一元二次方程的概念

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1、一元二次方程的概念一元二次方程的概念一元二次方程的解法一元二次方程的解法一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式一元二次方程根与系数的关系一元二次方程根与系数的关系用一元二次方程解决实际问题用一元二次方程解决实际问题一一元元二二次次方方程程复复习习只含有只含有 的的，并且都可以化，并且都可以化 成成这样的方程叫做一元二次方程这样的方程叫做一元二次方程把把axbxc(a，b，c为常数为常数,a)称为一元二称为一元二次方程的一般形式，其中次方程的一般形式，其中ax，bx，c分别称为二分别称为二次项、一次项和常数项，次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数分别称为二次项系数和一次项系数和一

2、次项系数一个未知数一个未知数x整式方程整式方程axbxc(a，b，c为常数为常数,a)的形式，的形式，一.相关概念例1.下列方程中，关于x的一元二次方程有：1、x2=0，2、ax2+bx+c=0，3、x23=x，4、a2+ax=0，5、(m1)x2+4x+5=0，7、(x+1)2=x29（）A、2个 B、3个 C、4个D、5个2m1x1321x A 例题欣赏例题欣赏1x6、x2+x1 认真想一想认真想一想221(1)50aaaxx【变式训练】【变式训练】3221=2aa10a 且且分析：分析：例例2：已知方程：已知方程 是关于是关于x的一的一元二次方程，则元二次方程，则m 1223mxx分析：

3、分析：1m1,21m得m2、利用方程解的定义：、利用方程解的定义：例例3、若关于、若关于x的一元二次方程的一元二次方程的一个根是的一个根是1，求，求p的值。的值。022pxx12p根据方程的解的定义将根据方程的解的定义将x=1代入原方程，代入原方程，解之得解之得 例例4、关于的一元二次方程、关于的一元二次方程 ，若有一个根为若有一个根为2，022txx求另一个根和求另一个根和t的值。的值。分析：此例已知方程的一个根，利用这分析：此例已知方程的一个根，利用这个根，先确定个根，先确定t的值，再求另一个根。的值，再求另一个根。解：x 2是方程的根.3t02332xxt代入方程得：把 一元二次方程为其

4、根所以方程的另一个根为，且xxxxt2123202113;,.022222tx代入方程得：把例例4、关于的一元二次方程、关于的一元二次方程 ，若有一个根为若有一个根为2，求另一根及，求另一根及t022txx3、已知：方程、已知：方程x25x5=0的一个根为的一个根为m，求求m 的值的值.m5解：解：m是是x2-5x+5=0的根的根 m2-5m+5=0 m2+5=5m m0 m+=5m5二二.一元二次方程的解法一元二次方程的解法1 1直接开平方法直接开平方法2.2.配方法配方法1.把方程化成一元二次方程的一般形式把方程化成一元二次方程的一般形式2.把二次项系数化为把二次项系数化为13.把含有未知

5、数的项放在方程的左边，不含未知数的项放把含有未知数的项放在方程的左边，不含未知数的项放 在方程的右边。在方程的右边。4.方程的两边同加上一次项系数一半的平方方程的两边同加上一次项系数一半的平方5.方程的左边化成完全平方的形式，方程的右边化成非负数方程的左边化成完全平方的形式，方程的右边化成非负数6.利用直接开平方的方法去解利用直接开平方的方法去解二二.一元二次方程的解法一元二次方程的解法2.2.配方法配方法3.3.公式法公式法1.把方程化成一元二次方程的一般形式把方程化成一元二次方程的一般形式2.写出方程各项的系数写出方程各项的系数3.计算出计算出b2-4ac的值，看的值，看b2-4ac的值与

6、的值与0的关系，若的关系，若b2-4ac0，则此方程没有实数根，则此方程没有实数根。4.当当b2-4ac0时，时，代入求根公式代入求根公式 计算出方程的值计算出方程的值 4402acaca22（-bbx=b）二二.一元二次方程的解法一元二次方程的解法2.2.配方法配方法3.3.公式法公式法4.4.因式分解法因式分解法1.移项，使方程的右边为移项，使方程的右边为0。2.利用提取公因式法，平方差公式，完全平方公式，十字相利用提取公因式法，平方差公式，完全平方公式，十字相乘法对左边进行因式分解乘法对左边进行因式分解 3.令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程。令每个因式分别为零，得到两个一元一次方

