第五章 向量代数与空间解析几何

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1、这一章在卷面上一般只有 4-6 分，往往是一个选择题，两个填空题或者是两个选 择题，一个填空题。下面我们就把考试中最易出现的考点给大家小结一下.一. 向量的数量积与向量积首先要清楚两种积的定义及常用的运算法则，如：r rrrr rra.b =ab.cos 0 ; a.a =arr2 r r r r r (r r) irr irr;a.b = b.a; a. U + c 丿=a.b + a.c.r ra x b = a . b .sin 0 ; a x a = 0; a x b = -b. x a; a xr r r r r r r r r r r r r r+ c 丿=a x b + a x

2、c.r r r r r r ur r r 例 1.设 a = 3i - k, b = 2i - 3 j + 2k,求 a x b .rrrijkr r0-1 r3-1r 30ra x b =30-1=i -j +k-32222-32-32n.解：r r r =-3i - 8 j - 9k.例 2.设 a 二（2,1, mrr r,b = n, -2,3 ,且 a b，求 m,rr解：由于ab，因此有n=-2=牛解得m=-1n=-4 例3.求垂直于：=2,2,1与b = 4,5,3 的单位向量.r r rrr1r壬c.c解：由向量积的定义可知，向量c = axb是既垂直于a又垂直于b的向量，因此

3、所=：12 + （-2）2 + 22 = 3,因此 3m 3, 环为所求单位向量.rrrijkr r r21 r21r 22c = a x b =221=i -j +534345453求单位向量即为土r r r r k = i - 2 j + k.例 4.求以 A（1,2,3 ）,B（3,4,5）,C（2,4,7 ）为顶点的 AABC 的面积.解：S ： 1AABC 2i uur uur=_ ABxACuuur uuur其中AB x AC =r121rj22rkr r r uur uur _2 = 4i - 6j + 2k, AB x AC = f56 .4r r r uur uur二. 两向

4、量间关系的判定要知道两向量间位置关系的判定方法，即rrrra 丄 b o a.b = 0;r r r r ra b o a x b = 0. o 对应分量成比例.例5.判定下列各组向量间的关系(i)a=i,-2,3, b=-2,4, -6).(2) a=i, -2,3b=3,3,1.(3) a =i,-2,3,b=i,3,2.rr解：(1)注意两个向量对应分量之间的比例关系可知，a b ;r rr r(2)所给两向量的对应分量不成比例，故不平行。再考虑a.b = 0，故a丄b ;rrr(3)所给两向量的对应分量不成比例，故不平行；而a.b丰0，故a也不垂直于b ra = 1, b例 6.设rr

5、= 2, 且 a 丄 b ，求(r r ( r r 乜a + 2b)x 9a- 3b彳.解：由于( r r、 ( r r、 r r r r r r r r r r r r (r r、乜a + 2b 丿x va 一 3b 丿=6a x a 一 9a x b + 4b x a 一 6b x b = -9a x b 一 4a x b = -13 Q x b 丿,(r( rr、乜 a + 2b 丿x9a 3b 彳=13rrab兀.sin = 13 x 1 x 2 x 1 = 26.2(rA r a, b为锐角; k丿例7.试确定常数九，使得a = 1,2,3 ,b = 2,4,汀满足(1)2)(rA

6、r、a, b为钝角；(3)垂直；(4)同向.(rA r)解：(1)由于 cos a, bk丿rra.br ra| |b|10 + 3 九 0,k丿(rA r a, b为锐角; k丿2)当10 + 3九 0,即九-10时,3cos a, b 0,k丿(rA r a, b为钝角; k丿当10 + 3九=0,即九=-*时,rrcos a, b = 0, a 丄 b ； k丿当 10 + 3九=J280 +14九2，即 x = 6, cos a,brr= cos 0 = 1, 此时， a 与 b 同向;rr a b . ( r r (5)当 10 + 3九=J280 +14九2，即九=6, cos a

7、,b = cosO = 1,此时, k丿r r r r例8.问九为何值时，以2a + b与九a + b为邻边的平行四边形的面积为6.解：由于r rr r r r r r r r r r r r r r r r2a + ba + b 丿=2九 a x a + 2a x b + 九b x a + b x b = 0 + 2a x b 一九 a x b + 0 =(r r ( r r9a + b 丿xQ a + b 丿+ b丿=|2一列 a b .sin a,b = 2|2 一九 | = 6. 丿故九=1,九=5.12例9.已知向量c = 2,k, 6)同时垂直于a = 2,1,-1,b = 1,1

