232离散型随机变量的方差

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1、2.3.2 离散型随机变量的方差 1.1.若离散型随机变量若离散型随机变量X X的分布列为的分布列为p pn np pi ip p2 2p p1 1P Px xn nx xi ix x2 2x x1 1X X则随机变量则随机变量X X的均值如何计算？的均值如何计算？E E（X X）x x1 1p p1 1x x2 2p p2 2x xi ip pi ix xn np pn n2.2.离散型随机变量的均值有哪几条基本性质？离散型随机变量的均值有哪几条基本性质？（1 1）E(E(a aX Xb b)a aE E（X X）b b；（2 2）若随机变量）若随机变量X X服从两点分布，则服从两点分布，则

2、 E E（X X）p p；（3 3）若随机变量）若随机变量X XB(B(n n，p p)，则，则 E E（X X）npnp.除了均值外，还有其他刻画随机变量特点的除了均值外，还有其他刻画随机变量特点的指标吗？指标吗？探究点探究点1 1 离散型随机变量的方差的概念离散型随机变量的方差的概念0.100.100.270.270.310.310.200.200.090.090.030.03P P 10 10 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5X X1 1问题一：问题一：统计甲、乙两名射手以往的成绩，得其击统计甲、乙两名射手以往的成绩，得其击中目标靶的环数中目标靶的环数X X1 1，X X2 2的分

3、布列分别如下：的分布列分别如下：0.330.330.410.410.200.200.050.050.010.01P P 9 9 8 8 7 7 6 6 5 5X X2 2如果仅从平均射击成绩比较，能否区分甲、乙两人如果仅从平均射击成绩比较，能否区分甲、乙两人的射击水平？的射击水平？E(X E(X1 1)E(XE(X2 2)8 8，不能区分，不能区分.问题二：问题二：考察考察X X1 1和和X X2 2的分布列图，甲、乙两人的射击的分布列图，甲、乙两人的射击水平有何差异？水平有何差异？乙的射击成绩更集中乙的射击成绩更集中于于8 8环，相对较稳定环，相对较稳定.5 6 7 8 9 10 X5 6

4、7 8 9 10 X1 1P P0.10.10.20.20.30.3O O5 6 7 8 9 X5 6 7 8 9 X2 2 P P0.10.10.20.20.30.30.40.4O O问题三：问题三：怎样定量刻画随机变量的稳定性？怎样定量刻画随机变量的稳定性？一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X X的分布列为的分布列为p pn np pi ip p2 2p p1 1P Px xn nx xi ix x2 2x x1 1X X称称 为随机变量为随机变量X X的方差，的方差，为随机变量为随机变量X X的标准差的标准差.21()()niiiD XxE Xp()D X问题四：问题四：方

5、差或标准差的大小变化，对随机变量偏方差或标准差的大小变化，对随机变量偏离于均值的平均程度产生什么影响？离于均值的平均程度产生什么影响？方差或标准差越小方差或标准差越小(大大)，随机变量偏离于均，随机变量偏离于均值的平均程度越小值的平均程度越小(大大).).问题五：问题五：随机变量的方差与样本数据的方差有何随机变量的方差与样本数据的方差有何联系和区别？联系和区别？联系：联系：都是反映离散程度和稳定性的定量指标都是反映离散程度和稳定性的定量指标.区别：区别：随机变量的方差是常数，样本的方差是随机随机变量的方差是常数，样本的方差是随机变量，随着样本容量的增加，样本方差愈接近总体变量，随着样本容量的增

6、加，样本方差愈接近总体方差方差.问题一：问题一：若随机变量若随机变量X X服从两点分布服从两点分布 B(1B(1，p p)，则，则D(X)D(X)等于什么？等于什么？D(X)D(X)p(1p(1p).p).问题二：问题二：若随机变量若随机变量X X服从二项分布服从二项分布 B(2B(2，p)p)，则，则D(X)D(X)等于什么？等于什么？D(X)D(X)2 2p p(1(1p p).).探究点探究点2 2 特殊分布列的方差及离散型随机变量的特殊分布列的方差及离散型随机变量的方差的性质方差的性质问题三：问题三：据归纳推理，若随机变量据归纳推理，若随机变量X X服从二项分布服从二项分布B(nB(n

