行列式的计算方法

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1、引言 1一、行列式的定义及性质 2（一）行列式的定义及相关公式 2（二）n级行列式的性质：4二、行列式的计算 6（一）行列式的基本计算方法 61、定义法： 62、三角形法： 73、降阶法： 124、换元法： 145、递推法： 156、数学归纳法: 167、目标行列式法： 18（二）行列式的辅助计算方法 191、加边法： 192、析因子法： 213、连加法： 214、拆项法： 225、乘积法： 23结束语 24参考文献： 26行列式的计算方法摘要 行列式是线性代数理论中极其重要的组成部分 ,是高等数学的一个基本的概念.行 列式产生于解线性方程组中，并且也是最早应用于解线性方程组中,并且在其他学科

2、分支都 有广泛的应用,可以说它是数学、物理学以及工科许多课程的重要学习工具.行列式也为解决 实际问题带来了许多方便。本文针对行列式这一数学工具,进行系统讨论，从不同的角度理 解了行列式的定义,重点证明了行列式性质，介绍一些展开定理，总结了行列式的几种计算 方法,如定义法、三角形法、降阶法、换元法、递推法、数学归纳法及目标行列式法。辅助 方法有：加边法、析因子法、乘积法、连加法、拆项法等，并结合例题说明行列式计算的技 巧性和灵活性。关键词 行列式，计算方法，线性方程组。The Calculation of DeterminantLiuHui(College of Mathematics and

3、Physics Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)Abstract The determinant is the extremely important constituent in the linear algebra theory, it is a basic concept of higher mathematics. The determinant is evolved from and solved the linear equation group, and is applied to solve in the linea

4、r equation group first ， moreover all has the widespread application in other discipline branches， we can say that it is an important study tool which in mathematics， the physics as well as the engineering course many curricula。 The determinant also brought about convenient for the solution actual p

5、roblem. This article in view of the determinant this mathematical instrument ， carries on the system discussion, had understood from the different angle to the determinant definition, had proven the nature of the determinant on emphasis， introduced some expansion theorem, summarized several computat

6、ional methods of the determinant， such as defining the law, triangular law， lower the steps law， change yuans of law, is it push away law ， mathematical induction and goal determinant law to pass， The householder method is as follows, add the law ， analyse the factor law , product law， even the addi

7、tion, dismantle a law and so on, and union sample question showing determinant computation skill and the flexibility。Key words Order determinat； Computing technology ; Line shape equation group。引言行列式是线性代数中重要的一部分，它的产生和最早的应用都是 在解线性方程组中，虽然相对整个线性代数领域来说，它只是一小部 分,但是它的作用不可忽视，有着重要的地位 .因为在一些数学问题 中，往往会涉及到行列式问

8、题,而行列式的计算是解决问题的关键。 不过它现在的应用范围已拓展得很广泛，成为很多学科的重要工具. 国际上一些知名的数学家如：克兰姆（cramer）,拉普拉斯（laplace）, 范得蒙（vandermonde）等都对行列式有着深入的研究，并为行列式的 计算奠定了理论基础.行列式的解题方法灵活多样，技巧性强，有些 问题只靠一种方法还不能解决,所以本文就行列式的多种基本方法和 辅助方法进行归纳总结以及进行例证说明.这些方法与技巧也许不能 包含所有解法，但随着知识的发展我们相信还会有更新的，更好的方 法来解决行列式的计算问题。一、行列式的定义及性质（一）行列式的定义及相关公式在高等代数（线性代数）

9、教科书中，对行列式都有如下介绍1、二级行列式的定义aa1112 = a a - a aaa11 2212 2i21222、三级行列式的定义aaa111213aaa212223aaa31323311 22 33 12 23 31 13 21 32- a a a13 22 31- a a a - a a a .12 21 33 11 23 323、n级行列式的定义aiia21a12a22a1na2 n(-1(jijj)a a .a1 j12 j2njnan1an2ann也就是说n级行列式aiia21a12a22a1na2n等于所有取自不同行不同an1an2ann列的几个元素的乘积a a.a1j 2