7、程。4.解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解。本章主要方法和公式本章主要方法和公式因式分解法的基本步骤因式分解法的基本步骤开平方法：开平方法：a a，x，xa a0）的方程，得x0）的方程，得xa（aa（a对于形如x对于形如x2 21 12 2本章主要方法和公式本章主要方法和公式配方法解方程的基本步骤配方法解方程的基本步骤把把二次项系数二次项系数化为化为1(方程的两边同时除以二次项系数方程的两边同时除以二次项系数a)把常数项移到方程的把常数项移到方程的右边右边;把方程的左边配成一个把方程的左边配成一个完全平方式完全平方式;利用利用开平方法开

8、平方法求出原方程的两个解求出原方程的两个解.一除、二移、三配、四开平方、五解一除、二移、三配、四开平方、五解.配方法：配方法：公式法：公式法：1 1、把方程化成一般形式，并写出、把方程化成一般形式，并写出a a，b b，c c的值的值.的的值值、求求出出cba4223、代入求根公式、代入求根公式:2 2a a4 4a ac cb bb bx x2 24、写出方程、写出方程x1，x2 的值的值 一化、二求、三代、四解一化、二求、三代、四解 0 0)4 4a ac cb b 如如果果2 2(626x xx(1)(1)2310 xx 213x 2320 xx224xx(2)(3)(4)(5)例题欣赏

9、例题欣赏例例1、下列方程应选用哪种方法求解、下列方程应选用哪种方法求解例例6、解下列方程、解下列方程（1）x2=0（2）)6(2)6(xxx解：解：（1）x1=x2=00)6(2)6(xxx0)2)(6(xx0206xx或2621xx，（2）注意：注意：第（第（1）题容易解得）题容易解得x=0这一个解；这一个解；第（第（2）题若方程两边都除以）题若方程两边都除以x6，得：，得：x=2，则原方程少了一个解，原因是，则原方程少了一个解，原因是在除以在除以 。故此。故此种做法不可取，应避免在方程两边都种做法不可取，应避免在方程两边都除以一个代数式。除以一个代数式。066xx时，应保证例例7、用指定的

10、方法解下列方程：、用指定的方法解下列方程：()x 1032（1）直接开平方法直接开平方法（2）配方法配方法（3）公式法公式法（4）因式分解法因式分解法26302xx910402xx2502xx（1）直接开平方法直接开平方法()x 1032解：解：两边开平方两边开平方()x 1032x 103 xxxx10310310310312或，（2）配方法配方法26302xx解：解：26302xx0434932xx043)23(2 x43)23(2 x2323x23323321xx，23032 xx用配方法解一元二次方程要注意两点：用配方法解一元二次方程要注意两点：首先将二次项系数变为首先将二次项系数变为

11、1；方程两边各加上一次项系数一半方程两边各加上一次项系数一半的平方，这是配方法的关键的一步，方的平方，这是配方法的关键的一步，方程左边配成完全平方式，当右边是非负程左边配成完全平方式，当右边是非负实数时，用开平方法即可求得方程的实数时，用开平方法即可求得方程的解解（3）公式法公式法 910402xx解：解：abc 9104，bacxxxx22124104942441024429102 611856195619()或（4）因式分解法因式分解法 2502xx解：解：xx()250 xxxx025005212或，运用因式分解法时，首先应将右运用因式分解法时，首先应将右边各项移到方程的左边，使方程右边

