《重修不定积分》PPT课件

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1、1 原函数的定义：原函数的定义：即即Ix ，都都有有)()(xfxF 或或dxxfxdF)()(，那那么么函函数数)(xF就就称称为为)(xf导函数为导函数为)(xf，或或dxxf)(在区间在区间I内内原函数原函数.第四章第四章 不定积分不定积分一、原函数与不定积分的概念一、原函数与不定积分的概念 如果在区间如果在区间I内，可导函数内，可导函数F(x)的的定义定义 在区间在区间I上上f(x)的带任意常数项的原函数（原的带任意常数项的原函数（原函数的全体）称为函数的全体）称为f(x)（或（或 f(x)dx）在）在I上的不定上的不定积分，记积分，记2 不定积分的定义：不定积分的定义：F(x)是是f

2、(x)在区间在区间I上的一个原函数上的一个原函数 CxFdxxf)()(dxxfdxd)()(dxxfd dxxF)()(xdF结论：结论：微分运算与求不定积分的运算是微分运算与求不定积分的运算是的的.3积分、微分之间的关系积分、微分之间的关系（性质）（性质）),(xf,)(dxxf CxF )(CxF )(基基本本积积分分表表是是常常数数）kCkxkdx()1(dxx)2(;|ln)3(Cxxdx dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx xdxsin)7(;cosCx 二、二、基本积分表基本积分表);1(11 Cx xdxx

3、tansec)10(;secCx xdxxcotcsc)11(;cscCx dxex)12(;Cex dxax)13(;lnCaax xdx2cos)8(xdx2sec;tanCx xdx2sin)9(xdx2csc;cotCx 三、不定积分的性质三、不定积分的性质 性质性质1 dxxgdxxfdxxgxf)()()()(性质性质2 dxxfKdxxKf)()(四四 不定积分的计算不定积分的计算（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）例例1 dxxxx)2(232 解：原式解：原式 dxxx)2(3835 dxxdxx38352Cxx 311381168

4、31、直接积分法：、直接积分法：对照积分表，变换被积函数。对照积分表，变换被积函数。变换技巧：对分式添项，拆项，对变换技巧：对分式添项，拆项，对三角函数进行三角变换。三角函数进行三角变换。例例3 3 求积分求积分解解.)1213(22dxxx dxxx)1213(22 dxxdxx 22112113xarctan3 xarcsin2 C 例例2 dxexx2解：原式解：原式 Ceedxexx)2ln()2()2(Cexx 2ln12例例4 4 求积分求积分解解.)1(122dxxxxx dxxxxx )1(122dxxxxx )1()1(22dxxx 1112dxxdxx 1112.lnarc

5、tanCxx 例例5 dxxx 2411 dxxx12)1(22Cxxx arctan233dxxx 2412)1(例例6 xdx2tan例例7 dxxx2cos2sin122 dxx)1(sec2Cxx tan dxx2sin4Cx cot4例例8 8 .2cos11 dxx dxx1cos2112 dxx2cos121.tan21Cx 注注:(1):检验：求导验证。检验：求导验证。(2):基本方法基本方法:1)对照积分表，变换被积函数。对照积分表，变换被积函数。2)变换技巧：对分式添项，拆项，变换技巧：对分式添项，拆项，对三角函数进行三角变换。对三角函数进行三角变换。).(,1 ,10 ,

6、1)(ln.2xfxxxxf求求设设例例 解：设解：设lnx=t，则，则x=et，原式变形为，原式变形为 0 ,0 ,1)(tettft当当t 0时，时，1)()(Ctdtdttftf当当t 0时，时，2)()(Cedtedttftftt故故f(t)处处连续，于是有处处连续，于是有处处处处存存在在，由由于于)(tf 1100)(lim)(limCCttftt 22001)(lim)(limCCetfttt 由此可得由此可得 C1=1+C2，0 ,0 ,1)(tCetCttft所以所以 0 ,0 ,1)(xCexCxxfx即即令C2 =C2、第一类换元法（凑微法）、第一类换元法（凑微法）)()(

