两条直线的交点课件(北师大必修2).ppt

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1、 读教材 填要点 已知两条直线的方程是 l 1 ： A 1 x B 1 y C 1 0 ， l 2 ： A 2 x B 2 y C 2 0. 如果 l 1 与 l 2 相交且交点为 P ( x 0 ， y 0 ) ，则 P 点的 坐标应满足方程组 A 1 x 0 B 1 y 0 C 1 0 ， A 2 x 0 B 2 y 0 C 2 0. 如果 P 点的坐标是方程组 A 1 x B 1 y C 1 0 ， A 2 x B 2 y C 2 0 的唯一解， 则 P 点是直线 l 1 与 l 2 的 因此，两条直线是否有交点， 就要看方程组 是否有解，当方程组 A 1 x B 1 y C 1 0 ，

2、 A 2 x B 2 y C 2 0 有无穷多个解时，说明直线 l 1 与 l 2 ， 当方程组无解时，说明 l 1 与 l 2 交点 平行 A 1 x B 1 y C 1 0 ， A 2 x B 2 y C 2 0 重合 小问题 大思维 1已知平面上 A、 B、 C三点的坐标，能否用解方程 组的办法来解决三点是否共线的问题？ 提示： 能联立直线 AB、 BC的方程，若方程组有 唯一解，则 A、 B、 C三点不共线；若方程组有无 数个解，则 A、 B、 C三点共线 2如何判断直线与直线、直线与其它图像的交点个数？ 提示：法一： 列出方程组，看有几组解，有几组解就 有几个交点当方程组易解时此法才

3、有效 法二： 当列出的方程组不易解时，可分别画出图像， 用 “数形结合 ”法判断，此法往往能出奇致胜 研一题 例 1 判断下列各对直线的位置关系，如果相 交，求出交点坐标 (1)l1： 2x 3y 7 0， l2： 5x y 9 0； (2)l1： 2x 3y 5 0， l2： 4x 6y 10 0； (3)l1： 2x y 1 0， l2： 4x 2y 3 0. 自主解答 (1) 解方程组 2 x 3 y 7 0 ， 5 x y 9 0 ， 得 x 2 ， y 1. 所以交点坐标为 (2,1) ，所以 l 1 与 l 2 相交 (2) 解方程组 2 x 3 y 5 0 ， 4 x 6 y 1

4、0 0 ， 2 得 4 x 6 y 10 0. 因此 和 可以化成同一方程，即 和 表示同一条直线， l 1 与 l 2 重合 ( 3) 解方程组 2 x y 1 0 ， 4 x 2 y 3 0 ， 2 ，得 1 0 ，矛盾，方程组无解，所以两直 线无公共点， l 1 l 2 . 悟一法 根据解的个数判断两直线的位置关系，在解方程时， 要先观察方程系数，解出方程组解的个数，若方程组有 唯一解，则两直线相交；若方程组无解，则两直线平行； 若方程组有无数多个解，则两直线重合也可根据直线 的斜率和截距的关系判断直线的位置关系 通一类 1 判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应 的交点坐标：

5、( 1) 5 x 4 y 2 0 ， 2 x y 2 0 ； ( 2) 2 x 6 y 3 0 ， y 1 3 x 1 2 ； ( 3) 2 x 6 y 0 ， y 1 3 x 1 2 . 解： ( 1) 解方程组 5 x 4 y 2 0 ， 2 x y 2 0 ， 得该方程组 有唯一解 x 10 3 ， y 14 3 ， 所以两直线相交，且交点 坐标为 10 3 ， 14 3 . ( 2) 解方程组 2 x 6 y 3 0 ， y 1 3 x 1 2 ， 因此 和 可以化成同一个方程，即方程组有无数组 解，所以两直线重合 (3) 解方程组 2 x 6 y 0 ， y 1 3 x 1 2 ，

6、6 得 3 0 ，矛盾， 方程组无解，所以两直线无公共点，所以两直线平行 . 研一题 例 2 求证：不论 m取什么实数，直线 (2m 1)x (m 3)y (m 11) 0都经过一个定点，并求出这个定 点的坐标 自主解答 法一： 对于方程 (2 m 1) x ( m 3) y ( m 1 1) 0 ，令 m 0 ，得 x 3 y 11 0 ； 令 m 1 ，得 x 4 y 10 0. 解方程组 x 3 y 11 0 ， x 4 y 10 0 ， 得两直线的交点为 (2 ， 3) 将点 (2 ， 3) 代入已知直线方程左边， 得 (2 m 1) 2 ( m 3) ( 3) ( m 1 1) 4