12、边各项移到方程的左边，使方程右边为；然后再将方程左边的式子分解为；然后再将方程左边的式子分解因式，使原方程化为两个一元一次方因式，使原方程化为两个一元一次方程，常借助于提公因式法、平方差公程，常借助于提公因式法、平方差公式、完全平方公式等来分解因式。式、完全平方公式等来分解因式。例2、用不同的方法解方程 x-6=5x 1.公式法2.配方法3.因式分解法1 1、选择适当的方法解下列方程：、选择适当的方法解下列方程：（1 1）(x+1)(x+1)2 2=4 =4 （2 2）x xx(x(x x)（3 3）(x+1)(2x(x+1)(2x1)=51)=5 （4 4）（）（y+1y+1）2 2+2+2

13、（y+1y+1）+1=0+1=0 一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式ac4b2 0a0cbxax20ac4b2000两不相等实根两不相等实根两相等实根两相等实根无实根无实根一元二次方程一元二次方程 根的判式是:0a0cbxax2判别式的情况根的情况定理与逆定理0ac4b2042acb两个不相等实根两个不相等实根 两个相等实根两个相等实根 无实根无实根(无解无解)三三、例例1：不解方程，判别下列方程的根的情况：不解方程，判别下列方程的根的情况（1）04322 xx（3）07152xx（2）yy2491620414243422 acb解：解：（1）=所以，原方程有两个不相等的实根。所以，

14、原方程有两个不相等的实根。说明说明：解这类题目时，一般要先把方程化为一般形式，求出，然后对进行计算，使的符号明朗化，进而说明的符号情况，得出结论。1、不解方程，判别方程的根的情况 例题欣赏例题欣赏例例2：当：当k取什么值时，已知关于取什么值时，已知关于x的方程：的方程：（1）方程有两个不相等的实根；（）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等的实根；（）方程有两个相等的实根；（3）方程无实根；方程无实根；01214222kxkx解：解：=9881618161224142222kkkkkk(1).当当0，方程有两个不相等的实根方程有两个不相等的实根,8k+9 0,即即 89k(2).当当=0

15、，方程有两个相等的实根方程有两个相等的实根,8k+9=0,即即 89k(3).当当 0，方程有没有实数根方程有没有实数根,8k+9 03、证明方程根的情况说明：说明：此类题目要先把方程化成一般形式，再计算出，如果不能直接判断情况，就利用配方法把配成含用完全平方的形式，根据完全平方的非负性，判断的情况，从而证明出方程根的情况4)2(2 m21212120,0,xbxcax xbcxxx xaa 如果a的两个根是那么四、一元二次方程根与系数的关系四、一元二次方程根与系数的关系以两个数以两个数x1、x2为根的一元二次方程（二次项为根的一元二次方程（二次项系数为系数为1）是）是 212120 xxxx

16、x x设设 x1、x2是下列一元二次方程的两个根，填写下表是下列一元二次方程的两个根，填写下表 x1 x2 x1+x2一元二次方程0652 xx03522 xx0262 xx5625233161的值求它的另一个根及，的一个根是：已知方程：例kkxx2,06512解：设方程的另一个根为x1，那么1162535325535275375xxkkk 又所 以，方 程 的 另 一 根 是，的 值 是。例题欣赏例题欣赏例例2、利用根与系数的关系，求一元二次方程、利用根与系数的关系，求一元二次方程 两个根的；（两个根的；（1）平方和；（）平方和；（2）倒数和）倒数和01322xx解：设方程的两个根是解：设方

17、程的两个根是x1 x2，那么，那么 121 22221211 22222212121 212121 231,22123113()2222411312322xxx xxxxx xxxxxxx xxxxxx x 例题欣赏例题欣赏五五.实际问题实际问题 面积问题面积问题 动点运动问题动点运动问题 增长率问题增长率问题 商品利润问题商品利润问题例例1 1、泉生中学为美化校园，准备在长、泉生中学为美化校园，准备在长32m32m，宽，宽20m20m的长的长方形场地上，修筑若干条笔直等宽道路，余下部分作草方形场地上，修筑若干条笔直等宽道路，余下部分作草坪，下面请同学们共同参与图纸设计，要求草坪面积为坪，下面