7、)()()(xdxfdxxxfdxxg )()()(xuCuFduuf)(xu CxF )(1)dxx50)32(Cuduu 515010212132 xuCx 51)32(1021例子例子 )32()32(2150 xdx例例1 例例2 dxx)62cos(Cx )62sin(21 )62()62cos(21 xdx例例3 22xadxCaxa arctan1 )()(1112axdaxa一般一般 若若 CxFdxxf)()()()(1)(baxdbaxfadxbaxf CbaxFa )(1则有则有（2）例）例1 dxxex2CeCeduexuu 2212121例例2)21()21(4121

8、22122xdxdxxx CxCx 232232)21(61)21(3241)(2122xdex 一般一般 dxbaxxf)(2 )()(2122baxdbaxfa dxbaxfxnn)(1 )()(1baxdbaxfnann dxxex例例2 )1(xxdx xdxfdxxxf)(2)(一般一般(3)例例1dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx .)ln21ln(21Cx (4)例例1Cexdexx 22 Cxxxdarcsin2)(122例例 2 求求.11dxex dxeeexxx 11dxeexx 11dxeedxxx 1)1(11xxede

9、dx .)1ln(Cexx 一般一般xxxxdeefdxeefxdxfdxxxf )()(,ln)(ln1)(ln)()(1)(baedbaefadxebaefxxxx （5）例）例1 dxxxxdxcossintanCxxdx sinlncot类似地类似地 例例2 dxxxdx)2cos1(21sin2 xxdcoscosCx|cos|lndxxdx 2cos2121Cxx 2sin4121 xdx3sin例例3 xdxcos)cos1(2Cxx 3cos31cos dxxxdx24)2cos1(41sin例例4例例5 5 解解.2cos3cos xdxx),cos()cos(21cosco

10、sBABABA ),5cos(cos212cos3cosxxxx dxxxxdxx)5cos(cos212cos3cos.5sin101sin21Cxx 例例6 6 求求解解.cossin52 xdxx xdxx52cossin )(sincossin42xxdx )(sin)sin1(sin222xdxx )(sin)sinsin2(sin642xdxxx.sin71sin52sin31753Cxxx 说明说明 1、当被积函数是三角函数相乘时，拆开、当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分奇次项去凑微分.sin)(sincos)(sin2 xdxfxdxxf、.cos)(cossin)

11、(cos xdxfxdxxf.tan)(tansec)(tan2 xdxfxdxxf（6）例）例1?cos?sinxdxxdx 2cos2tan22cos2sin2sin2xxdxxxdxxdx法一法一 Cxxxd 2tanln2tan2tanCxxCxx cotcsclnsincos1ln法二法二 dxxxxxxdx2cos2sin22cos2sinsin22 dxxxdxxx2sin22cos2cos22sin 2sin2sin2cos2cosxxdxxdCxCxx 2tanln2sinln2cosln法三法三 xxdxxdxxdx22cos1cossinsinsinCxCxx 2tanl

12、ncos1cos1ln21类似地可得类似地可得 Cxxxdxxdxtanseclnseccos小结：（小结：（1）对一些常用的微分要熟悉，例如）对一些常用的微分要熟悉，例如),(1baxdadx ),(21)(2122baxdabxdxdx|,|ln ,21xdxdxxddxx ),(1baedadedxexxx ,cossinxdxdx tansec 2xdxdx （2）被积函数适当变形后再积分）被积函数适当变形后再积分（3）积分结果形式上可能不统一，特别是与三）积分结果形式上可能不统一，特别是与三角函数相关时。求导检验。角函数相关时。求导检验。（4）多练、多思）多练、多思 常用代换常用代换

13、:三角函数代换三角函数代换.2.tan,)(22taxxaxf 令令如如.sec,)(22taxaxxf 令令如如.sin,)(22taxxaxf 令令如如3、第二类换元法（代入换元法）、第二类换元法（代入换元法）CxGCtGxt )()(1)(1 dttgdtttfdxxf)()()()()(tx nbaxt 1(1)(1)例例1 1 求求解解.1dxxx xt 令令,2tdtdx dttt 1222原式原式dtt 11122.)arctan(2Ctt .)arctan(2Cxx 例例2 2 求求解解.11dxex xet 1令令,12 tex,122dtttdx dxex 11dtt 12

