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1、氢原子薛定谔方程拉普拉斯算符变为：拉普拉斯算符变为：22222222sin1)(sinsin1)(1rrrrrr设波函数为设波函数为)()()(),(rRr 代入薛定谔方程，采用分离变量法得到三个常代入薛定谔方程，采用分离变量法得到三个常微分方程。微分方程。在解波函数时，考虑到波函数应满足的标准在解波函数时，考虑到波函数应满足的标准条件，很自然地得到氢原子的量子化特征。条件，很自然地得到氢原子的量子化特征。（1 1）能量量子化）能量量子化同玻尔得到的氢原子的能量公式一致，但却没有认同玻尔得到的氢原子的能量公式一致，但却没有认为的假设。为的假设。在求解在求解 得到氢原子能量必须满足量子化条件为得
2、到氢原子能量必须满足量子化条件为)(rR22220422202416.1318132nnhmenmeEn,3,2,1n 称为主量子数称为主量子数nn=1 基态能量基态能量eV6.131EeV6.131EEn=2,3,对应的对应的能量称为激发态能量能量称为激发态能量eV40.32EeV51.13E当当n很大时，能级间隔消失而变为连续很大时，能级间隔消失而变为连续。对应于电子被电离，对应于电子被电离，氢原子的电子电离能为：氢原子的电子电离能为：n当 ，0En11E232E3E454EE 说明角动量只能取由说明角动量只能取由 l 决定的一系列分立值，决定的一系列分立值，即角动量也是量子化的。即角动量
3、也是量子化的。（2 2）轨道角动量量子化和角量子数）轨道角动量量子化和角量子数 处于能级处于能级 的原子的原子,其角动量共有其角动量共有 n 种可种可能值，即能值，即 ,用用s,p,d,表示角表示角动量状态。动量状态。nEl=0,1,2,.,n-1()在求解角量在求解角量 为变量的函数所满足的方程时，为变量的函数所满足的方程时，进一步得到角动量量子化的结果。进一步得到角动量量子化的结果。,称称 为角量子数，或副量子数为角量子数，或副量子数。l)1(llL)1(,3,2,1nl氢原子内电子的状态氢原子内电子的状态n=1n=2n=3n=4n=5n=6l=0 l=1l=5l=4l=3l=2(s)(p
4、)(h)(g)(f)(d)1s5f5d5p5s6s6p6d6f6g6h4s3s3p4f3d4p4d5g2p2s（3 3）轨道角动量空间量子化和磁量子数）轨道角动量空间量子化和磁量子数,lzmL lml,.,2,1,0 称为磁量子数。对于一定的角量子数称为磁量子数。对于一定的角量子数 可以取可以取 个值。个值。lmlml,)1(2l 氢原子中电子绕核运动的角动量不仅大小取分氢原子中电子绕核运动的角动量不仅大小取分离值，其方向也有一定限制。若取外磁场离值，其方向也有一定限制。若取外磁场B的方向的方向为为 轴，角动量在轴，角动量在 轴上的投影轴上的投影 只能取只能取zLzz)(zBo226L2l角动
5、量的空间角动量的空间量子化量子化 例例1 设氢原子处于设氢原子处于2p态，求氢原子的能量、角动量大小态，求氢原子的能量、角动量大小 及角动量的空间取向。及角动量的空间取向。解解：2p态表示态表示 n=2,l=1。得得eV40.3eV26.1322E角动量的大小为角动量的大小为2)1(llL 当当l=1时，时，ml的可能值是的可能值是-1,0,+1，角动量方向，角动量方向与外磁场的夹角可能值为：与外磁场的夹角可能值为：4324)1(arccosllmleV6.132nEn根据根据二、氢原子中电子的概率分布二、氢原子中电子的概率分布 要知道电子在氢原子中的分布，必须要知道要知道电子在氢原子中的分布
6、，必须要知道定态波函数：定态波函数：),()(lmnlnlmYrR 称为径向函数；称为径向函数；)(rRnl),(lmY称为角分布函数。称为角分布函数。以下给出前几个函数：以下给出前几个函数：02)1()(2300,1arearR氢原子中电子径向概率分布氢原子中电子径向概率分布电子的角分布概率由电子的角分布概率由 决定。决定。),(lmY 与与 无关，表示角向概率密度对于无关，表示角向概率密度对于 轴轴具有旋转对称性具有旋转对称性2),(lmYz 由坐标原点引向曲线的长度表示由坐标原点引向曲线的长度表示 方向的概率大小方向的概率大小氢原子中电子的角分布氢原子中电子的角分布20,0Y21,1Y20,2Y
氢原子薛定谔方程