18、请同学们共同参与图纸设计，要求草坪面积为540m540m2 2求出设计方案中道路的宽分别为多少米？求出设计方案中道路的宽分别为多少米？3220答：道路宽为答：道路宽为1 1米。米。设计方案图纸为如图，草坪总面积设计方案图纸为如图，草坪总面积540m540m2 2长方形面积长方形面积=长长宽宽解：设道路宽为解：设道路宽为 m,m,则草坪的长为则草坪的长为 m m，宽为，宽为 m m，由，由题意得：题意得：)232()220(540)220)(232(解得解得 （不合题意舍去）（不合题意舍去）11252 例题欣赏例题欣赏分析：利用分析：利用“图形经过平移图形经过平移”，它的面积大小不会改变的，它的

19、面积大小不会改变的道理，把纵横两条路平移一下道理，把纵横两条路平移一下540)20)(32(xx)32(x设计方案图纸为如图，设计方案图纸为如图，草坪总面积草坪总面积540m540m2 2答：道路宽为答：道路宽为2 2米。米。)20(x3220解：设道路的宽为解：设道路的宽为 米，根据题米，根据题意得，意得，x0100522xx化简，得化简，得解得解得 1 12 2，2 25050（不合题意舍去）（不合题意舍去）xx设计方案图纸为如图设计方案图纸为如图，草坪总面积，草坪总面积540m540m2 23220解：设道路宽为解：设道路宽为 m m，则草坪的长为，则草坪的长为 m m，宽为，宽为 m

20、m，由题意，由题意得：得：）232(）20(540)20)(232(例例2：学校要建一个面积为150平方米的长方形自行车棚，为节约经费，一边利用18米长的教学楼后墙，另三边利用总长为35米的铁围栏围成，求自行车棚的长和宽.有关有关“动点动点”的运动问题的运动问题”1)1)关键关键 以静代动以静代动把动的点进行转换把动的点进行转换,变为线段的长度变为线段的长度,2)2)方法方法 时间变路程时间变路程 求求“动点的运动时间动点的运动时间”可以转化为求可以转化为求“动点动点的运动路程的运动路程”，也是求线段的长度，也是求线段的长度;由此由此,学会把动点的问题转化为静点的问题学会把动点的问题转化为静点

21、的问题,是解是解这类问题的关键这类问题的关键.3 3）常找的）常找的数量关系数量关系面积，勾股定理，面积，勾股定理，相似三角形等；相似三角形等；例例1：如图，在：如图，在RtABC中，中，C=90。点。点P，Q同时由同时由A，B两点出发分别沿两点出发分别沿AC，BC方向向点方向向点C匀速移动，它们的速度都是匀速移动，它们的速度都是1m/s。几秒后。几秒后PCQ的面积为的面积为RtABC面积的一半？面积的一半？ABCPQ8m6m解：设解：设 秒后后秒后后PCQ的面的面积为积为RtABC面积的一半面积的一半x根据题意，得方程：根据题意，得方程：1212（8-）（）（6-）=xx12 86解这个方程

22、，得：解这个方程，得：212x 12x（不合题意，舍去）（不合题意，舍去）答：答：2秒后秒后PCQ的面积为的面积为RtABC面积的一半。面积的一半。例例2：在矩形：在矩形ABCD中中,AB=6cm,BC=12cm,点点P从点从点A开开始以始以1cm/s的速度沿的速度沿AB边向点边向点B移动移动,点点Q从点从点B开始以开始以2cm/s的速度沿的速度沿BC边向点边向点C移动移动,如果如果P、Q分别从分别从A、B同时出发，几秒后同时出发，几秒后 PBQ的面积等于的面积等于8cm2？BACDQP解：设解：设x秒后秒后 PBQ的面积等于的面积等于8cm2根据题意，得根据题意，得整理，得整理，得解这个方程

