一计数过程与泊松过程

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1、一、计数过程与泊松过程一、计数过程与泊松过程 在天文，地理，物理，生物，通信，医学，在天文，地理，物理，生物，通信，医学，计算机网络，密码学等许多领域，都有关于随机计算机网络，密码学等许多领域，都有关于随机事件流的事件流的计数问题，计数问题，如：如：盖格记数器上的粒子流；盖格记数器上的粒子流；电话交换机上的呼唤流；电话交换机上的呼唤流；计算机网络上的（图象，声音）流；计算机网络上的（图象，声音）流；编码（密码）中的误码流；编码（密码）中的误码流；泊泊 松松 过过 程程交通中事故流；交通中事故流；细胞中染色体的交换次数，细胞中染色体的交换次数，均构成以时间顺序出现的事件流均构成以时间顺序出现的事

2、件流A1,A2,定义定义1：随机过程：随机过程N(t),t0称为称为计数过程计数过程(Counting process),如果如果N(t)表示在表示在0,t内事内事件件A 出现的总次数出现的总次数.计数过程应满足：计数过程应满足：(1)N(t)0;(2)N(t)取非负整数值；取非负整数值；(3)如果如果s t，则，则N(s)N(t)；(4)对于对于s 0；(4)PN(h)2=o(h).称称N(t),t0)是参数是参数(或速率或速率,强度强度)为为的的齐次齐次 泊松过程泊松过程.定理定理：齐次泊松过程：齐次泊松过程N(t),t0在时间间隔在时间间隔(t0,t0+t内事件出现内事件出现n 次的概率

3、为次的概率为:,2,1,0,!)()()(00 nentntNttNPtn nNtNPntNPtPn )0()()()(记记证证)1()()(00ntNttNP 1o 由条件由条件(2)(4)，得：，得：Po(t+h)=PN(t+h)=0=PN(t)=0,N(t+h)N(t)=0=PN(t)=0 P N(t+h)N(t)=0=Po(t)1h+o(h)hhotPhtPhtP 000 001,10,0000NPtPdttdPh条件条件得得令令.0,)(0 tetpt解解得得2o 当当n1,根据全概率公式有根据全概率公式有)()()()()(110hptphptphtpnnn t(t+h)()()(

4、)1()(1hothptphhtpnnn hhotPtPhtPhtPnnnn 1 dttdPhn得得令令,0 tPtPnn1 两边同乘以两边同乘以et 后移项整理得后移项整理得 )2()()(1tpedttPedntnt 当当n=1,则则 00)(101PeetPedttPedttttttetp )(1解解得得 成成立立假假设设tnnenttP !111代入代入(2)式有式有)!1()()()(11 nttpedttPednntnt tPent Cntn !利用初始条件利用初始条件 可可证证得得,00 nP tnnenttP !对一切对一切n0均成立均成立.定理证明反之亦然定理证明反之亦然,得

5、泊松过程的等价定义：得泊松过程的等价定义：定义定义2设计数过程设计数过程 N(t),t0 满足下述条件：满足下述条件：(1)N(0)=0；(2)N(t)是独立增量过程是独立增量过程；(3)对一切对一切0st,N(t)N(s)P(ts),即即 ,2,1,0,!)()()()(kekstksNtNPstk注注特别有特别有 kNtNPktNP )0()()(),2,1,0(,!kekttk EX.1 设设N(t),t0)是参数为是参数为的泊松过程的泊松过程,事件事件A在在(0,时间区间内出现时间区间内出现n次，试求次，试求:PN(s)=k N()=n,0kn,0s s 0 R(s,t)=EN(t)N

6、(s)=EN(s)N(t)N(s)+N(s)=EN(s)N(t)N(s)+E N2(s)=EN(s)EN(t)N(s)+E N2(s)stssssts22 tsststmsmtsRtsC 2)()(),(),(C(s,t)=min(s,t)R(s,t)=min(s,t)+2st.一般地有一般地有 1)令令X(t)=N1(t)N2(t)，t0,求求X(t)的均值函数的均值函数和相关函数和相关函数.2)证明证明 X(t)=N1(t)+N2(t),t0,是强度为是强度为1+2的泊松过程的泊松过程.3)证明证明 X(t)=N1(t)N2(t)，t0,不是泊松过程不是泊松过程.EX.2 设设N1(t)和