10、 j n j12n4、将行列式按行或列)展开a11a12a1nai1ai2ain=a A + a A +. + a A ,i1 i1i 2 i 2in inan1n2ann其中i =1、2、n,A是元素aj的代数余子式。5、降阶定理=|A|D - CA-1B，其中c、D都是数域P(*)的代数和这里j j . j是1,2n1 2 n的一个排列，当 j j .j 是偶排列时， (*)式取正号，当 j j .j 是奇排1 2 n1 2 n列时(*)式取负号。定义法是计算行列式的根本方法,对任何行列式都 适用即n级行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素乘积的代数 和。上的方阵。6、|AB| = |A

11、|B|，其中A、b都是数域P上的方阵。7、A B = |A|C|，其中A、B、C都是数域P上的方阵。8、分块矩阵乘法公式：A *O B =1AB ；A O* B = A IB ；A OO B = IAIB;O AB O =(T)mn|A|B -其中A、B是数域P上的方阵，m、n为A、B的阶.9、非零矩阵k左乘行列式的某一行加到另一行上，则新的分块 行列式与原来相等10、|A|= at，其中A是数域P上的方阵。11、范德蒙行列式11.1aa ai2nd = a 2a2a 2=n(a - a ).i2nij 1 j i nan-1an-1.an-112n（二）n级行列式的性质：性质1：行列互换，行

12、列式不变.aa aaa a11121n1121n1aa aaa a21222 n1222n 2 aa aaa an1n2nn1n2nnn性质2：一个数乘以行列式的某一行，等于该这个数乘以此行式aa aaa a1112in11121n kakaka=k aa aiii2inni2in aa aaa an1n2nnn1n2nn性质 3：如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这个行列式除这一行外全与原来行列式的对应的行一样.aa aan11121nb + cb + c b + c=b1 122nn1aan1an2 annn1性质 4：如果行列式中有两行a- aaa- a121

13、n11121nbb+ cc c2n12n a- aaa- an2nnn1n2nn。所谓两行相同就是说两行的对应元素相等。性质 5：如果行列式中两行成比例，那么行列式为零aa aaa a11121 n11121 naa aaa a订i2in=ki1i2in=0 kaka-kaaa ai2ini1i2inaa aaa a11n2nn11n2nn性质 6：对换行列式中两行的位置，行列式反号。性质 7：把一行的倍数加到另一行,行列式不变。性质 8：若行列式 D 的所有元素都加上同一个数，则其代数余子 式之和不变。即：aa aa+ xa+ xa+ x11121n11121naa aa+ xa+ xa+

14、x21222 n，D =21222n 1 aa aa+ xa+ xa+ xn1n2nnn1n2nn则D =中的。，其中Aij 是 D1D = D + x A1ijij-1性质 9：若行列式某一行元素都等于 1，则行列式等于其所有代性质10 :设D = aij nxn1D 的代数余子式之和等于a - a n111二、行列式的计算11a-aaa22122n1na-aaa32123n1na-aaan212nn1na - a2111a - a3111数余子式之和。1、定义法:应用n级行列式的定义计算其值的方法，称为定义法.由行列式计算的定义知，a11a21a12a221n2 n= (1)(j丿?”)a

15、 a a. 1 j1 2 j2”j1 j2 jaan1n2nnaaa11121n也就是说n级行列式役1a22 纭等于所有取自不同行不同列aaan1n2nn的几个兀素的乘积a a.a(*)的代数和。这里j j j是l,2n的1j 2j n j1 2 n12n一个排列，当 j j .j 是偶排列时,(*)式取正号，当 j j .j 是奇排列时 1 2 n1 2 n(*)式取负号。定义法是计算行列式的根本方法，对任何行列式都适用。01例 1：计算行列式d二200000解：这是一个四级行列式，展开式应有4!=24 项，但由于出现很 多零元素，所以不为零的项只有ai4a23a32a4i这一项，而疏432