14、2dttt 1111Ctt 11ln .11ln2Cxex ,1ln2 tx(2)例例1 求求)0(22 adxxa解：解：,)(22aaDxaxff ),()2,2(,sinaaxttax ，则则令令 且且导导数数不不为为零零。内内单单调调，可可导导，在在函函数数)2,2(sin taxaxtarcsin 反反函函数数为为 22dxxa dtta)2cos1(22Caxaxaxa )(1(arcsin222Cxaxaxa 2222arcsin2 coscos tdtataCtta )2sin21(22xat22xa 例例 2 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 2

15、,2 tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x .4514345232Cxx (3)(3)例例1 1 求求解解).0(122 adxax令令taxtan tdtadx2sec dxax221tdtata2secsec1 tdtsec1|tansec|lnCtt tax22ax .ln122Caaxax 2,2 tCaxx )ln(22例例2 2 求求dxx 32)1(1解解 令令txtan tdtdx2sec

16、 2,2 tdxx 32)1(1tdtt23secsec1 tdt cosCt sinCxx 12t1x12 x(4)(4)例例1 1 求求解解).0(122 adxaxtaxaxsec),(时时，令令当当 2,0 ttdttadxtansec dxax221dttatta tantansec tdtsec1|tansec|lnCtt tax22ax 122lnCaaxax Df=(，a)(a，+)Caxx|ln22令令x=u，则，则u（a，+）12222lnCauuaudu 原式原式122lnCxax 1221lnCxax 1222lnCaxax Caxx|ln22dxax 221Caxx|

17、ln22时时，当当),(ax dxxx92例例2 2 求求解解txxsec3),3(时时，令令当当 2,0 ttdttdxtansec3 Df=(，3)(3，+)dxxx92 tdt2tan3 dttdt3sec32Ctt 3tan3t3x92 xCxx 3arccos33932Cxx 3arccos392txx 时时，令令当当3 dxxx92dttt 92Ctt 3arccos392Cxx 3arccos392 dxxx92Cxx|3arccos392说明说明(1)(1)以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的三角代换的目的目的是化掉根式是化掉根式.一般规律如下：

18、当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa 可令可令;sintax 22)2(xa 可令可令;tantax 22)3(ax 可令可令.sectax )2,2(t)2,2(t)2,0(,tax时时,uxax 令令时时当当为什么要讲上面三种情况？为什么要讲上面三种情况？通过配方，可化为上面三种通过配方，可化为上面三种情况之一。情况之一。cbxax 2例例4 21xxdxCxxx )121ln(2 22)21()23()21(xxd说明说明(2)(2)我们把一些结论作为基本积分表二我们把一些结论作为基本积分表二基基本本积积分分表表;|cos|lntan)16(Cxxdx;|sin|

19、lncot)17(Cxxdx;|tansec|lnsec)18(Cxxxdx;|cotcsc|lncsc)19(Cxxxdx;arctan11)20(22Caxadxxa ;arcsin1)22(22Caxdxxa .|ln1)23(2222Caxxdxax ;|ln211)21(22Caxaxadxax dxxx 321)5(2 22)2()1(1x;21arctan21Cx dxxx 941)6(2 dxxdxxx9419422 22223)2()2(2194)94(81xxdxxdCxxx )942ln(21944122说明说明(3)(3)当分母当分母x的次数较高时的次数较高时,可采用可采用倒代换倒代换.1tx 例例1 求求 dxxxa 422解：解：tx1 令令dttdx21 则则原式原式dtttat)1(12224 dttta|)1(2122 当当x 0时，原式时，原式)1()1(212221222 tadtaaCtaa 23222)1(31Cxxaa 323222)(31当当x 0时，有同样的结果时，有同样的结果.