23、，得解这个方程，得12(6)82xx2680 xx122,4xx06x所以所以2秒或秒或4秒后秒后 PBQ的的面积等于面积等于8cm21 1、如图，在、如图，在 ABCDABCD中，对角线中，对角线ACBCACBC，AC=BC=2AC=BC=2，动点，动点P P从点从点A A出发沿出发沿ACAC向终点向终点C C移动，过点移动，过点P P分别作分别作PMABPMAB交交BCBC于于M M。PNADPNAD交交DCDC于于N N，连接，连接AMAM，设，设AP=xAP=x。（1 1）四边形）四边形PMCNPMCN的形状有可能是菱形吗？请说明理由。的形状有可能是菱形吗？请说明理由。（2 2）当）当

24、x x为何值时，四边形为何值时，四边形PMCNPMCN的面积与的面积与ABMABM的面积相的面积相等？等？DBMCNAP2 2、已知：如图，、已知：如图，ABCDABCD中，中，AB=4AB=4，AD=6AD=6，BCBC边上的高边上的高AE=2AE=2，动点动点P P从点从点A A出发，在线段出发，在线段ADAD上以每秒上以每秒1 1个单位的速度向点个单位的速度向点D D运动，同时动点运动，同时动点Q Q也从点也从点C C出发，在线段出发，在线段BCBC上以每秒上以每秒2 2个单位个单位长度的速度向点长度的速度向点B B运动，当点运动，当点Q Q运动到点运动到点B B时，点时，点P P随之停

25、止随之停止运动。连接运动。连接AQAQ、PQPQ、PCPC。设运动时间为。设运动时间为t t（秒）。（秒）。(1)(1)当运动时间为当运动时间为1.51.5秒时，求出秒时，求出ABMABM的面积。的面积。(2)(2)用含用含t t的代数式来表示的代数式来表示PCQPCQ的面积。的面积。(3)(3)当当t t为何值时，为何值时，P P、Q Q两点间的距离为两点间的距离为？EBCAPDQE13 3 3、如下图，、如下图，AOAOBOBO50cm50cm，OCOC是一条射线，是一条射线，OCABOCAB，一只蚂蚁由点一只蚂蚁由点A A以以2cm/s2cm/s的速度向点的速度向点B B爬行，同时另一只

26、爬行，同时另一只蚂蚁由点蚂蚁由点O O以以3cm/s3cm/s的速度沿的速度沿OCOC方向爬行，几秒后两只蚂方向爬行，几秒后两只蚂蚁所在位置与点蚁所在位置与点O O组成的三角形的面积为组成的三角形的面积为450cm450cm2 2?1010秒、秒、1515秒、秒、3030秒秒95年的数量为年的数量为A，97年的数量为年的数量为B，经过，经过两个时间单位，求增长率两个时间单位，求增长率x。A95年年A(1+x)96年年A(1+x)297年年A(1+x)2=B增长率问题增长率问题w 例例1：学校图书馆去年年底有图书：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年万册，预计到明年年底增加到年底增加到7.

27、2万册万册.求这两年的年平均增长率求这两年的年平均增长率.基数平均增长率年底数量去年5今年5x5(1+x)明年5(1+x)x 5(1+x)(1+x)=5(1+x)2.w 分析分析:w 相等关系相等关系:经过两年平均增长后的图书经过两年平均增长后的图书=7.2万册万册.例题欣赏例题欣赏w 例例1：学校图书馆去年年底有图书：学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年万册，预计到明年年底增加到年底增加到7.2万册万册.求这两年的年平均增长率求这两年的年平均增长率.得根据题意设每年的平均增长率为解,:x.5.7)1(52x:解这个方程).,(0261%;48.2226121舍去不合题意xx%.48.2

28、2:每年的平均增长率约为答,23)1(2 x,26)1(x,261x 例题欣赏例题欣赏例例2：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半：某药品经两次降价，零售价降为原来的一半.已知两已知两次降价的百分率一样，求每次降价的百分率次降价的百分率一样，求每次降价的百分率.（精确到（精确到0.1%）解：设原价为解：设原价为1个单位，每次降价的百分率为个单位，每次降价的百分率为 x.根据题意，得根据题意，得 2112x解这个方程，得解这个方程，得 12221,122xx 2122129.3%.2xx 但1不合题意，舍去答：每次降价的百分率为答：每次降价的百分率为29.3%.驶向胜利的彼岸有关利润的知识基本