16、1）二6，故d = 1x 2 x 3 x 2 = 12 o注:对于一个n级行列式，按定义展开后共有n !项,计算它就需要 做n ! （ n 1）个乘法，当n较大时，n !是一个相当大的数字，直接 从定义来计算行列式几乎是不可能的，因此，定义法一般很少用。2、三角形法：将行列式化为上三角形或下三角形行列式来计算的一种方法。（1）提公因式法（I） 行列式各行（列）元素的和都相同，这一类行列式的计算方法是 把每一行（列）加到第一行（列）上,然后提取公因数，便可转化为（1）的形式或直接化为三角形的形式。4 111例2：计算行列式1 4 1 1114 11114分析：这是一个四级行列式,用定义法我们知道

17、它的值是4!个项 的和，能准确的找出24项也是一件麻烦的事情,观察行列式我们会发 现它每行（列）的和都是1 +1 +1 + 4 = 7，因此经过变换提公因数后会 出现全为1的一行（列），在化三角形法中,我们最愿意看到的就是一行(列)1,故解：把所有列都加到第一列，提公因数，得：1111111114110=73001141003011140003二 7 x 33 二 189D 二 7由此可见，用提公因数的方法计算某些行列式，可以减少计算量,降低出现错误的可能性。我们再来看一个高阶行列式的例子。例3：计算：D =a1aia2a2xananan分析：观察行列式的特点，行列式每行的和都为 x+ Yn

18、a ，故可 i i=1提出公因数使第一列全变为1，则便形成(1)的形式,同样可以化为三角形。解：把各列都加到第一列，提出公因数,1aa . a12n1xa . a2n1ax . a2n. .1aa . x23D = (x + F a )ii=1得：=(x + Y a )(x - a )(x - a ).(x - a )i12ni=1再将第一列的(-a ),(-a ).(-a )倍分别加到第2,3.n +1列，得12nD =i=1a )ix-a1a - a21a -a2100x-a1a -a32000x-an=(x +a )(x - a )(x - a ).(x - a )i12ni=1（2）提

19、因式法（II）有些行列式，虽然各行（列）元素的和不相同，但第i（i = 2,3,.n）行列）乘以适当的倍数加到第一行（列）后，也可以提出公因数或直 接化为三角形。246427 327例 4:计算D = 1014543 443-342 721621分析:这是一个三阶行列式用前面介绍的定义法便可求出结果， 即:D = 246 x 543 x 621 +1014 x 721 x 327 + 427 x 443 x （-342） - 327 x 543 x （-342）-427 x 443 x （-342） -1014 x 721 x 327= -294x105虽然是三阶行列式，但计算量也是相当大的，

20、仔细观察行列式会 发现，行列式三行的和都是 1000 的倍数，且后两列的元素分别相差 100 ，因此可以进行变换，然后提出公因数，使计算简便.解:把第二、三列都加到第一列上，并用第二列减去第三列，则得10001003271132701D = 2000100443=105 21443=105 11100010062111621013274436213）比例相加法=105 x ( 1 丿327= -294 x 105621行列式对角线以下（上）的元素与行列式中某一行（列）的对应元素成比例。这样的行列式，只要把行列式的某一行(列)乘的适当倍数加到其它行(列)，即可化为三角形。anan a +bnn1

21、aa1 2 例 5：计算1ai+bia2 1aa12分析:观察行列式的特点,主对角线下方的元素与第一行元素对应相同，故用第一行的(-1)倍加到下面各行便可使主对角线下方的元素全部变为零。解：将D的第一行的(-1)倍分别加到第2,3.n +1行上去，可得:分析:观察行列式的特点，次对角线的上方的元素与最后一列的1aa.a12n0b0.0100b.02000.bnD =b b b1 2 naaa. a1123naaa. x1123 axa. a112n-1xaa. a112n-1例6：计算D =元素对应成比例,故用最后一列元素的倍数加到前面的列上就可使次 对角线上方的元素都化为零.解：将最后一列分