8、,2，求k值.rr r r r r解：c同时垂直于a,b，则c a xb。rrrkr r r ()1 = i 5 j 3k = 1,5, 3.2r r r 1 5 3c a x b o = n k = 10.2 k6三. 平面方程 要熟知平面有三种形式的方程，即（1）点、法式方程假设平面兀过点M （x ,y ,z）且和非零向量n =（A,B,C垂直，则其方程。0 0 0 0A(x x )+ B(y y )+ C(z z )= 0 n =(A,B,C称为平面兀的法线向量，简 0 0 0 称法向量，下面举一个例子.例 10.求过三点M (2,1,4),M (-1,3,-2),M(0,2,3)的平面

9、方程.123uuuuuur uuuuuur解：由于 MM = 3,4,6 , MM = 2,3, 1，1213.ummr uuLUJorr r r取n = MM xMM = 14i + 9j k.1213所以，据平面的点法式方程，（代入M ）得：2兀:14（x +1）+ 9（y 3）（z + 2）= 0，即兀:14x + 9y z 15 = 0._ uuuLur uuuLur问题：若取n = MM xMM可以吗？；若代入M方程的形式一样吗?13121（2）平面的一般式方程Ax + By + Cz + D = 0.注意到任给一个三兀方程Ax + By + Cz + D = 0- （2）, （A,

10、B,C不全为零），它一 定表示一张平面.注意：特殊位置平面的方程特点(1) Ax + By + Cz = 0（D=0，平面过原点）;(2) By + Cz + D = 0(3) Ax + Cz + D = 0(4) Ax + By + D = 0（A=0，平面平行于x轴）;（B=0，平面平行于y轴）;（C=0，平面平行于z轴）;（5）Cz + D = 0（A=B=0，平面平行于xoy平面）.例11.求过x轴及点M（4,-3,-1）的平面方程.一 uuuur r （、（、解：取n = OMxi = 0,-1,3），所以，据平面的点法式方程，（代入0（0,0,0）得 兀:0x - y + 3z =

11、 0.例12.设平面兀与三个坐标轴的交点分别为P（a,00）Q（0,b,0）R（0,0,c）Cbc H 0）,求 兀的方程.解：取n = PQxQR =c,ac,ab,所以，据平面的点法式方程4):bc(x - a)+ ac(y - 0)+ ab(z - 0)= 0 ,方程（4）两端同除以abc，并整理，得:-+丄+ - = 1，这就是平面的第三种形式的方程，即截距式方程. abc专升本经常考察两平面间的位置关系，先回顾一下判断依据设有两平面兀1:Ax + B y + C z + D = 0,n =A ,B ,C 1 1 1 1 1 1 1 1uur:Ax+B y+Cz+D =0,n =A,B

12、,C2 2 2 2 2 2 2 2(1)相交(设兀,兀的夹角为0)12ur uur |n.n | A A +BB +CC |COS 0 = U1 UT =1212121 n 11 n 1J A 2 + B 2 + C 2、IA 2 + B 2 + C 21 2 1112 2 2ABC1 = 1 = 1ABC222ur uur(2)平行兀/兀o n /n o1 2 1 2ur uur(3)垂直兀丄兀 / o n 丄 n o A A + BB + CC = 0 ；1 2 1 2 1 2 1 2 1 2（4）重合住=B = Ci = Di.A B C D2222例13.一平面过两点M （1,1,1）

13、,M（0丄-1）且垂直于平面兀：x + y + z = 0.求其方 12程.一r ur r umjur解：设所求平面的法向量为n .据已知，n丄n ,n丄MM , 兀12- ummr ur f、故可取n = MM x n =2, = -1,-1.所以，据平面的点法式方程，（代入1兀（1,1,1）得：兀:2x 一 y 一 z = 0.记住一个重要公式：点到平面的距离公式点 M （x , y , z ）到兀:Ax + By + Cz + D = 0 -的距离为0 0 0 0了 I Ax + By + Cz + D Id =00.X， A2 + B 2 + C 2不用举例子，同学们自己看在辅导书上找

