五章疑难解答

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1、第五章疑难解答),0 ,1(zAC)1,2,0(zBC 1 已知点A(1,0,0)及点B(0,2,1)试在z轴上求一点C 使ABC的面积最小 解 设所求的点为C(0 0 z)则 因为 kjikji2)1(212001zzzzBCAC,所以ABC的面积为4)1(421|2122zzBCACS04)1(4)1(284122zzzzdzdS51z)51,0 ,0(C 令 得 所求点为 2 求过点(1,0,4)且平行于平面3x4yz100 21311zyx相交的直线的方程 又与直线 解 过点(1,0,4)且平行于平面3x4yz100的平面的方程为 3(x1)4(y0)(z4)0 即3x4yz10 将直

2、线21311zyx化为参数方程 x1t y3t z2t 代入平面方程3x4yz10 得3(1t)4(3t)2t10 解得t16 于是平面3x4yz10与直线21311zyx的 交点的坐标为(15 19 32)这也是所求直线与已知直线的交点的坐标 所求直线的方向向量为 s(15 19 32)(1,0,4)(16 19 28)所求直线的方程为28419161zyx 3 已知点A(1,0,0)及点B(0,2,1)试在z轴上求一点C 使ABC的面积最小),0 ,1(zAC)1,2,0(zBC 解 设所求的点为C(0 0 z)则 因为 kjikji2)1(212001zzzzBCAC所以ABC的面积为

3、4)1(421|2122zzBCACS 04)1(4)1(284122zzzzdzdS51z)51,0 ,0(C 令 得 所求点为 2222)1()1(2yxzyxz4 求曲线在三个坐标面上的投影 曲线的方程 解 在xOy面上的投影曲线方程为02)1()1(2222zyxyx022zyxyx 即 在zOx面上的投影曲线方程为0)12()1(222yzxxz002342222yzxzxzx 即 在yOz面上的投影曲线方程为0)1()12(222xyzyz002342222xzyzyzy 即 5 设一平面垂直于平面z0 并通过从点(1,1,1)001xzy的垂线 求此平面方程 到直线 解 直线00

4、1xzy的方向向量为s(0 1 1)(1 0 0)(0 1 1)设点(1,1,1)到直线001xzy的垂线交于点(x0 y0 z0)因为点(x0 y0 z0)在直线001xzy上 yy01y00 210y 所以(x0 y0 z0)(0 y0 y01)于是 垂线的方向向量为 s1(1 y01 y0)显然有ss 10 即从而)21,21,1(),1,1(001yys 所求平面的法线向量可取为jikjikskn21)2121(1所求平面的方程为 0)1()1(21yx即x2y10 6 设a(1 3 2)b(2 3 4)c(3 12 6)证明三向量a、b、c共面 并用a和b表示c 证明 向量a、b、c

5、共面的充要条件是(ab)c0 因为kikjiba36 432231 (ab)c(6)(3)012(3)60 所以向量a、b、c共面 设cab 则有 (2 33 24)(3 12 6)即有方程组642123332解之得5 1 所以c5ab 7 已知点A(1,0,0)及点B(0,2,1)试在z轴上求一点C 使ABC的面积最小),0 ,1(zAC)1,2,0(zBC 解 设所求的点为C(0 0 z)则 因为 kjikji2)1(212001zzzzBCAC 所以ABC的面积为4)1(421|2122zzBCACS04)1(4)1(284122zzzzdzdS51z)51,0 ,0(C 令 得 所求点为 8 画出下列各曲面所围立体的图形 (1)抛物柱面2y2x 平面z0及1224zyx (2)抛物柱面x21z 平面y0 z0及xy1 22yxz (3)圆锥面及旋转抛物面z2x2y2