设人。是厶ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。AE 2AF求证. =。ED FB【分析】CEF截厶ABDf Al. DC . IZ = 1

2、ED CB FA评注】也可以添加辅助线证明：过 A、B行线。2.过AABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F, 交CB于Do求证.BE CF 1求证.F = 1 oEA FA【分析】连结并延长AG交BC于M,则M为BC的中点。DEG截H - GM -需=1 （梅氏定理）。6卩截厶ACMf空FAAG MD 1GM DC梅氏定理）.BE CF GM - (DB + DC) _ GM - 2MD1= =1EA FAAG - MD2GM - MD评注】梅氏定理3. D、E、F 分别在 ABC 的 BC、CA、AB 边上，BD = AZ =空=x , ad、BE、CF 交成ALMNo DC FB E

3、A求S oLMN【分析】评注】梅氏定理4.以厶ABC各边为底边向外作相似的等腰BCE、ACAF、 ABGo求证：AE、BF、CG相交于一点。【分析】C-可修【评注】塞瓦定理5.已知 ABC 中，ZB=2/C。求证：AC2=AB2+ABBC。【分析】过A作BC的平行线交 ABC的外接圆于D,连结BD。则 CD=DA=AB, AC=BD。由托勒密定理，AC BD=AD BC+CD AB。【评注】托勒密定理46.已知正七边形AAAAAAAo求证：= L_ A A A A- 2 - 3【分析】4 A-A-。（第21届全苏数学竞赛）14A5评注】西姆松定理（西姆松线）4A5评注】托勒密定理7. ABC的

4、BC边上的高AD的延长线交外接圆于P,作 PE丄AB于E,延长ED交AC延长线于F。求证：BC EF=BF CE+BE CF。【分析】8. 正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、 N分成的比为AM: AC=： CE=k，且B、M、N共线。 求 k。（23-IMO-5）FA【分析】评注】面积法9. 0为厶ABC内一点，分别以d、d、d表示O到BC、 abcCA、AB 的距离，以 R 、R 、R 表示 O 到 A、B、C abc的距离。求证：(1)aRAbd+cd;ab coR Acd +bd;ab c(3) R +R +R 2(d +d +d )。a b c a b c【分析】【

5、评注】面积法10. ABC中，H、G、O分别为垂心、重心、外心。 求证：H、G、O三点共线，且HG=2GO。(欧拉线)【分析】评注】同一法AEBDCODB11. ABC 中，AB=AC, AD丄BC 于 D, BM、BN 三 等分ZABC,与AD相交于M、N,延长CM交AB于E。 求证：MB/NE。【分析】【评注】对称变换12. 6是厶ABC的重心，以AG为弦作圆切BG于G,延长CG交圆于D。求证：AG2=GCGDo【分析】评注】平移变换13. C是直径AB=2的OO上一点，卩在厶ABC内，若PA+PB+PC的最小值是戶，求此时厶ABC的面 积 S。【分析】ADGGpC点，求证：PA+PB+P

6、OOA+OB+OC （O为费马点）C内任P-可修编.JLOPNDC分析】 将 C R(B,-6O0) C, O R (B ,-600 ) O,P R ( B 厂600 ) P, 连结 OO、PP。则AB OO、AB PP都是正三角形。.OO=OB, PP =PB。显然BOC9ABOC,ABPC9ABPC。 由于ZBOC=ZBOC=120 =180 -ZBOO,.A、O、O、C四点共线。 .AP+PP+PCaAC=AO+OO+OC,即 PA+PB+PCaOA+OB+OC。14. （95全国竞赛）菱形ABCD的内切圆O与各 边分别交于E、F、G、H,在弧EF和弧GH上分 别作OO的切线交AB、BC

7、、CD、DA分别于M、 N、P、Q。求证：MQ/NP。【分析】由AB/CD矢口：要证MQ/NP,只需 证ZAMQ=/CPN,结合ZA=ZC矢口，只需证 AMQsACPNJ AM = CP , am =AQ CPOAQ CN连结AC、BD，其交点为内切圆心bOo设MN与OO切于K,连结OE、OM、OK、ON、OFo 记ZABO=申， ZMOK=a,ZKON=P，贝 ijZEOM=a,ZFON=P,ZEOF=2a+2p=180 -2申。J./BON=90 -ZNOF-ZCOF=90 -$申=a/./ O=Z NBO+Z NOB=+a=/AOE+Z MOE=/AOM又 ZO=ZMAO,aAOAMAO

8、，于是 AM = A0CO CN同理，AQ CP=AO COo【评注】EBCF.AM =AO CO15. （96全国竞赛）OO1和OO2与AABC的三边所在直线都相切，E、F、G、H为切点, EG、FH的延长线交于P。求证：PA丄BC。【分析】评注】16. （99全国竞赛）如图，在四边形ABCD中，对角线. 平分ZBADo在CD上取一点E, BE与AC相交于F, 长 DF 交 BC 于 G。求证：ZGAC=/EACo 证明：连结BD交AC于Ho对ABCD用塞瓦定理， CG BH DE =1GB HD EC因为AH是ZBAD的角平分线，由角平分线定理， 可得 BH ABCG AB DE可得 =

9、，故= 1 oHD ADGB AD EC过C作AB的平行线交AG的延长线于I,过C作AD 的平行线交AE的延长线于J。则 CG CI DE AD 、G_ AB，ECJ，CI AB AD 1 所以-=1，从而CI=CJoAB AD CJJ又因为 CI/AB, CJ/AD，故ZACI=n-Z BAC=n-Z DAC=/ACJo 因此，ACIAACJ，从而ZIAC=ZJAC，即ZGAC=/EACoCC已知 AB=AD，BC=DC，AC 与 BD 交于O,过O的任意两条直线EF和GH 与四边形ABCD的四边交于E、F、G、 Ho连结GF、EH，分别交BD于M、No求证：OM=ON。（5 届 CMO）证

10、明：作AEOH s（ac） EOH，则只需证 E、M、H共线，即 EH、BO、GF 三 线共点。记ZBOG=a,ZGOE=po连结EF交BO于K。只需证空.陛.匹=1 （Ceva GB H F KE逆定理）。EG BH gb HFFK SSSQEsin 卩 QB sin a=AQBH - AQFK =KE SSSaqgb一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形。AOHFAQKEOB sin a OF sin 卩逻=1QE注：筝形对应于99联赛2：ZEOB=ZFOB，且EH、GF、BO三线共 点。求证：ZGOB=ZHOB。事实上，上述条件是充要条件，且M在OB延长线上时结论仍 然成立。证明方法为：

11、同一法。O蝴蝶定理:P是OO的弦AB的中点，过P点引OO的两弦CD、 EF,连结DE交AB于M,连结CF交AB于N 求证：MP=NP。E【分析】设GH为过P的直径，F s(gh) FF,显然OO。又PGH, .PF=PF。/PF S(GH) PF，PA S(GH) PB,AZFPN=ZFPM, PF=PFo又 FF丄GH, AN丄GH,aFFABoA/FPM+ZMDF=ZFPN+ZEDF= ZEFF+/EDF=180,.P、M、D、F四点共圆.ZPFM=ZPDE=ZPFN。/.PFNAPFM, PN=PMo-可修【评注】一般结论为：已知半径为R的OO内一弦AB上的一点P,过P作两条相 交弦CD、EF,连CF、ED交AB于M、N,已知OP=r，P到AB中点的距离为a,则1 1PM PN2a=R2（解析法证明：利用二次曲线系知识）-可修