22、别乘的(-a ),(-a )(-a )后依次加到第1,2n列,12n可得：000. 01000. xa1n0xaaa. a a1123n 1n1x aa aaa. a a11223n 1nD =n( n1)=(1) 2 (x a )(x a ).(x a )12n4）逐行相加法。有的行列式的行（列）乘的适当的倍数，逐行（列）相加后，可化 为前面的几种形式，进而化为三角形或直接化为三角形。1234n1123 n 11x12 n 2计算!xx1 n 3xxx 1例 7:分析：观察行列式的特点，主对角线上方的元素按列（行）成等 差数列，而主对角线下方的元素按行（列）成常数列，故用逐行（列） 相加法后

23、，可使一部分元素变为零，而一部分全变为相同的，从而更 有利于化为三角形。一般的，若行列式对角线两侧的元素有一定的规律，如:成等差数列，成等比数列或相等时，用逐行（列）相加法可 使行列式变的简单易算解：从D的第二行起，每行乘以（一1）后加到上一行，则得0111111111101x11111x1111D (1)n+101x111D 0000 1x11xxx x1000 1x1从第一行开始，每行都减去下一行,又得x1x0x00000D 二(1) n+1(1 .”2000 x00001x1以上的四种方法都是利用化三角形的方法来解求行列式,由定义 法引申出的化三角形法是求解行列式的常用方法。由于对角线上

24、元素 相乘时要注意前面的符号，为了书写结果简单，通常我们愿意利用主 对角线元素的乘积来表示结果，但若化为次对角线乘积更简便的方 法，只要注意结果的符号，化为次对角线元素的乘积也是完全正确可 行的.3、降阶法： 利用行列式的性质将行列式的阶数降低，然后再计算行列式的值 的方法，称为降阶法。降价法可以将一个n阶行列式化为n个n -1阶行列式计算。若继 续使用按行（列）展开法，可以将n阶行列式降阶直至化为许多个2阶 行列式计算，这是计算行列式的又一基本方法。即在较高阶行列式的 计算过程中，如果行列式中某一行（或列）中元素较多，或者可以通 过采用行列式的性质使某一行（列）的大多数元素化为零，则可通过

25、展开定理，将行列式按该行（列）展开，从而使较高阶的行列式计算 问题转化为几个较低阶的行列式计算问题 ,反复使用多次，直到将原 行列式化为易于计算出的较低阶的行列式.例8：计算n （n$2）阶行列式a00 010a0 0000a 00100 0aD =解:按第一行展开，得+ (-)+n0 010再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开,则可得到D = an + (-1)+n (-1X1)+1 an-2 = an an-2 = an2 (a 2 1)例9:计算2n阶行列式，Da00 00b0a0 0b000a b0000b a000b0 0a0b00 00a解：将D按第一行展开，得a0 0b00

26、a b000b a00b0 0a000 00aD = a+ 方(一1)2 n+10a0 0b00a b000b a00b0 0ab00 00右端两个2n -1阶行列式再按第2n -1行展开得D = a2(1)2(2n1)D+b2(1)4n+1D= (a2 b2)D2n22n2用相似的方法推导下去,则D = (a2 一b2)D = (a2 一b2)2D =(a2 一b2)n-iD2 n22 n - 42=(a2 一b2)n-1=(a2 一 b2)na bb a4、换元法：将行列式的元素进行变换，然后再计算行列式之值的方法称为换元法.例10：计算行列式Dn =ax xixa x 2 xx an解：

27、把D视为Dn =na 一 xX0中每个元素加上 x 所D = D + x 乞乞 A = H (a n niji=1j =1i=1j=1打(a - x)i-i=4a 一 xj=x 1 (a x)( +ixi=1W)a/ x j=1例11:求证 D=xibb= af (b) 一 bf (a)其中f(x) =(x x)( x -x)12x -x)a丰 bon证明：作行列式D(x)x + x a + xiD(x)=b + xb + xx + xn可见 D (一a)=f (a).D(b)=f (b)，又根据行列式的性质可 知是X的一次多项式，所以可令D (x)二cx+d又因为D(0) =d=D,所 以