7、m 2 3 m 9 m 11 0. 这表明不论 m 为什么实数，所给直线均经过定点 (2 ， 3) 法二： 将已知方程以 m 为未知数， 整理为 (2 x y 1) m ( x 3 y 1 1) 0. 由于 m 取值的任意性，有 2 x y 1 0 ， x 3 y 11 0. 解得 x 2 ， y 3. 所以所给的直线不论 m 取什么实数，都经过一个定 点 (2 ， 3) 悟一法 求直线过定点的方法： (1)特殊值法，令参数为两个特殊值，取出两条直 线求交点，再将交点代入原方程，证明交点满足原方程 即可 (2) 将直线方程变形为： f ( x ， y ) kg ( x ， y ) 0 . 由

8、f x ， y 0 ， g x ， y 0 ， 求出定点 通一类 2求证：无论 m取何实数，直线 (m 1)x (2m 1)y m 5都恒过一个定点 证明：法一： 取 m 1 ，直线为 y 4 ； 再取 m 1 2 ， 直线为 x 9. 两直线的交点为 P (9 ， 4) 将点 P 的坐标代入原方程左端得 ( m 1) x (2 m 1) y ( m 1) 9 (2 m 1) 4 m 5. 故不论 m 为何实数，点 P (9 ， 4) 总在直线 ( m 1) x (2 m 1) y m 5 上，即此直线过定点 (9 ， 4) 法二： 把原方程写成 ( x 2 y 1) m ( x y 5) 0

9、 ， 此方程对任意实数 m 都成立， 则必有 x 2 y 1 0 ， x y 5 0. 解得 x 9 ， y 4. m 为任何实数时，此直线恒过定点 P (9 ， 4 ) . 研一题 例 3 求经过两直线 l1： 3x 4y 2 0和 l2： 2x y 2 0的交点且过坐标原点的直线 l的方程 自主解答 法一： 由方程组 3 x 4 y 2 0 ， 2 x y 2 0 ， 解得 x 2 ， y 2. 即 l 1 与 l 2 的交点坐标为 ( 2,2) 直线过坐标原点，所以其斜率 k 2 2 1 ， 直线方程为 y x ，一般式为 x y 0. 法二： l 2 不过原点， 可设 l 的方程为 3

10、 x 4 y 2 (2 x y 2) 0( R) ， 即 (3 2 ) x (4 ) y 2 2 0 ， 将原点坐标 ( 0,0) 代入上式解得 1 ， l 的方程为 5 x 5 y 0 ，即 x y 0. 悟一法 解决此类问题常有两种方法：一是常规法，即由题目 已知条件求出交点及直线的斜率，利用点斜式求出直线方程， 不使用任何技巧，不过此法有时候较为繁琐； 二是利用直线系方程，过两条相交直线 A1x B1y C1 0和 A2x B2y C2 0的交点的直线方程可设为 A1x B1y C1 (A2x B2y C2) 0，这里 R，此直线系不包括 A2x B2y C2 0，这种方法可以避免解方程

11、组求交点 通一类 3求经过两直线 l1： x 2y 4 0和 l2： x y 2 0的交点 P，且与直线 l3： 3x 4y 5 0垂直的 直线 l的方程 解：法一： 解方程组 x 2 y 4 0 ， x y 2 0 ， 得 P (0,2) 因为 l 3 的斜率为 3 4 ，且 l l 3 ， 所以直线 l 的斜率为 4 3 ， 由斜截式可知 l 的方程为 y 4 3 x 2 ， 即 4 x 3 y 6 0. 法二： 设直线 l 的方程为 x 2 y 4 ( x y 2) 0 ， 即 ( 1) x ( 2) y 4 2 0 ， 又 l l 3 ， 3 ( 1 ) ( 4) ( 2) 0 ， 解

12、得 11 ， 直线 l 的方程为 4 x 3 y 6 0. 试求三条直线 ax y 1 0， x ay 1 0， x y a 0构成三角形的条件 解 法一： 任两条直线都相交，则 a 1 1 a ， a 1 1 1 ，故 a 1. 且三条直线不共点， 故 x ay 1 0 ， x y a 0 ， 的交点 ( 1 a, 1) 不在 ax y 1 0 上，即 a ( 1 a ) 1 10 a 2 a 20 ( a 2) ( a 1) 0 ， a 2 且 a 1. 综上所述，此三条直线构成三角形的条件是 a 1 ， a 2. 法二： 三条直线能构成三角形， 三条直线两两相交且不共点，即任意两条直 线都不平行，且三线不共点 若 l 1 、 l 2 、 l 3 交于一点，则 l 1 ： x y a 0 与 l 2 ： x ay 1 0 的交点 P ( a 1,1) 在 l 3 ： ax y 1 0 上， a ( a 1) 1 1 0. a 1 或 a 2. 若 l 1 l 2 ，则有 1 a 1 ， a 1. 若 l 1 l 3 ，则有 a 1 ， a 1. 若 l 2 l 3 ，则有 1 a a ， a 1. l 1 、 l 2 、 l 3 构成三角形时 a 1 ， a 2.