14、例子.四. 空间直线及其方程要熟知空间直线三种形式的方程： （1）点、向式方程假设空间直线L过点M （x , y ,z ）且和非零向量s = m,n,p平行，则其方0 0 0 0程为 L :1)x-x0m注意：（a）其实，方程（1）是一个方程组，它应该这样来理解:x x y y& =&,L : % n ，即L是两平面之交线.y y z z & =&.np5）称（1）为直线L的点、向式方程。s = m,n,p称为直线L的方向向量，简称方向；m,n,p叫做直线L的方向数.（c）要注意到直线L的方向有无数多个，但直线的化简后方程是唯一的, 为什么？特别地，s的方向余弦tosa,cos卩,cos丫也是

15、L的一组方向 数.（d）又称（1）式为直线的标准式或对称式方程.（e）要求m,n,p不全为零，但可以部分为零.如：m=0，这时方程（1）变为:( 2)z-z0px - x = 0,0(2)式应该理解为： y - y z - Z ； o =o.np又如：m=n=0,这时，（1）式变为:x-x00y-y z-z0 = 00p-( 3)(3)式应该理解为：“I y - y = 0.0例14.求过两点M (1,2, -1),M (-2,3,0)的直线方程.12uuuuuur解：由于 MM =-3,1,11，12rUULULirf 取 s = MM =-3,1,1)12所以，据直线的点向式方程，（代入M

16、 ）得:1x -1 y - 2 z +1 L:=.-311问：如果代入的是M，方程是否会有所不同？2例15.求过点M（3,1,-2）且通过直线L:=纟.的平面的方程.0521r r LLLLLLLLr解：在直线上取一点 M（4,-3,0），可取 n = s xM xM = 8,-9,-22），1 0 1所以，据平面的点法式方程：兀:8x-9y-22z-59 = 0。（2）.直线的参数式方程设有 L :x-y-0z-令二0z-z0 = t,px = x + mt,0贝V有：L: y = y + nt, （4）0 z = z + pt.0称（4）式为直线 L 的参数式方程，其中 t 称为参数. 注

17、意：在直线的参数式方程中，参数的系数是直线的方向数，而常数项贝为直 线上点的坐标。（3）直线的一般式方程.空间直线L可看作是过直线L的两个不平行平面兀：Ax + By + C z + D = 0 兀：Ax + By + C z + D = 0 的交线.1 1 1 1 1 2 2 2 2 2称L:松：Ai + Bi + CiZ + D广 -（5）为直线L的一般式方程. | 兀:A x + B y + C z + D = 0.2 2 2 2 2 注意：直线的三种形式的方程之间可以互相转化.例 16将直线 L 的一般式方程l:巴以+y+z+i-o，化为标准式及参数式方程.| 兀：2x - y + 3

18、z + 4 = 0.2r ur uur解：在直线L上任取一点M（1,0, -2）,可取s = n xn =（4,-1,-3），0i 2故所以，据直线的点向式方程，（代入M ）得:0x -1 y - 0 z + 2 L:=.4-1 - 3x = 1 + 4t,参数方程为：L : y = -t,z = -2 3t.例17已知直线的方程为：L :千=千=弓和平面兀：2x + y + z - 6 = 0, 求直线与平面的交点.x = 2 +1, 解：化L为参数式方程：L : y = 3 +1,z = 4 + 2t.x = 1, 代入平面方程，得:t=-1 .故：L: y = 2,| z = 2.所以，

19、交点坐标为（1,2,2）.经常考核两直线间的位置关系设有两直线 L :x-y-z-ur1, sL:x-y-p1z-uur,sn1,p1=m；p2,n2,p2;（1）相交（规定两直线的夹角为两直线的方向所夹的锐角.设L ,L的夹角为申）12ur ur| S .S |mm + nn + p pCOS 申=UTl Iff =121 12-1 S II S 1m 2 + n 2 + p 2m 2 + n 2 + p 212111 2222)3)uur uur m n p平行 L / L o S / S o m = -i = Z ；1212 m n p2 2 2uur uur垂直 L 丄 L o S 丄

20、 S o m x m + n x n + p x p = 0.1 2 1 2 1 2 1 2 1 24)重合m n二i，且L , L有交点.m n p122 2 2例18.求过点M (-3,2,5)且与两平面0兀：x-4z = 3兀:2x-y-5z = 1的交线平行的直线的方程.12 r ur uur解：可取s二n xn = -4,-3,-1,所以直线的方程为： 12x + 3 y 2 z 5L:=.-4- 3-1五空间直线与平面之间的关系设有 L:_= _h = _红 及 兀:Ax + By + Cz + D = 0 ,m n p记s =，n = A, B, C.相交：当直线L与平面冗垂直时

