泛函分析课程重点

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1、泛函分析单元知识总结与知识应用数学与计算科学学院 数学与应用数学 一、单元知识总结 第七章、 度量空间和赋范线性空间1 度量空间11定义：若X是一个非空集合，d : X X X T R是满足下面条件的实值函 数，对于Vx, y g X，有(1) d(x, y) = 0当且仅当x = y ；(2)d(x, y) = d(y,x)；(3) d(x, y) d(x,z) + d(y,z)，则称d 为X 上的度量，称(X, d)为度量空间。_/v1, Hx 主 y例：1、设x是一个非空集合，Vx, y g x，当d(x, y)詔丿、0,当 x=y则(X, d)为离散的度量空间。2、序列空间 Sd (x

2、, y)二兰i=12z tM是度量空间ii3、有界函数全体B(A)，d(x, y) = suplx(t)-y(t)l是度量空间tgA4、连续函数 Ca,b， d(x, y) = maxlx(t)-y(t)l是度量空间 atbg15、空间12，d(x,y) = Y (y -x )22是度量空间 kki=12度量空间中的极限？稠密集，可分空间2.1收敛点列:设匕是(X,d)中点列，如果3 xg X，使limd(x，x)=0,则称点列x是(X, d)中的收敛点列。n Tg n例：1、 x g Rn，nx 按欧氏距离收敛于x的充要条件为V1 i ，则称xn3正整数N二N()，使当n,m N时，必有d(

3、x，x ) snmX中的柯西点列，如果度量空间(X,d)中每个点列都在(X,d)中收敛，那么称(X, d)是完备的度量空间。例：1、Ca,b是完备度量空间2、l 2 是完备度量空间3、R n 是完备的度量空间注意：1、 Q 全体按绝对值距离构成的空间不完备2、柯西点列不一定收敛，但是度量空间中每一个收敛点列都是柯西点列3、实系数多项式全体Pa,b，Pa,b作为Ca,b的子空间不是完备度量空间4.2定理1完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件是M为X中的闭 子空间。(即完备性关于闭子空间具有可遗传性) 5度量空间的完备化5.1定理1 (度量空间的完备化定理)设X = (X, d)是度量空间

4、，那么一定存在一完备度量空间X = (X,d)，使x与x的某个稠密子空间w等距同构，并 且X在等距同构意义下是唯一的，即若(X,d)也是一万倍度量空间，且X与X的某个稠密空间等距同构，贝u( X, d)与(x , d)等距同构。定理1设x =(x,d)是度量空间，那么存在唯一的完备空间X = (X,d)，使x为x的稠密子空间。6 压缩映射原理及其应用6.1定义：设X是度量空间，T是x到x中的映射，如果3a ,0 a 1，s.t Vx,y eX , d(Tx,Ty) =a d(x,y),则称T 是压缩映射。6.2定理1 (压缩映射定理)设x是完备的度量空间，T是x上的压缩映射，那么T有且只有一个

5、不动点(就是说，方程Tx = x，有且只有一个解)。定 理 2 ( 隐 函 数 存 在 定 理 ) 设 函 数 f (x, y) 在 带 状 域a xb,g y g中处处连续，且处处有关于y的偏导数f (x，y)。y如果3常数m和M ，满足0 m f (x,y) M,m 0)按自身定义的加法和数乘成线性空间8 赋范线性空间和巴拿赫空间8.1定义：设x是实(或复)的线性空间，如果对Vx e x，都有确定的一个 实数，记为x与之对应，并且满足：1o nxi -0 且|x|=0等价于x=0 ；(非负性)其中为任意实(复)数;2o a x| =| a I ”x|3ox+y lxl + y ,x, y

6、e X,(三角不等式)则称注意：1、2、3、为向量x的范数，称x按范数|怦 任意赋范线性空间都是度量空间 赋范线性空间是一种特殊的度量空间x成为赋范线性空间是 x 的连续函数8.2重要结论：1、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间。2、任何有限维赋范线性空间都同维数欧氏空间拓扑同构，相同维数的有限维赋范线性空间彼此拓扑同构。(即拓扑同构o 范数等价) 例：i、Rn按范数|x| = J勺|2 +1勺|2成巴拿赫空间 2、空间Ca，b按范数| x = maxi x (t )I成巴拿赫空间a t 1)按范数 | f| = (J I f (t )I|pa丄dt) P成巴拿赫空间 总而言之，赋范线性空间是一

7、种特殊的度量空间，当它完备时称之为巴拿赫 空间。第八章有界线性算子和连续线性泛函 1有界线性算子和线性泛函的定义 11定义：设X和Y是两个同为实(或复)的线性空间，D是X的线性子空 间，T为D到Y中的映射，如果对Vx，y & D及数a ，有T(x + y) = Tx + Ty，T(ax) =aTx，则称T为D到Y中的线性算子， 其D称为T的定义域，记为D(T)，TD称为T的值域，记为R(T)，当T取 值于实(或复)数域时，就称T为实(或复)线性泛函。 例：相似算子、微分算子、乘法算子、积分算子都是线性算子 注意：n维线性空间上线性泛函与向量相对应。定义：T为赋范线性空间X的子空间D(T)到赋范

8、线性空间Y中的线性算子，称T = sup 1E3为算子T在D(T)上的范数。x , 0xXGD (T )12定理1设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T为有界算子的充分必要条件是T为X上的连续算子。这一定理说明，对于线性算子连续性与有界性是两个等价概念。定理2设X是赋范线性空间，f是X上线性泛函，那么f是X上连续泛函的充要条件为f的零空间N(f)是x中的闭子空间。注意：1、若T有界O |T|2、T gn iTXll T x3、若T有界=阿 |x|2有界线性算子空间和共轭空间21定义：设X是赋范线性空间，令X表示X上连续线性泛函全体所成的空 间，称为 X 的共轭空间。2.2定理1

9、当Y是巴拿赫空间时，B( X T Y)也是巴拿赫空间定理 2 任何赋范线性空间的共轭空间是巴拿赫空间例：1、11的共轭空间为13有界序列全体，即(li)= *，但(l-)丰112、 X G X, X G X,且 X T X, Vf G X ，则 f (x ) T f (x),n n n其中 f 连续3、设A G B(Z t Y),B G B(X t Z)，令(AB)x 二 A(Bx),XG X ，则 AB 为线性算子114、Ip (1 p +3)的共轭空间为lq，其中丄+丄二1，(lq ) = Ip,p q当p = 2时，(l2)= l2二、列举泛函分析中的某个知识点在其他学科中的应用1、Banach不动点原理的应用a.不动点原理在证明数值分析中的迭代法不动点原理的应用 迭代法不动点不动点原理：设映射