空间向量知识点归纳总结知识讲解

《空间向量知识点归纳总结知识讲解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《空间向量知识点归纳总结知识讲解（13页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、空间向量与立体几何知识点归纳总结一知识要点。1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向线段表示+同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。(2) 向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。OB 二 OA + AB 二 a + b; BA 二 OA - OB 二 a - b; OP =九 a (九 g R) 运算律：加法交换律:a + b = b + a 加法结合律：(a + b) + c - a + (b + c) 数乘分配律：九(a + b) -+九方运算法则：三角形法则、平行四边

2、形法则、平行六面体法则3. 共线向量。(1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a平行于b，记作a b。(2) 共线向量定理：空间任意两个向量a、b (b丰0), a/b存在实数2,使a =2b。(3) 三点共线：A、B、C三点共线v= AB = h AC UC= XOA+ yOB其中+y=1)aaH (4) 与共线的单位向量为 a4. 共面向量(1) 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。(2) 共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，p与向量a,b共面的条件是存在实数 x, y 使 p =

3、 xa + yb(3)四点共面：若A、B、C、P四点共面AP = xAB + yAC UP = xUA + yUB + zUC （其中 x + y + z = 1）a b cp*5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x ,y ,z，使p=xa+yb+zc。若三向量a,b,c不共面，我们把a,b,c叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量， 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设O, A,B, C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数 兀 y,z，使 OP = xOA + yOB + zOC。6. 空间向量

4、的直角坐标系：(1)空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系0-xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(兀y，Z)，甲使0A = xi + yi + zk，有序实数组(兀y, z)叫作向量A在空间直角坐标系O xyz中的坐标, 记作A(x, y, z)，x叫横坐标，y注：点A(x,y,z)关于x轴的的对称点为(x,-y,-z)关于xoy平面的对称点为(x,y,-z) 即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在y轴上的点设为 (0,y,0),在平面yOz中的点设为(0,y,z)(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底, 用i，j,k表

5、示。空间中任一向量a = Xl + yj + zk = (x,yz)(3) 空间向量的直角坐标运算律： 若 a = (a , a , a )，b = (b , b , b )，则 a + b = (a + b , a + b , a + b )，123123112233a b = (a b , a b , a b ) 九a =(九a ,九a ,九a )(九 e R)112233，123，a b = ab + a b + a b，1 12 23 3a / b o a = Xb , a = Xb , a = Xb (九 e R)112233，a 丄boab + a b + a b = 0。1 12

6、 23 3 若 A( x, y , z)，B (x , y , z )，则 AB = (x2 珥,y2 儿,z2 z1)。1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起 点的坐标。定比分点公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z丿，ap = xpb，则点P坐标为1 1 1 2 2 2x + Xxy + Xyz + Xz(1 a 2 , 1 A 2 , 1 A 2 )1+ X 1+ X- 1+ X。 推导： 设 P ( x,y,z ) 则(xx y y ,zz ) =X (x x, y y,z z)1,11222，

7、显然，当P为AB中点一x + x y + yP ( 12/172时，2AABC中，A(X珂,z),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)，三角形重心 p 坐标x + x + x y + y + y z + z + z、P( 123 , 123 , 123 )为32厂AABC的五心:内心P：内切圆的圆心，角平分线的交点。AP “ (外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。AB AC、网+网)(单位向量) PA=严=垂心P：高的交点：PA pb = PA pc = PB pc (移项，内积为o,则垂直) 重心P：中线的交点，三等分点(中位线比)AP二3(AB + AC) 中心：正三角形的所有心

8、的合一。(4) 模长公式：若a =(a , a , a )， b = (b , b , b )，123123则 I a 1= Ja a = Ja 2 + a 2 + a 2，I=:;b 2 + b 2 + b 2123123(5)夹角公式:coSa b1 Aa ba b + a b + a b=4X。I a I I b I123123AABC中AB AC 0 A为锐角AB AC 0 A为钝角，钝角 (6)两点间的距离公式：若A(x ,y ,z )， B(x , y ,z )， 1 1 1 2 2 2贝山 AB I= p AB2 = (x - x )2 + (y - y )2 + (z - z

9、)2，2 1 2 1 2 1或 d =：(x - x )2 + (y - y )2 + (z - z )2A, B2 12 12 17. 空间向量的数量积。(1 )空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量 a,b，在空间任取一点o，作 OA = a，B = b，则 ZAOB 叫做向量a与b的夹角，记作 ；且规定 a,b 3，显然有= .若=上，则称a与b互相垂直,记作：a丄b。2(2) 向量的模：设OA = a，则有向线段OA的长度叫做向量a的长度或模，记作：I a I。(3) 向量的数量积：已知向量a,b，则I a I I b I cos 叫做a,b的数量积，记作 a b，即 a b = I