21、，规定直线与平面的夹角为冷当直线L与平面兀不垂直时，规定直线和它在平面内的投影直线间的夹角申为直线与平面的夹角.rr.I s.n II mA + nB + pC I-(7)；sm 申=r_r = z.1 s 11 n 1 Jm2 + n2 + p 2 寸 A2 + B2 + C2m n p(2) 垂直L 丄兀 o s/n o =ABC(3)平行L兀 o s 丄 n o mA + nB + pC = 0;(4)直线在平面内，mA + nB + pC = 0且L,兀有交点.六. 平面束方程设L :兀1： Aix + Biy + C1z + Di= ：，则称过L的所有平面为平面束，它的方 | 兀:A

22、x + B y + Cz + D = 0.2 2 2 2 2无呈为：Ax + B y + Cz + D + 九(A x + B y + C z + D ) = 0,1 1 1 1 2 2 2 2(g 尢 +8) ( 8)注意：无论-8V尢V+8取何值，平面束方程即(8)式不能表示平面兀：Ax + By + C z + D = 0 本身.2 2 2 2 2例19.求L:兀1：X + y-Z-1 - 0,在平面兀:x + y + z = 0上的投影直线的方程. |兀：x - y + z +1 = 0.2解：过直线 L 的平面束方程为：uur1）= 记忙1 + 九,1九,九一1。uur r令伍丄心（

23、1 + 九）+ （1 九）一（九一 1）= 0 n 九=1.所以，过L的且与平面兀:x + y + z = 0垂直的平面的方程为:y-z-1=0，x + y - z -1 + （-1）（x - y + z +1） = 0,即 乙入故所求投影直线的一般式方程为：1：x+y+z=!兀：y - z -1 = 0.2七. 点到直线的距离公式uuuuuur r点M到L :的距离为d = 1 M0%r s 1中，m是直线上任取的一点，s为直线的0I s I方向.例 20.求点 M（1,2,3 ）到 L:01- 3- 2uuuijur解：在直线上任取一点M（0,4,3丿，则MM = -1,2,0，s = 1

24、,-3,-2，由公式（9）,点M到L:的距离为0uuuuur r一,IM M x s I6d = 0-ur=.I s I2f,注意：更一般的作法是：先作过M点且以s为法向量的平面兀；再联立兀的点 0uuuuuur 法式方程和直线L的方程，求直线L与平面兀的交点M ；最后，d =I M M I，1 0 1 请同学们自己实现这种做法.八. 旋转曲面（一）.圆锥面（1）定义：动直线l饶另一条与l相交的定直线L旋转一周，所得曲面叫做圆锥面.（如图）（2）方程：顶点在原点，定直线L为Z轴，半顶角为a 0 a 0, b 0, c 0）a2 b2 c2椭圆抛物面若+若=z（p,q同号）2 p 2 q单叶双曲

25、面兰+兰-兰=1（a 0,b 0,c 0）a2 b2 c2双叶双曲面兰+兰-兰=-1 （a 0,b 0,c 0）a2 b2 c2双曲抛物面（俗称“马鞍面”-二+啟=z,（p,q同号）2 p 2 q例27。方程x2 + y2 - z2 = 0所表示的二次曲面是（C）（A）椭球面；（B）柱面；（C）圆锥面；（D）抛物面面。例 28。指出下列方程所表示的曲面（1）x 2 + y 2 + z 2 = 1;（球面）（2）x2 + y2 = 1;（圆柱面）（3）x2 =1;（两张垂直于 x 轴的平行平面）（4）x2 + y2 = 0; （ z 轴）（5）y2 -x2 = 0 ；（表示两张过z轴的直交平面）（6）x2 + 2y2 = 4;（椭圆柱面）（7）x2 -苧+ z2 = 1；（表示xoy面上双曲线x2 -斗=1绕y轴旋转的单叶双曲面）(8) x2 - y2 一(9) x2 -3y2二1；（表示xoy面上双曲线x2 - y2二1绕x轴旋转的双叶双曲面）z.；（表示以轴为对称轴的双曲抛物面，即马鞍面）