28、D (一a)=-ca+D=f (a) ; D(一b)=一cb+D=f (b),所以D (x) = a(b) bf (a)。a b5、递推法:利用行列式的性质，把一个n阶行列式表示为具有相同结构的较 低阶行列式(比如，n-1阶或n一1阶与n一2阶等)的线性关系式， 这种关系式称为递推关系式。根据递推关系式及某个低阶初始行列式 (比如二阶或一阶行列式)的值，便可递推求得所给n阶行列式的值。 有时要用数学归纳法证明其正确性,这种计算行列式值的方法称为递 推法。x10. 000x1 . 00例12：计算行列式Dn = 000. x1anan1a.n2. a2ai解：第1 列只有两个非零元素,不妨按第1

29、 列展开，得10. 00x1. 00D xD + a (1)n+1nn1n 00. x1 xD + a (1)n+1(1)n1 xD+ a ，n1nn1 n由此递推得D = xD + a = x xD+ a + ann 1nn2n 1n=x 2 D + xa + a =n 2n 1n=xni D + xn2 a +. + xa + a12n 1n=a xn-i + a xn-2 + + a x + a .12n-1n注：按此方法解题时,往往会得到一个一般的递推公式：D = pD + qD ,nn-1n - 2此时可先计算出 D1、D2、D3 等，找出递推规律，再用数学归纳法进行证明，进而计算出

30、行列式的值.a + PaP0 001a+Pap 00例13：计算行列式D =0n1a+P 00000 1a+p解：按第一行展开得：D二(a + p)D-apDnn -1n -2D -aD = p(D - aD )nn -1n -1n - 2按递推关系D -aD =P n-2 (D -D )nn -12 1D =a + pD 二a2 +ap + p2 (2)12由(1)式又可推导出：D -pD二a(D -pD )，按逆推关系得nn-1n -1n- 2D - PD 二 a n nn -1由(2) (3)解得d =an+1 -Pn+1n a - P6、数学归纳法：利用数学归纳法的步骤，处理行列式的方

31、法，称为数学归纳法。利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想值，再用数学归纳法给出 猜想值的严格证明,通常采用第二形数学归纳法较多 .一般用于证明 行列式的正确性。例 14：2cos 0112cos 0010000D =012cos 0 00=sin(n +10(sin 0 工 0)nsin 00002cos 01000 12cos 0证明:当 n =1,2时，有:1sin0D =2cos 01=4cos2 0-1 = sin(2 +1片212cos 0sin 0D 二 2cos 4 W1片结论显然成立。现假定结论对小于等于n -1吋成立。即有：八 sin(n - 2 +1)0sin( n -1 +

32、1)0D =, D = 一n-2sin0n-1sin0将 D 按第1列展开，得：2cos 01 002cos 000012 cos 0 0012 cos 000D =:n00 2 cos 0100 2 cos 010012cos 0(n-1)0012cos 0(n-1)nn-2n-1=2cos0 - D-Dsin( n -1 +1)0sin( n - 2 +1)0=2cos 0 -sin0sin0二 2 cos 0 - sin n0 - sin(n -1)0sin0=2 cos 0 - sin n0 - sin n0 - cos 0 + cos n0 - sin 0sin0sin n0 - c

33、os 0 + cos n0 - sin 0sin 0sin( n +1)0sin 0故当对n吋，等式也成立。11例15：证明行列式D =a1a21aa23a 2 a 223ana 2nn （a 一 a ）i j1 j i n证明：当n = 2时，a n-1111a n-1a n-123a n-1n一 a ，结论成立.1假设对于n = k -1时，结论成立,当n = k时，从第k行开始，逐行减去上面相邻行的 a 倍得11a - a21a （ a - a ）2 2 1a 一 a31a （a 一 a ）3 31a 一 ak 1a （a 一 a ）k k 1按第一行展开得a k-2（a 一a ）22a

34、 一 a21a （a 一 a ）2 2 1a k-2（a 一 a ）331a 一 a 31a （a 一 a ）331a k-2（a 一 a ）kk 1a 一 ak 1a （a 一 a ）k k 1提取各列公因子a k-2（a 一a ）2 2 1a k-2（a 一a ） a k-2（a 一a ）331kk1 1D = （a 一a ）（a 一a ）（a 一a ）2131k 1aa23得到的k-1阶行列a k - 2a k - 2-2 3（a 一 a ijD = （a -a ）（a -a ）（a -a ） n（a -a ） = n （a -a ）2131k 1i ji j式，由数学归纳的假设知其值为

35、n- a k-2k）于是2 j i k2jik1jik称上述行列式为范德蒙行列式。在计算行列式中 ,如果有行列式可以化成范德蒙行列式则可以直接利用范德蒙行列式的计算结果 ,会使计算简便。7、目标行列式法:将行列式化成一些已知其计算方法的行列式来计算的方法称为 目标行列式法,常见的有化数字行列式为三角行列式计算。又如范德111 .1aaa .a123na 2a2a2 .a2123n an1a n 1a n 1.a n 1123n蒙行列式 V(a ,a ,., a )1 2 nn (a -a )有些行列式构造ji1i j n相似范德蒙行列式，则以范德蒙行列式为目标，转化计算。1 + X1 例16：

36、计算行列式D+ X2 1 + Xn1+x211+x221 + X n11 + X n210011+x11+x1 + x 211 + x 2解D1 22 11+x1 + x 2nn200.021xx2 Xn1111:1xx2 Xn1 22 2 1xx2 Xn1nnnXx 2.Xn11112xXx 2.Xn1X-X 22212n Xx 2.Xn1nnn二 2 xx x V( xx1 2 n 1 201111 + Xn1XX21111 + Xn二 1XX21 22 1 + Xn1XX2nnn11. . . 1xX2. . . Xn111xX2. . . Xn22 2 xX2. . . Xnnnn10

37、01X 1X ( X1)1111X 1X ( X1) 222 1X 1X ( X1)1+x2nnnn-1Xn1Xn2Xnn0X n-1(X -1)11X n-1(X -1)21Xn-1 (X 一 1)nnx ) (x 1)(x 1)(x 1)V(xxn 12n1 2x)n=2x x x (x 1)(x 1)(x 1) n (x x )1 2 n 12ni j1 j i 2）阶行列式Dn1 + x y1 11 + x y2 11 + xny12 + xy n + x y1 21 n2 + x y n + x y2 22 n 2 + x y n + x yn 2n n解:将D按第一列拆成两个行列式

38、的和，即n11D =n 12 + x y122 + x y2 2 2 + x yn2n + x y1 nn + x y2 nx1 y1x y + 2 12 + xy n + x y1 21 n2 + x y n + x y2 22 nxnyi再将上式等号右端的第一个行列式第i列(i = 2,3,n)减去第一列的i倍;第二个行列式提出第一列的公因子v则可得到1xy x yx2 + x y n + x y121 n11 21 n1xy x yx2 + x y n + x yD =2 22 n+ y22 22 nn 1 1xy x yx2 + x y n + x yn 2n nnn 2n n1x x

39、x 2n1111x xx 2n=y2y22+ y22n 1 1x xx 2nnnn当 n 3 时，D = 0n当 n = 2 时,D =(x - x )(y - 2y )2 2 1 2 15、乘积法:两个n级行列式D1a11a= 21 a12a22 .1n.a工2 n 和 D : 2b11b二 21 b .12b.22 b1nb2 n aa.bb .bn1n2nnn1n2nncc.c11 121n的乘积等于个n级行列式ccc.=21 22 c2 n ,其中cc.n1n 2cnnC是D的第i行元素分别与D的第j列的对应元素乘积之和，即： ij 12C = a b + a b +. + a b ,

40、 (i, j = 1,2n) -i 1 * iji1 1 ji 2 2 jin nj利用行列式乘法的规则，我们可以把某些复杂的行列式化成两个 简单的行列式的乘积的形式。例 21：计算cos 2a cos(a + P) cos(a +y)cos(B+a) cos 2 Pcos(P+Y)cos(Y +a) cos(Y + P)cos2y分析：观察行列式，它的每个元素都可以分解为可分解为两项乘积的和,故由乘法定义，我们可以把它分解。解:cos a cos a - sin a sin acosasinP +cosPsinacos a sin y + cos y sin aD = cos P sin a + cos a sin Pcos P cos P - sin P sin Pc