7、，p)p)，则，则D(X)D(X)等于什么？等于什么？D(X)D(X)npnp(1(1p p)(1(1p p)E(X)E(X).).问题四：问题四：若若Y YaXaXb b，其中，其中a a，b b为常数，则为常数，则D(Y)D(Y)与与D(X)D(X)有什么关系？由此可得什么结论？有什么关系？由此可得什么结论？D(D(a aX Xb b)a a2 2D(X).D(X).例例1 1 随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面随机抛掷一枚质地均匀的骰子，求向上一面的点数的点数X X的均值、方差和标准差的均值、方差和标准差.解：解：抛掷骰子所得点数抛掷骰子所得点数X X的分布列为的分布列为X X1 1

8、2 23 34 45 56 6P P616161616161;5.3616615614613612611)(XE.71.1)(;92.261)5.36(61)5.35(61)5.34(61)5.33(61)5.32(61)5.31()(222222XDXD 例例2 2 有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：如下信息：获得相应职位的概率获得相应职位的概率P P1 1 0.1 0.1 0.2 0.2 0.3 0.3 0.4 0.41 8001 8001 6001 6001 4001 4001 2001 200甲单位不同职位月工资甲单位不同职位月工资X

9、 X1 1/元元 0.1 0.1 0.2 0.2 0.3 0.3 0.4 0.42 2002 2001 8001 8001 4001 4001 0001 000乙单位不同职位月工资乙单位不同职位月工资X X2 2/元元获得相应职位的概率获得相应职位的概率P P2 2根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？解：解：根据月工资的分布列，利用计算器可算得根据月工资的分布列，利用计算器可算得1E(X)1 200 0.4 1 400 0.3 1 600 0.2 1 800 0.11 400 ，22122D(X)(1 200 1 400)0.4(1 400

10、1 400)0.3(1 600 1 400)0.2(1 800 1 400)0.140 000;2E(X)1 000 0.4 1 400 0.3 1 800 0.22 200 0.11 400 ，22222D(X)(1 000 1 400)0.4(1 400 1 400)0.3(1 800 1 400)0.2(2 200 1 400)0.1160 000.因为因为E(XE(X1 1)=E(X)=E(X2 2),D(X),D(X1 1)D(XD(X2 2),),所以两家单所以两家单位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相位的工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对

11、分散对集中，乙单位不同职位的工资相对分散.这样，这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大一些，就选择乙单位就选择乙单位.1 1给出下列四个命题：给出下列四个命题：离散型随机变量离散型随机变量的均值的均值E E()反映了反映了取值的平均取值的平均值；值；离散型随机变量离散型随机变量的方差的方差D D()反映了反映了取值的平均取值的平均水平；水平；离散型随机变量离散型随机变量的均值的均值E E()反映了反映了取值的平均取值的平均水平；水平；离散型随机变量离散型随机变量

12、的方差的方差D(D()反映了反映了取值偏离于取值偏离于均值的平均程度均值的平均程度则正确命题应该是则正确命题应该是()A A B BC C D DD DA A3 3若若的分布列如下表所示：的分布列如下表所示：其中其中p p(0,1)(0,1)，则，则E E()_，D D()_._.0 01 1P Pp pq qq qpqpq112211229x,x1,5x2x,5x1,xx,x2,4解解 得得或或由由 于于所所 以以所所 以以 X X的的 分分 布布 列列 为为25 1.E 1.E（X X）只反映离散型随机变量的平均取值，）只反映离散型随机变量的平均取值，D D（X X）则刻画了随机变量的取值

13、与均值的偏离程度，）则刻画了随机变量的取值与均值的偏离程度，D D（X X）越小，说明随机变量的取值越集中于均值附）越小，说明随机变量的取值越集中于均值附近近.2.2.在实际应用中，在实际应用中，E E（X X）和）和D(X)D(X)是比较产品质量、是比较产品质量、水平高低、方案优劣等问题的定量指标，在许多决水平高低、方案优劣等问题的定量指标，在许多决策问题中起着重要的作用策问题中起着重要的作用.3.3.随机变量的均值和方差与样本数据的均值和方随机变量的均值和方差与样本数据的均值和方差有相近的含义和作用，但应用背景不同，计算公差有相近的含义和作用，但应用背景不同，计算公式不同，不可混为一谈式不同，不可混为一谈.4.4.对于两点分布和二项分布的方差，可以直接对于两点分布和二项分布的方差，可以直接利用方差性质进行计算，对具有线性关系的两个随利用方差性质进行计算，对具有线性关系的两个随机变量的方差，常利用机变量的方差，常利用D(aXD(aXb)b)a a2 2D D（X X）进行转）进行转化化.每个人都有潜在的能量，只是很容易被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨.