证明角相等的方法

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1、添辅助线的规律（一）添辅助线的目的：解证几何问题的基本思路就是要利用已知几何条件求得所求几何关系。这往 往需要将已知条件与所求条件集中到一个或两个几何关系十分明确的简单的几 何图形之中。如一个三角形（特别是直角三角形、等腰三角形），一个平行四边 形（特别是矩形、菱形、正方形），一个圆，或两个全等三角形，两个相似三角 形之中。这种思路可称为条件集中法。为了达到条件集中的目标，我们需要将远离的、分散的已知条件和所求条件， 通过连线、作线、平移、翻转、旋转等方法来补全或构造一个三角形、一个平行 四边形、一个圆、或两个全等三角形、两个相似三角形。以便于运用这些图形的 几何关系（性质定理）解题，这就需要

2、添加辅助线。添加什么样的辅助线，总由以下三方面决定：由所求决定：问什么，先要作什么。由已知决定：已知什么，作出什么，并为充分运用已知条件提供的性质定 理添加辅助线。由条件集中的需要决定：为补全或构造几何关系十分明确的一个三角形、 一个平行四边形、一个圆，或两个全等三角形、两个相似三角形而添加辅助线。 （二）添辅助线的规律：（1）三角形中： 等腰A：常连底边上的中线或高或顶角的平分线（构造两个全等的直角A， 或便于运用等腰A三线合一的性质。如图1） 直角A斜边上有中点：连中线（构造两个等腰A,或便于运用直角A斜边 上的中线的特殊性质。如图 2） 斜A有中点或中线：连中线（构造两个等底同高的等积A

3、。如图3）；或自左右两顶点分别作中线的垂线（构造两个全等直角三角形。如图4）； 或连中位线、或过一中点作另一边的平行线（构造两个相似比为1： 2的相似A,或 便于运用A中位线定理。如图5、6）；或延长中位线或中线的一倍（构造两个 全等A或补全为一个平行四边形。如图7、8）。或延长中线的1/3 （构造两个全 等 A 或补全为一个平行四边形。如图 9）。 有角平分线：过其上某一交点作角两边的垂线（构造两全等的直角A。如 图10）或一边或两边的平行线（构造一个或两个等腰A或一菱形。如图11）。 有角平分线：在此角的一边上自顶点取一段等于另一边并作相关连线（构 造两个全等A。如图12、13） 有角平分

4、线遇垂线：常延长垂线（构造等腰A。如图14）。（二）梯形： 延长两腰交于一点（构造两相似A。如图15）， 由小底的一端作一腰的平行线（构造一集中有两腰及上下两底差的A和一 平行四边形。如图 16）。 由小底的两端作大底的垂线（构造两直角A和一矩形。如图17）。 有对角线时：由小底的一端作另一对角线的平行线（构造一集中有两对角线及上下两底和的A和一平行四边形。如图18）。 连小底一端与另一腰中点并与大腰的延长线相交（构造两全等A及一与梯 形等高等积的A。如图19）。 过一腰的中点作另一腰的平行线（构造两全等A及与梯形等积的平行四边 形。如图 20）。 过小底的中点分别作两腰的平行线（构造一集中有

5、两腰及上下两底差的A 和两个平行四边形。如图 21）。有弦：连过弦端点的半径，连垂直于弦的直径或弦心距（构造直角A,便于运用垂径定理、勾股定理、锐角三角函数解题）；或作过弦一端点的切线及相关的圆心角、圆周角（便于运用弦切角定理。如图 22）。 有直径及垂直直径的弦或半弦，连结弦与直径的端点（构造三个相似的直 角A,便于运用直角A的性质及射影定理。如图23）。 有圆内接四边形：连对角线（构造较多相等的圆周角。如图24）；或延长 四边形的某一边（构造与内对角相等的外角。如图25）。0 24圏嘗 圆外有切线：连过切点的半径或直径（构造垂直关系）；或作过切点的弦 及相关的圆心角、圆周角（便于运用弦切角

6、定理。如图26）。 圆外有两条相交切线：连过切点的半径，并作切线交点与圆心的连线（构 造两全等的直角三角形）；或作过交点和加以的割线（便于运用切线割线定理）；或连结两切点（构造一等腰A、三对全等的直角A、被切线交点与圆心的连线垂直平分的弦，便于运用等腰A、直角A、全等A以及射影定理。如图27）。 有相交弦或相交于圆外的割线切线：连结不同弦的端点或不同割线在圆上 的交点（构造相似A,便于运用比例线段及A外角定理。如图28、29、30）。 两圆相交：作连心线、公共弦，甚至两圆心到公共弦两端点的连线（构造 两等腰A、补全一筝形，便于运用连心线垂直平分公共弦的定理。如图31）。 两圆外切：作连心线及内