10、a I -1 b I - cos。(4) 空间向量数量积的性质： a e =I a I cos 。 a 丄 b O a b = 。I a I2 = a a o(5) 空间向量数量积运算律：（九a）b二九（ab）二a（九b）。ab = ba （交换律）。 a（b + c） = ab + ac （分配律）。 不满足乘法结合率：（a环壬a（bc）二空间向量与立体几何1线线平行。两线的方向向量平行1- 1线面平行。线的方向向量与面的法向量垂直1- 2面面平行。两面的法向量平行2线线垂直（共面与异面）。两线的方向向量垂直2- 1线面垂直。线与面的法向量平行2- 2面面垂直。两面的法向量垂直3线线夹角0

11、（共面与异面）00,90O O两线的方向向量n,“2的夹角或夹角的补角,cos0 = cos n23- 1线面夹角0 00,90O:求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP与面的法向量n的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹sin 0 = cos AP, n角.3- 2 面面夹角（二面角） 0 0O ,180 O ：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量nn2的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角. cose =cosn ,n1 24点面距离h :求点P（x ,y ）到平面a的距离：在平面a上去一点Q（x,y），得向量pQ；00计算平面a的法

12、向量n ；. h4- 1 线面距离（线面平行）：转化为点面距离4- 2 面面距离（面面平行）：转化为点面距离 【典型例题】1基本运算与基本知识（）例1.已知平行六面体ABCD A，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。 AB + BC ；（2） AB + AD + AA7 ； AB + AD +1CC ；!（AB + AD + AA）。23例2.对空间任一点O和不共线的三点A,B,C，问满足向量式：OP = xOA + yOB + zOC （其中 x + y + z = 1 ）的四点p, A,B,C是否共面?例 3 已知空间三点 A（0，2, 3），B （一2, 1, 6）, C （1,一1

13、, 5）。求以向量AB,AC为一组邻边的平行四边形的面积S；若向量a分别与向量ab, ac垂直，且I a I=i3，求向量a的坐标。2基底法（如何找,转化为基底运算）3坐标法（如何建立空间直角坐标系,找坐标） 4几何法编号 03 晚自习测试； 17, 18题例4.如图，在空间四边形 OABC 中，OA = 8， AB = 6， AC = 4， BC = 5， ZOAC = 45。， ZOAB = 60，求OA与BC的夹角的余弦值。说明：由图形知向量的夹角易出错，如=135。易错写成 = 45， E为AC与BD的交点，F为BC与BC的iiiiiii【模拟试题】1. 已知空间四边形ABCD，连结A

14、C,BD，设M,G分别是BC,CD的中点，化简下列各表达 式，并标出化简结果向量：（1） AB + BC + CD ；（2） AB+1（BD+BC）；（3）AG-（AB+Ac）。222=已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量。OE=kOA, OF=kOB, OG=koc, OH=kOD。（1）求证：四点E,F,G,H共面；（2）平面AC /平面EG。3.如图正方体ABCD-ABCD中，BE = DF = 1 AB，求BE与DF所成角的余弦。iiiii 111411i15.已知平行六面体ABCD- A0CD冲，AB 二 4, AD 二 3, AA 二 5, ZBAD 二 90 Z BA

15、A 二 Z DAA 二 60。， 求AC的长。参考答案1.解：如图， AB + BC+CD 二 ac + CD 二 aD ;(2) Ab+(BD + BC)二ab +1BC+1 bD。2 2 2 二 AB + BM + MG 二 AG ；(3) AG-1(AB+AC)二 AG-AM 二MG。AB + AD，2. 解: (1)证明：四边形ABCD是平行四边形，AC = : EG 二 OG - OE，=k - OC - k - Oa = k (OC - OA)= kAC = k( AB+AD) =k(OB - OA + OD - OA) = OF - OE + OH - OE=EF + EHE,

16、F, G, H共面；k - AC，(2)解： EF = of - oE = k (OB - oA) = k - AB，又 EG 二 : EF / AB, EG / AC。所以，平面AC/平面EG。3.BE -DF 二0x0 + (- x) + 1x 1 二-o114 41615 卫二 15 oV17 BE = DF =，411154. 分析：-AB = (2,1,3), AC = (1,3,2), cos ABAC =AB - ACI AB ll AC IZBAC=60,.s =I AB ll AC I sin 60 = 7J3 设a =(x, y, z),则 a 丄 AB 2x y + 3z = 0,1）。a 丄 Ac n x 3y + 2z = 0,I a l= n解得 x=y=z=1 或 x=y=z=1,：a =(1, 1, 1)或a =(1, 1 5.解： I AC l2 二(AB + AD + AA)2=l AB l2 +1 AD l2 +1AA l2 +2AB - AD+2AB - AA + 2AD - AA=42 + 32 + 52 + 2 x 4 x 3x cos90 + 2 x 4 x 5 x cos60 + 2 x 3x 5 x cos60 = 16 + 9 + 25 + 0 + 20 +15 = 85 所以，l ac l=*85。