29、知识有关利润的知识基本知识l商品利润=售价-进价；.进价利润商品利润率.5000:元量平均每天销售冰箱的数每台冰箱的销售利润主要相等关系是分析,)25002900(,)2900(,元每台冰箱的销售利润为元是那么每台冰箱的定价就元如果设每台冰箱降价xxx 例1：新华商场销售某种冰箱,每台进价为250元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元?.,)5048(进而解决问题了就可以列出一个方程这样台量为平均每天销售冰箱的数x 例题欣赏例题欣赏得根据题意元设每台冰

30、箱降价解,:x 例1：新华商场销售某种冰箱,每台进价为250元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元?.5000)5048)(25002900(xx.022500300:2xx整理得得解这个方程,.15021 xx.275015029002900 x.2750:元每台冰箱的定价应为答 例题欣赏例题欣赏 列方程解应用题的一般步骤是列方程解应用题的一般步骤是:1.审审:审清题意审清题意:已知什么已知什么,求什么求什么?已已,未知之间有什么未知之间有什么关系关

31、系?2.设设:设未知数设未知数,语句要完整语句要完整,有单位有单位(同一同一)的要注明单位的要注明单位;3.列列:列代数式列代数式,列方程列方程;4.解解:解所列的方程解所列的方程;5.验验:是否是所列方程的根是否是所列方程的根;是否符合题意是否符合题意;6.答答:答案也必需是完事的语句答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活注明单位且要贴近生活.列方程解应用题的关键是列方程解应用题的关键是:找出相等关系找出相等关系.实际问题实际问题设未知数，列方程设未知数，列方程数学问题数学问题200axbxca解方解方程程降降次次数学问题的解数学问题的解224402bbacxbaca 检检 验验实际问

32、题的答案实际问题的答案 例例10、我们知道：对于任何实数，、我们知道：对于任何实数，x20，x2+10；0，+02)31(x2)31(x21模仿上述方法解答下面问题。模仿上述方法解答下面问题。（1）对于任何实数）对于任何实数x，均有：，均有：0；3422 xx 1532 xx7422 xx（2）不论）不论x为何实数，多项式为何实数，多项式 的的值总大于值总大于 的值。的值。求证：求证：解：解：（1）2x2+4x+3=2(x+1)2+1x不论为何实数，不论为何实数，(x+1)2总是非负数总是非负数2x2+4x+30（2）(3x2-5x-1)(2x2-4x-7)=3x2-5x-1 2x2+4x+7

33、=x2-x+6=423212）（xx不论为何实数，不论为何实数，总是非负数总是非负数 0221）（x423212）（x解答以下各题解答以下各题若最简二次根式若最简二次根式 是被开方是被开方数相同的，则数相同的，则x的值为多少？的值为多少？1842xxx与答案：答案：3x2+4x=x+18x2+3x-18=0解之得解之得 x1=-6，x2=3检验：当检验：当x=-6时，时，x2+4x=12，不是最简二次根式，不是最简二次根式，x=-6 舍去舍去xx423、已知、已知a、b是实数，是实数，解关于解关于x的方程的方程(a+2)x2+b2x+8=00|2|62ba答案：答案：x1=4，x2=-2阅读材

34、料，解答问题阅读材料，解答问题 为了解方程（为了解方程（y-1）-3（y-1）+2=0，我们将，我们将y-1视为一个整体，视为一个整体，解：设解：设 y-1=a，则（，则（y-1）=a，a-3a+2=0，（1）a1=1，a2=2。当当a=1时，时，y-1=1，y=，当当a=2时，时，y-1=2，y=所以所以y1=，y2=-y 3=y4=-23233解答问题：解答问题：1、在由原方程得到方程（、在由原方程得到方程（1）的过程中，利用了）的过程中，利用了 法法达到了降次的目的，体现了达到了降次的目的，体现了 的数学思想。的数学思想。2、用上述方法解下列方程：、用上述方法解下列方程：08)2(7)2(01222224xxxxxx2