7、、外公切线、连切点、连半径（构造一集中有两 条弦及外公切线长的直角A、一集中有两圆半径、半径之和及外公切线长的直角梯形。如图32）。 两圆内切：作连心线及外公切线（便于运用连心线与公切线的垂直关系。 如图33）。 两圆外离：作连心线及个公切线或内公切线，并过小圆圆心作公切线的平 行线（构造一集中连心线长、公切线长、两圆半径差或和的直角A。如图34、 35）。K31证明线段相等的方法一）常用轨迹中： 两平行线间的距离处处相等。 线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等。 角平分线上任一点到角两边的距离相等。 若一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其它直线上截得的线段也相等（图1）。（二）三

8、角形中: 同一三角形中，等角对等边。（等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等） 任意三角形的外心到三顶点的距离相等。 任意三角形的内心到三边的距离相等。 等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边。 直角三角形中，斜边的中点到直角顶点的距离相等。 有一角为60的等腰三角形是等边三角形。 过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边（图2）。 同底或等底的三角形，若面积相等，则高也相等。同高或等高的三角形，若面积相等，则底也相等（图3）。（三）四边形中: 平行四边形对边相等，对角线相互平分。 矩形对角线相等，且其的交点到四顶点的距离相等。 菱形中四边相等。 等腰梯形两腰相等、两对

9、角线相等。 过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰（图4）。（四）正多边形中： 正多边形的各边相等。且边长an = 2Rsin （180/ n） 正多边形的中心到各顶点的距离（外接圆半径R ）相等、各边的距离（边心距rn ）相等。且 rn = Rcos （180/ n）（五）圆中： 同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等。 同圆或等圆中，等弦所对的弦心距相等，等弦心距所对的弦相等。 任意圆中，任一弦总被与它垂直的半径或直径平分。 自圆外一点所作圆的两切线长相等。 两相交或外切或外离圆的二公切线的长相等；两外离圆的二内公切线的长也相等。 两相交圆的公共

10、弦总被连心线垂直平分（图5）。 两外切圆的一条外公切线与内公切线的交点到三切点的距离相等（图6）。 两同心圆中，内圆的任一切线夹在外圆内的弦总相等且都被切点平分（图7）。（六）全等形中： 全等形中，一切对应线段（对应的边、高、中线、外接圆半径、内切圆半径）都相等。（七）线段运算： 对应相等线段的和相等；对应相等线段的差相等。 对应相等线段乘以的相等倍数所得的积相等；对应相等线段除以的相等倍数所得的商相等。 两线段的长具有相同的数学解析式，或二解析式相减为零，或相除为1,则此二线段相等。证明角相等的方法（一）相交直线及平行线： 二直线 相交，对顶角相等。 二平行线被第三直线所截时，同位角相等，内

11、错角相等，外错角相等。 同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等，凡直角都相等。 角的平分线分得的两个角相等。 自两个角的顶点向角内看角的两边，若有一角的左边平行（或垂直）于另一角左边，一角的右边平行（或垂直）于另一角的右边，则此二角相等（图 1、2）。圍1a 3（二）三角形中： 同一三角形中，等边对等角。（等腰三角形两底角相等、等边三角形三内角相等） 等腰三角形中底边上的高或中线平分顶角。 有一角为60的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形（三内角都相等） 直角三角形中，斜边的中线分直角三角形为两个等腰三角形（图3）。囲3（三）四边形中： 平行四边形对角相等。 菱形的对角线平分一组对角。 矩

12、形的四角相等，且均为直角。 等腰梯形同一底上的两角相等。（四）正多边形中： 正多边形的各内角相等、外角相等，且内角=（n-2）180/ n,外角=360/ n 正多边形的中心角相等，且中心角a=360/ n。五）圆中： 同圆或等圆中，等弧或等弦或等弦心距所对的圆心角相等、圆周角相等。 同圆或等圆中，含等弧或等弦的弦切角相等，且与所对的圆周角相等。 同圆或等圆中，所夹二弧或二弦相等的圆内角相等、圆外角相等。 自圆外一点所作圆的两切线，二切线所夹的角被过该点的连心线平分。 两相交或外切或外离的圆中，二外公切线所夹的角被二圆的连心线平分；两外离的圆中，二内公切线所夹的角也被二圆的连心线平分（图 4）

13、。 圆的内接四边形中，任一外角与其内对角相等。（六）全等形中： 全等形中，一切对应角都相等。（七）相似形中： 相似形中，一切对应角都相等。（八）角的运算： 对应相等角的和相等；对应相等角的差相等。 对应相等角乘以的相等倍数所得的积相等；对应相等角除以的相等倍数所得的商相等。 两角的大小具有相同的数学解析式，或二解析式相减为零，或相除为1,则此二角相等。 两锐角或两钝角的正弦具有相同的数学解析式，此二角相等；两角的余弦、正切具有相同的数学解析式，此二 角相等。证明线段不等关系的方法（一）常用轨迹中： （线段公理）所有连结两点的线中，线段最短。 自直线外的一点，向直线作一条垂线和多条斜线，则斜线长

14、的所对的射影也长；射影长的所对的斜线也长，且其中垂直线段最短（图 1）。 两平行线间公垂线最短。（二）三角形中： 同一三角形中，大角对大边，小角对小边，直角或钝角所对的边最大。 任意三角形中，任二边之和大于第三边，任二边之差小于第三边。 直角三角形中，斜边最长。（三）圆中： 同圆或等圆中的各条弦、以直径最长。 同圆或等圆中，大弦或大圆心角所对所对的弦心距小，小弦或小圆心角所对所对的弦心距大;小弦心距或大圆心角所对的弦大，大弦心距或小圆心角所对的弦小（图2）。图3 同圆或等圆中，若弧为劣弧，圆周角为锐角：则大弧或大圆周角所对的弦大；小弧或小圆周角所对的弦小（图2）。若弧为优弧，圆周角为钝角，则反

15、之（图3）。 同圆或等圆中，若弧为劣弧，圆周角为锐角：则大弧或大圆周角所对所对的弦心距小，小弧或小圆周角所对所对的弦心距大（图2）。若弧为优弧，圆周角为钝角，则反之（图3）。（四）线段运算： 对应相等线段加不等的线段：加长线段的其和也大；加短线段的其和也小。 对应相等线段减不等的线段：减长线段的其差反小；减短线段的其差反大。 较大的线段减较小的线段，其差也大；较小的线段减较大的线段，其差反小。 两线段的长的数学解析式相减：若其差大于零，则前者大于后者；若其差小于零，则前者小于后者。 两线段的长的数学解析式相除：若其商大于1,则前者大于后者；若其商小于1,则前者小于后者。证明角不等关系的方法（一

16、）三角形中： 同一三角形中，大边对大角，小边对小角，三内角中以直角或钝角最大。 三角形的任一外角大于与它不相邻的任一内角。（二）圆中： 同圆或等圆中，大弧所对的圆心角、圆周角大，小弧所对的圆心角、圆周角小。 同圆或等圆中，大弦所对的圆心角、圆周角（锐角）大，小弦所对的圆心角、圆周角（锐角）小；大弦心距所对的圆心角、圆周角（锐角）小，小弦心距所对的圆心角、圆周角（锐角）大。（三）角的运算： 对应相等角加不等的角：加大角的其和也大；加小角的其和也小。 对应相等角减不等的角：减大角的其差反小；减小角的其差反大。 较大的角减较小的角，其差也大；较小的角减较大的角，其差反小。 两角大小的数学解析式相减：

17、若其差大于零，则前者大于后者；若其差小于零，则前者小于后者。 两角大小的数学解析式相除：若其商大于1,则前者大于后者；若其商小于1,则前者小于后者。证明线段比例式或等积式的方法一）比例的性质定理：若討al =b c若厂CJW春=若4=各na _ nc 而irid若3=C电_ = ;班命 _ G-?a-b若令旦a-t - &吐a-b 卅匚 匕| d = 且 且 C辛-(b-RH- - +k 丰 5_ _电 ph鯛V =T = =y（二）平行线中的比例线段: 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得对应线段成比例（图1、2）。（三）三角形中比例线段： 相似三角形中一切对应线段（对应边、对应

18、高、对应中线、对应角平分线、对应周 长）的比都相等，等于相似比。 相似三角形中一切对应面积的比都相等，等于相似比的平方。 勾股定理：直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和（图5）。 射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项（图5）。直角三角形上任一直角边是它在斜边上的射影与斜边的比例中项（图5） 。 正弦定理：三角形中，每一边与对角的正弦的比相等（图6）。即/sinA=b/sinB=c/sinC 余弦定理：三角形中，任一边的平方等于另两边的平方和减去这两边及其夹角余弦乘积的二倍（图6）。10El &（五）比例线段的运算:借助等比或等线段代换。运用比例的性质定理推导。用代数或三角方法进行计算。切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长为这点到割线与圆交点的两线段长的比例中项（图9）。割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆交点的两线段长的积相等（图10）。