7、和N2(t)分别分别是强度为是强度为1和和2的相互独立的泊松过程的相互独立的泊松过程,)()()()(12121ttNEtNEtmX ）解解)()()()(),(2121tNtNsNsNEtsRX )()()()()()()()(12212211tNsNEtNsNEtNsNEtNsNE )()()()(),(),(122121tNEsNEtNEsNEtsRtsRNN ststtsstts212222112),min(),min(.2)(),min()(21222121ststts 2)根据泊松分布的可加性知根据泊松分布的可加性知X(t)=N1(t)+N2(t),t0,3)X(t)=N1(t)N

8、2(t)的特征函数为的特征函数为)(exp)(2111tteteuiuiuX 独立和的独立和的特征函数特征函数 由分布函数与特征函数的一一对应的惟一性由分布函数与特征函数的一一对应的惟一性定理知定理知X(t)不是泊松过程不是泊松过程.是强度为是强度为1+2的泊松过程的泊松过程.2.时间间隔与等待时间的分布时间间隔与等待时间的分布tW1W2W3W4N(t)是跃度为是跃度为1 的阶梯函数的阶梯函数 用用Tn表示事件表示事件A第第n1次出现与第次出现与第n次出现的次出现的时间间隔时间间隔.,1 niinTW记记iiiWWT 1则则称称Wn为事件为事件A第第n 次出现的次出现的等待时间等待时间(到达时

9、间到达时间).).定理定理1 1 设设Tn,n1是参数为是参数为的泊松过程的泊松过程N(t),t0 的时间间隔序列，的时间间隔序列，则则Tn,n1相互相互独立同服从指数分布，独立同服从指数分布，且且ET=1/.证证 (1)1)因因 T1t=(0,t)内内事件事件A不出现不出现 PT1t=PN(t)=0=et 0,111 tetTPtFtT即即T1 服从均值为服从均值为1的的指数分布指数分布.(2)由泊松过程的平稳独立增量性由泊松过程的平稳独立增量性,有有 PT2t|T1=s=P在在(s,t+s)内事件内事件A不出现不出现|T1=s T1=sT2t+s=PN(t+s)N(s)=0=PN(t)N(

10、0)=0=PN(t)=0=et 与与s 无关无关 故故T2与与T1相互独立，且相互独立，且T2也服从均值为也服从均值为1/的指数分布的指数分布.(3)对于一般对于一般 n1 和和t0,以及以及 r1，r2，rn-10,有有PTnt|Ti=ri,1in1=PN(t+r1+,+rn1)N(r1+r2+rn1)=0=PN(t)N(0)=0=et.0,1 tetTPtFtnn即即定理定理2 参数为参数为的泊松过程的泊松过程N(t),t0,事件事件A第第n 次出现的等待时间服从次出现的等待时间服从分布分布,其概率密度为：其概率密度为：0,0;0,)!1()(1ttntetfntnW注：在排队论中称注：在

11、排队论中称Wn 服从服从爱尔朗分布爱尔朗分布。Wnt=N(t)n=(0,t)内内A至少出现至少出现n次次 证证 因因Wn是事件是事件A 第第 n次次出现的出现的等待时间等待时间,故故 nktknwtekttWPtFn0,!)(1,1!nnkkttwWk nk nttftFteekk .0,)!1(1 tntent3.到达时间的条件分布到达时间的条件分布 定理定理3 设设N(t),t0是是Poisson过程，已知在过程，已知在(0,t时间内时间内A出现出现n 次次,这这n 次到达时间次到达时间W1,W2,Wn的联合的联合条件分布密度条件分布密度为为 .,00,!)(,(121其其他他nnntttnntNtttf注注 即与即与n个相互独立同服从个相互独立同服从 0,t上均匀分布上均匀分布随机变量的顺序统计量随机变量的顺序统计量U(1),U(2),U(n)有相有相同分布同分布.